2023届全国甲卷+全国乙卷高考数学复习提分复习资料专题2 解三角形（文科）解答题30题含答案

2023届全国甲卷+全国乙卷高考数学复习提分复习资料专题2解三角形（文科）解答题30题1．（广西邕衡金卷2023届高三第二次适应性考试数学（文）试题）记的面积为S，其内角的对边分别为，，，已知，．(1)求；(2)求面积的最大值．2．（内蒙古自治区赤峰市2022届高三模拟考试数学（文科）4月20日试题）在△中，内角，，所对的边分别为，，，且满足．(1)求的值；(2)设，，求和△的面积．3．（山西省运城市2022届高三5月考前适应性测试数学（文）试题（A卷））在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，.(1)求A；(2)，的外接圆圆心为点P，求的周长.4．（贵州省贵阳市白云区2023届高三上学期阶段性质量监测数学（文）试题）在中，内角的对边分别为、、，在条件：①；②；③，从上述三个条件中任选一个作为题目的补充条件，你的选择是______，并解答下面问题：(1)求角A的大小；(2)若，求的面积.5．（江西省宜春市丰城中学2022届高三高考模拟数学（文）试题）在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，，(1)求角A；(2)若，求a的最小值.6．（山西省太原市2022届高三下学期三模文科数学试题）已知锐角中，(1)求；(2)若，求的面积.7．（陕西省西安市莲湖区2022届高三下学期高考模拟考试文科数学试题）在①，②这两个条件中任选一个作为已知条件，然后解答问题．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，______．(1)求角A；(2)若，，求的BC边上的中线AD的长．8．（陕西省西安地区八校2022届高三下学期5月联考文科数学试题）如图，在平面四边形ABCD中，E为AD边上一点，，，.(1)若，求的值；(2)若，求BE的长.9．（2023·河南信阳·河南省信阳市第二高级中学校联考一模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若.(1)求证：；(2)若，点D为边AB上的一点，CD平分，，求边长.10．（2022·贵州贵阳·贵阳一中校考模拟预测）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值及三角形ABC的面积；若问题中的三角形不存在，请说明理由.问题：是否存在它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且___________？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.11．（广东省潮州市2022届高三下学期二模数学试题）已知在中，A，B，C为三个内角，a，b，c为三边，，．(1)求角B的大小；(2)在下列两个条件中选择一个作为已知，求出BC边上的中线的长度．①的面积为；②的周长为．12．（贵州省铜仁市2023届高三上学期期末质量监测数学（文）试题）设的三个内角A，B，C所对的边长为a，b，c，的面积为S．且有关系式：．(1)求C；(2)求的最小值．13．（广西四市2022届高三4月教学质量检测数学（文）试题）设的内角A、、所对的边分别为、、，且．(1)证明：；(2)若，求的值．14．（广西南宁市第十九中学2023届高三数学（文）信息卷（三）试题）在中，内角，，所对的边分别为､､，已知.(1)求角的大小；(2)若，，求的面积.15．（江西省南昌市2022届高三第二次模拟测试数学（文）试题）如图，锐角中，，延长到，使得，，.(1)求；(2)求.16．（江西省重点中学盟校2022届高三第二次联考数学（文）试题）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，从条件①：，条件②：，条件③：这三个条件中选择一个作为已知条件．(1)求角A；(2)若，求a的最小值．17．（江西省景德镇市2023届高三上学期第二次质检数学（文）试题）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若且角A为锐角.