图像分析与正交变换

第

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章图像分析与正交变换2.1二维傅里叶变换

2.1.1二维线性位移不变系统

2.1.2空间频率响应及其物理意义

2.1.3二维傅里叶变换2.2图像信号的分析

2.2.1图像的扫描与抽样

2.2.2二维抽样定理第

2

章图像分析与正交变换（续）2.2.3图像的量化2.3正交变换

2.3.1二维离散线性变换

2.3.2二维离散傅里叶变换

2.3.3二维离散余弦变换

2.3.4正交变换的性质2.4图像的统计特性

2.4.1图像的空间域统计特性第

2章图像分析与正交变换2.4.2图像的频率域统计特性

2.4.3图像差值信号的统计特性

2.1二维傅里叶变换2.1.1二维线性位移不变系统如果对二维函数所作的运算L[•]满足：

式中，若a为任意常数，则称此运算为二维线性运算，由它所描述的系统为二维线性系统。二维单位脉冲函数可定义为：且满足式中，ε为任意小的正数。

由二维单位脉冲函数定义易于得到物理意义：单位冲击函数是一个高度抽象的数学函数，但它又是与现实世界紧密联系的。通常，我们可以用单位冲击函数去近似一个点光源，而实际的图像又可以看作由无数的强度不等的点光源组成。因此，单位冲击函数是研究图像系统的强有力的数学工具。当输入的单位脉冲函数延迟了α、β单位后，若有成立，则称此系统为二维线性位移不变系统。2.1.2空间频率响应及其物理意义设输入信号是复正弦：

若记则系统输出为

上式表明，输出信号与输入信号是相同频率的复正弦信号，而它的幅度和相位则受复增益的影响而变化。2.1.3二维傅里叶变换

由于推广到一般的二维函数，可得二维傅立叶变换的定义如下：设是两个独立变量x，y的函数，且则定义积分为f(x,y)的傅里叶变换，并定义与为F(u,v)的反变换，通常用双箭头表示这对傅里叶变换的关系，即与一维的傅里叶变换相比，下面我们对二维傅里叶变换进行一些讨论：1.关于变换前后的坐标在一维的傅里叶变换中，变换前的函数往往是时间的函数，变换后的函数则是角频率（单位：rad/s）或频率（单位：Hz）的函数。

图像的二维傅里叶变换中，变换前的图像是空间坐标的函数，即具有长度单位，变换后的函数是空间频率的函数。空间频率，指的是函数在空间上变化的周期的倒数，因此，它的单位是长度单位的倒数。2.关于空间频率的物理意义3.变换的意义将分布在空间域中的图像变换到频率域中，得到的是其频谱，即图像中所含的频率分量的分布情况。从反变换式可见，各分量的存在与否及其幅度和相位由相应的变换系数决定。二维傅里叶变换对于分析图像信号的作用，就像一维傅里叶变换对于分析一维时间信号的作用一样，是一种不可替代的强有力的工具。它使我们能够从频域这样一个完全不同的角度去分析和研究图像，并建立起一整套相应的理论体系。4.线性移不变系统的频率特性卷积定理如果给定则有成立。

2.2图像信号的分析图像的原始形式通常是连续的，不但在空间上是连续的，而且在亮度上也是连续的。为了得到其数字形式，需要在空间和亮度上使其离散化，这个过程叫做抽样和量化。2.2.1图像的扫描与抽样图2-2扫描与抽样2.2.2二维抽样定理

对于二维带限信号，如果其二维傅里叶变换只在和的范围内不为零，那么当取样间隔时，该信号就能准确地从其均匀矩形抽样中恢复出来。图2-4均匀矩形抽样图2-5混叠失真2.2.3图像的量化最简单的量化方式是将像素的连续亮度值等间隔地分层量化，称为均匀量化；而将不等间隔的量化方式称为非均匀量化。对于均匀量化，量化分层越多，量化误差就越小，编码所用码字的比特数也越多。非均匀量化通常有两种方式，第一种方式是客观计算法。第二种方式是主观量化法。