(1)求角B；(2)若的面积为，求b的最小值.18．（宁夏银川一中2022届高三二模数学（文）试题）的内角，，所对的边分别为，，，且的面积.(1)求；(2)若、、成等差数列，的面积为，求.19．（宁夏平罗中学2022届高三下学期第三次模拟数学（文）试题）已知函数，向量，，在锐角中内角的对边分别为，(1)若，求角的大小；(2)在（1）的条件下，，求的最大值.20．（内蒙古包头市2022届高三第一次模拟考试文科数学试题（A卷））如图所示，经过村庄B有两条夹角为的公路BA和BC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂F，分别在两条公路边上建两个仓库D和E（异于村庄B），设计要求（单位：千米）.(1)若，求的值（保留根号）；(2)若设，当为何值时，工厂产生的噪音对村庄B的居民影响最小（即工厂F与村庄B的距离最远），并求其最远距离.（精确到0.1，取）21．（内蒙古赤峰市2022届高三下学期5月模拟考试数学（文科）试题）的三个内角，，的对边分别为，，且(1)求；(2)若，，求的面积．22．（山西省晋中市2022届高三下学期5月模拟数学（文）试题）在中，角，，所对的边分别为，，.在①；②；③这三个条件中任选一个作为已知条件.(1)求角的大小；(2)若，求周长的最小值.23．（陕西省宝鸡中学2022届高三下学期高考模拟文科数学试题）已知，，(1)求的单调递增区间；(2)设的内角所对的边分别为，若，且，求的取值范围.24．（广西桂林市第十八中学2020-2021学年高二上学期第一次阶段性考试数学（文）试题）已知的三个内角的对边分别为，若角成等差数列，且，（1）求的外接圆直径；（2）求的取值范围.25．（甘肃省天水市田家炳中学2022-2023学年高三下学期开学考试数学（文科）试题）记的内角的对边分别为．已知，为边的中点．(1)证明：；(2)若，，求的周长．26．（河南省平顶山市汝州市2022届高三3月联考文科数学试题）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积.(1)求角A的值；(2)延长AC至点D，使得CD＝AC，且BD＝2BC，若c＝6，求△ABC的周长.27．（甘肃省酒泉市2022届高三5月联考文科数学试题）在中，内角、、所对的边分别为、、，已知．(1)求角的大小；(2)若，为内一点，，，则从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：①；②；③．28．（青海省海东市第一中学2022届高考模拟（一）数学（文）试题）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．(1)求角A；(2)若，求面积的最大值．29．（河南省2022-2023年度高三模拟考试数学（文科）试题）已知的内角所对的边分别为，且.(1)求角B；(2)若，求周长的最大值.30．（河南省郑州市2023届高三第一次质量预测文科数学试题）在△ABC中，内角，，所对的边分别是，，，且．(1)求角的大小；(2)若是边上一点，且，若，求△ABC面积的最大值．专题2解三角形（文科）解答题30题1．（广西邕衡金卷2023届高三第二次适应性考试数学（文）试题）记的面积为S，其内角的对边分别为，，，已知，．(1)求；(2)求面积的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）注意到，利用余弦定理边化角结合面积公式运算整理；（2）利用余弦定理整理可得，再结合求得，运用面积公式即可得结果.【详解】（1）∵，则，∴，又∵，∴.（2）∵，即，∴，又∵，当且仅当时等号成立，∴，则面积，故面积的最大值.2．（内蒙古自治区赤峰市2022届高三模拟考试数学（文科）4月20日试题）在△中，内角，，所对的边分别为，，，且满足．(1)求的值；(2)设，，求和△的面积．【答案】(1)；(2)，△的面积为.【分析】（1）利用正弦定理边角关系、和角正弦公式及三角形内角性质可得，即可得的值；（2）由（1），应用余弦定理求b，再由三角形面积公式求△的面积．(1)由正弦定理得：，又，所以，可得；(2)由（1）知：，则，而，，所以，且．3．（山西省运城市2022届高三5月考前适应性测试数学（文）试题（A卷））在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，.(1)求A；(2)，的外接圆圆心为点P，求的周长.【答案】(1)(2)【分析】（1）结合正弦定理及已知条件，即可化简求得A的值；（2）利用正弦定理解得外接圆的半径，即可求得的周长.(1)由已知及正弦定理，得，所以，即，又，所以.所以，又，所以.(2)设的外接圆半径为r.则由正弦定理.又，，所以.即，所以.即的周长为.4．（贵州省贵阳市白云区2023届高三上学期阶段性质量监测数学（文）试题）在中，内角的对边分别为、、，在条件：①；②；③，从上述三个条件中任选一个作为题目的补充条件，你的选择是______，并解答下面问题：(1)求角A的大小；(2)若，求的面积.【答案】(1)选①②③答案均为(2)【分析】（1）选①：利用正弦定理得到，结合，求出角A的大小；选②：利用诱导公式得到，从而得到，结合，求出角A的大小；选③：利用正弦定理和余弦定理求出，结合，求出角A的大小；（2）利用第一问求出的，利用余弦定理求出，从而求出三角形面积.【详解】（1）选①：，由正弦定理得，因为，所以，故，即，因为，所以；选②：，因为，所以，即，因为，所以；选③：，由正弦定理得：，由余弦定理得：，因为，所以；（2）由第一问可知：，又，由余弦定理得：，解得：，由三角形面积公式可得：.5．（江西省宜春市丰城中学2022届高三高考模拟数学（文）试题）在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，，(1)求角A；(2)若，求a的最小值.【答案】(1)(2)2【分析】（1）利用诱导公式及正弦定理将边化角，再结合二倍角公式计算可得；（2）由数量积的定义求出，再由余弦定理及基本不等式计算可得；(1)解：在，由，所以，即，再由正弦定理得，，因为，∴，因为，所以，∴.(2)解：由，即，所以.由当且仅当时，所以的最小值为2.6．（山西省太原市2022届高三下学期三模文科数学试题）已知锐角中，(1)求；(2)若，求的面积.【答案】(1)(2)14【分析】（1）根据正弦的两角和差公式，将已知条件展开求出，再根据，即可求出结果.（2）由正弦定理可知，结合三角形面积公式可得，在锐角中，由可知，利用两角差的余弦公式即可求出，进而求出结果.（1）解：因为所以①②，联立①②，解得，所以.（2）解：由正弦定理得，∴∴又∵在锐角中，由所以，∴，；∴∴7．（陕西省西安市莲湖区2022届高三下学期高考模拟考试文科数学试题）在①，②这两个条件中任选一个作为已知条件，然后解答问题．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，______．(1)求角A；(2)若，，求的BC边上的中线AD的长．【答案】(1)(2)【分析】（1）若选①，由已知可得，可求出，进而求出；若选②：由正弦定理，得，可求出，进而求出；（2）是的边上的中线，，利用向量法可求的长．(1)解：（1）若选①，即，得，，或（舍去），，；若选②：，由正弦定理，得，，，，则，，；(2)解：是的边上的中线，，，，．8．（陕西省西安地区八校2022届高三下学期5月联考文科数学试题）如图，在平面四边形ABCD中，E为AD边上一点，，，.(1)若，求的值；(2)若，求BE的长.【答案】(1)(2)【分析】（1）作出辅助线，得到，利用正弦的诱导公式进行求解；（2）由余弦定理得到和，利用互补的两个角余弦值和为0，列出方程，求出答案.（1）过B作于F.∵，，∴，在直角中，，∴，∴.（2）连接BD.在中，，，，由余弦定理，得在中，，，由余弦定理，得.在中，，，由余弦定理，得.∵，得∴，得，（负值舍去）.∴.9．（2023·河南信阳·河南省信阳市第二高级中学校联考一模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若.(1)求证：；(2)若，点D为边AB上的一点，CD平分，，求边长.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】(1)解法一：利用余弦定理和题干的条件分别得出，，然后利用二倍角的余弦即可得出，进而求解；方法二：结合已知条件，利用正弦定理和二倍角公式、两角和与差的余弦公式得出，然后根据正弦函数的性质即可求解；(2)根据角的余弦值，利用同角三角函数的基本关系分别求出，，再利用三角形内角和定理以及两角和的余弦求出，结合半角公式和两角和的正弦得出，最后利用正弦定理即可求解.【详解】（1）解法一：∵，由余弦定理有，.∴，∴.又A，B，C为三角形内角，∴.解法二：因为，由正弦定理可得：，由二倍角公式可得：，所以，则有,展开整理可得：，又，∴，∴，∴或，又，∴，，∴（2）∵，∴，，∴.又，所以.∴，∴，∴，∴，∴.在中，由正弦定理可得：，也即∴，∴.10．（2022·贵州贵阳·贵阳一中校考模拟预测）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值及三角形ABC的面积；若问题中的三角形不存在，请说明理由.问题：是否存在它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且___________？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】答案见解析【分析】先由正弦定理及题设求得，若选①，由余弦定理得关于的方程，方程无解，则三角形不存在；若选②，由余弦定理解出c的值，由面积公式计算三角形ABC的面积即可；若选③，先由正弦定理求得，再由余弦定理解出c的值，由面积公式计算三角形ABC的面积即可.【详解】，由正弦定理得，，则，，，，若选①，，所以由余弦定理，即，即.，所以方程没有实数根，所以问题中的三角形不存在.若选②，所以由余弦定理，即，即，（负值舍去），.若选③，，所以由正弦定理，，又余弦定理，则，，11．（广东省潮州市2022届高三下学期二模数学试题）已知在中，A，B，C为三个内角，a，b，c为三边，，．(1)求角B的大小；(2)在下列两个条件中选择一个作为已知，求出BC边上的中线的长度．①的面积为；②的周长为．【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）由正弦定理可得，再由和的范围可得答案；（2）选择（1），由（1）可得，则解得，则由余弦定理可得BC边上的中线的长度为：选择（2）：由（1）可得，设的外接圆半径为R，则由正弦定理可得，则周长解得，由余弦定理可得BC边上的中线的长度．（1）∵，则由正弦定理可得，∴，∵，∴，，∴，解得．（2）若选择（1），由（1）可得，即则，解得，则由余弦定理可得BC边上的中线的长度为：．若选择（2）：由（1）可得，设的外接圆半径为R，则由正弦定理可得，，则周长，解得，则，，由余弦定理可得BC边上的中线的长度为：．12．（贵州省铜仁市2023届高三上学期期末质量监测数学（文）试题）设的三个内角A，B，C所对的边长为a，b，c，的面积为S．且有关系式：．(1)求C；(2)求的最小值．【答案】(1)(2)．【分析】(1)根据二倍角公式可得，再根据正弦定理可得再用余弦定理求解；(2)利用三角形的面积公式和余弦定理可得，再利用基本不等式求解.【详解】（1）由二倍角公式，得，即，由正弦定理、余弦定理，得，，又因为，所以．（2）注意到．由余弦定理，得，所以．当时等号成立，故的最小值为.13．（广西四市2022届高三4月教学质量检测数学（文）试题）设的内角A、、所对的边分别为、、，且．(1)证明：；(2)若，求的值．【答案】(1)证明见解析；(2)．【分析】（1）由正弦定理化边为角，然后由诱导公式、两角和与差的正弦公式变形可证；（2）把代入（1）中结论，利用正弦的二倍角公式变形后，结合诱导公式、正弦函数的性质可求得，注意角范围．（1）因为，由正弦定理得，所以；（2）若，由（1）得，三角形中，所以，所以，又，，所以，14．（广西南宁市第十九中学2023届高三数学（文）信息卷（三）试题）在中，内角，，所对的边分别为､､，已知.(1)求角的大小；(2)若，，求的面积.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据余弦定理得到，再利用正弦定理得到，计算得到答案.（2）根据余弦定理计算得到，再利用面积公式计算即可.【详解】（1），即，根据正弦定理：，，，故，，故.（2），即，或（舍去）15．（江西省南昌市2022届高三第二次模拟测试数学（文）试题）如图，锐角中，，延长到，使得，，.(1)求；(2)求.【答案】(1)(2)【分析】（1）在，直接利用正弦定理可求得的长；（2）设，则为锐角，可得出、的值，计算出的正弦值和余弦值，然后利用两角和的正弦公式可求得的值.(1)解：在中，由正弦定理知，所以，.(2)解：设，则为锐角，，所以，，所以，则，所以.16．（江西省重点中学盟校2022届高三第二次联考数学（文）试题）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，从条件①：，条件②：，条件③：这三个条件中选择一个作为已知条件．(1)求角A；(2)若，求a的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据所选条件，利用正弦定理边化角，结合三角函数恒等变形公式即可求得；（2）根据（1）的结论，利用向量的数量积的定义得到，进而结合余弦定理和基本不等式求得的最小值.(1)若选条件①，由正弦定理得，，，，又，，，；若选条件②，中，，由正弦定理知，，，，，因为，又，；若选条件③，由，得，，所以，，，，，，，，．(2)由（1）及得，所以，当且仅当时取等号，所以a的最小值为．17．（江西省景德镇市2023届高三上学期第二次质检数学（文）试题）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若且角A为锐角.(1)求角B；(2)若的面积为，求b的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）首先化简可得：，由角A为锐角，所以，即可的得解；（2）由，可得，由，代入即可得解.【详解】（1）由可得：，由角A为锐角，所以，所以，又，所以；（2），所以，由余弦定可得，当且仅当时取等，满足角A为锐角，所以由，可得b的最小值为.18．（宁夏银川一中2022届高三二模数学（文）试题）的内角，，所对的边分别为，，，且的面积.(1)求；(2)若、、成等差数列，的面积为，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）结合三角形面积公式与切化弦方法得，进而得；（2）由题知，再结合（1）得，进而结合余弦定理得.(1)解：∵，∴，即，∵，∴.(2)解：∵、、成等差数列，∴，两边同时平方得：，又由（1）可知：，∴，∴，，由余弦定理得，，解，19．（宁夏平罗中学2022届高三下学期第三次模拟数学（文）试题）已知函数，向量，，在锐角中内角的对边分别为，(1)若，求角的大小；(2)在（1）的条件下，，求的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用平面向量数量积运算法则和恒等变换公式化简函数的解析式，然后求解即可，要注意角A的取值范围；（2）利用余弦定理和基本不等式求解即可.（1）由题所以，即又因为，所以，.（2）由余弦定理，代入数据得：，整理得到解得，当且仅当时，等号成立.故的最大值为.20．（内蒙古包头市2022届高三第一次模拟考试文科数学试题（A卷））如图所示，经过村庄B有两条夹角为的公路BA和BC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂F，分别在两条公路边上建两个仓库D和E（异于村庄B），设计要求（单位：千米）.(1)若，求的值（保留根号）；(2)若设，当为何值时，工厂产生的噪音对村庄B的居民影响最小（即工厂F与村庄B的距离最远），并求其最远距离.（精确到0.1，取）【答案】(1)(2)，千米【分析】（1）若，得到，在等边中，得到，分别在直角中，求得，再在直角中，求得的长；（2）若，在中，利用正弦定理求得，在中，利用余弦定理求得，进而求得最大值，即可求解.(1)解：若，又由，所以此时，又因为为边长为3的等边三角形，所以，在直角中，因为，所以，在直角中，可得.(2)解：若，在中，，所以，在中，，其中，所以，即，当且仅当时，即时，取得最大值27，此时（千米），所以当时，工厂产生的噪音对村庄B的居民影响最小，此时工厂距离村庄B的最远距离约为5.2千米.21．（内蒙古赤峰市2022届高三下学期5月模拟考试数学（文科）试题）的三个内角，，的对边分别为，，且(1)求；(2)若，，求的面积．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据已知及正弦定理角边化，再利用余弦定理及角的范围即可求解；（2）根据余弦定理及三角形的面积公式即可求解.（1）由及正弦定理，得，即，于是有，由余弦定理，得，（2）由（1）知，，及，，由余弦定理，得，即，化简整理，得，解得或（舍）.所以.所以的面积为.22．（山西省晋中市2022届高三下学期5月模拟数学（文）试题）在中，角，，所对的边分别为，，.在①；②；③这三个条件中任选一个作为已知条件.(1)求角的大小；(2)若，求周长的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）选①.，利用二倍角的余弦公式求解；选②.，利用正弦定理和余弦定理求解；选③.，利用正弦定理，结合两角和与差的三角函数求解；（2）由（1）知，利用余弦定理得到，再结合基本不等式求解.【详解】（1）解：选①.，即，所以，所以.又因为，所以.选②.因为，所以，即，由正弦定理得.由余弦定理知.又.所以；选③.因为.由正弦定理得，所以，即.因为，所以，又.所以；（2）由（1）知，则由余弦定理得，.所以，所以，当且仅当时取等号.所以周长的最小值为.23．（陕西省宝鸡中学2022届高三下学期高考模拟文科数学试题）已知，，(1)求的单调递增区间；(2)设的内角所对的边分别为，若，且，求的取值范围.【答案】(1)，(2)【分析】（1）利用平面向量数量积的坐标表示及三角函数恒等变换的应用可求，利用正弦函数的单调性即可求解．（2）由已知可求，求得，利用余弦定理，基本不等式可求，可得，根据，即可得解．(1)解：因为，且，所以即，令，，解得，．所以函数的单调递增区间为，，(2)解：因为，所以．因为，所以，所以，所以，又因为，所以由余弦定理，即，即．而，当且仅当时取等号，所以，即，又因为，所以，即．24．（广西桂林市第十八中学2020-2021学年高二上学期第一次阶段性考试数学（文）试题）已知的三个内角的对边分别为，若角成等差数列，且，（1）求的外接圆直径；（2）求的取值范围.【答案】（1）1；（2）.【分析】（1）由角、、成等差数列，及三角形内角和定理可求，根据正弦定理得的外接圆直径的值；（2）由（1）知，，，由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求，结合范围，利用正弦函数的性质可求的取值范围.【详解】（1）由角、、成等差数列，所以，又因为，所以，根据正弦定理得，的外接圆直径.（2）由（1）知，，所以，所以，由（1）知的外接圆直径为1，根据正弦定理得，，．，，，从而，所以的取值范围是，【点睛】本题主要考查了正弦定理、三角函数恒等变换的应用，考查正弦函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.25．（甘肃省天水市田家炳中学2022-2023学年高三下学期开学考试数学（文科）试题）记的内角的对边分别为．已知，为边的中点．(1)证明：；(2)若，，求的周长．【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）利用正余弦定理求出，再利用三角函数证明出；（2）利用勾股定理求出，再利用三角函数求出，进而求出周长.【详解】（1）对于，因为，所以，所以,即.利用正弦定理,得.利用余弦定理,所以，即.因为，所以，利用正弦定理，得：.因为，所以.因为，所以，所以.（2）在中，，，所以，.所以.因为为边的中点，所以.在直角三角形中，利用勾股定理得：，解得：.所以.所以的周长.26．（河南省平顶山市汝州市2022届高三3月联考文科数学试题）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积.(1)求角A的值；(2)延长AC至点D，使得CD＝AC，且BD＝2BC，若c＝6，求△ABC的周长.【答案】(1)；(2)【分析】（1）化简即得解；（2）设，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，解方程即得解.(1)解：由题得.因为.(2)解：如图，设，在中，由余弦定理得，（1）在中，由余弦定理得，即，（2），（1）（2）得.所以△ABC的周长为.所以△ABC的周长为.27．（甘肃省酒泉市2022届高三5月联考文科数学试题）在中，内角、、所对的边分别为、