1.最佳量化使量化误差为最小的方法称为最佳量化方法。最佳量化的设计方法通常有两种：一种是客观计算方法，即以量化误差的均方值最小为原则，在量化等级数给定的情况下，根据图像像素灰度分布概率密度函数，确定量化层灰度。另一种是主观准则设计方法，即根据人眼的视觉特性设计量化器。连续输入和量化输出之间的量化均方误差为图2-6量化的分层示意图（2）主观准则量化器通过人眼视觉特性试验，可以得出量化误差可见度阈值（即察觉不出的最大量化误差的绝对值）与预测误差的关系，在亮度较平坦的图像区域，即便是较小的量化误差也很容易被发现。而在图像边缘相邻两侧的亮度值相差较大时，即便有较大的量化误差，人眼也不敏感，即人眼具有掩盖效应。而由于最终判定图像失真量的是人的视觉。那么，在保证图像的失真尽量小的条件下，就可以利用人眼视觉掩盖效应来设计量化器。在灰度级变化比较平坦的区域，量化间隔设计小一些；在细节丰富的区域或边界处，量化间隔大一些，以减少量化分层总数。这就是主观准则量化器设计的基本思想。图2-7可见度阈值曲线2.3正交变换2.3.1二维离散线性变换

1.变换式与变换核

在大部分已有的变换中，变换核都可表示为

这时的变换称为变换核可分离的，并可进一步写成这表明，一个变换核可分离的二维离散线性变换，可通过分别对于两个变量的一维离散线性变换来实现，对于正反变换都是如此。2.变换的矩阵形式将数字图像或图像块及其变换表示成矩阵形式，有f(x,y)F(u,v)

同样，变换核的矩阵形式，即变换矩阵为

在线性变换中，如果矩阵有逆，则称这个变换是可逆的，其逆变换为，傅立叶变换就是可逆变换。实酉矩阵称为正交矩阵，而相应的变换称为正交变换2.3.2二维离散傅里叶变换

1.二维离散傅里叶变换的定义式中的指数项分别称为正变换核和反变换核，分别为课件制作人：娄莉图2-11分别给出一幅灰度图像和它的傅立叶频谱。

>>X=imread('D:\ProgramFiles\MATLAB\R2008a\work\images\star.png');>>X=double(X);>>X_fft=fftn(X);>>X_fft_shift=fftshift(X_fft);>>imshow(uint8(X_fft_shift));2.二维离散傅里叶变换的性质

（1）基图像DFT

的基图像(N=8PhaseImage)（2）变换的可分离性当M=N时，正反变换核可以分解成只含ux和vy的两个指数函数的乘积，于是其相应的二维DFT可以分离成两次一维DFT之乘积图2-12二维DFT的分离过程

（3）线性由于二维DFT和反变换对于加法是可以分配的，且都是线性变换，因此有（4）可分离性乘积对于二维DFT有（5）缩放性对于两个标量a和b有说明了函数在空间比例尺度上的展宽相应于在频域比例尺度上的压缩，且其幅值也减少为原来的1/|ab|。如图2-13所示。

图2-13傅里叶变换的缩放性（6）位移性DFT的位移性在空间域和频率域的性质如下：对空间平移有对频率平移有上两式表明，在空域上的图像原点平移到时，其对应的频谱要乘上一个指数项而频域上的原点平移到（u0，v0）时，其对应的f(x,y)要乘上一个指数项。位移性说明，当在空域上平移时，在频域上只产生相移，而傅里叶变换的幅值不变。反之，当频域上平移时，相应的在空域上也只产生相移而幅值不变。图2-14频谱的平移（7）周期性设m，n为整数，m，n=0,±1,±2…,将u=u+mM和v=v+nN代入（2-60），得（8）共轭对称性共轭对称性可以由其定义直接进行证明而得共轭对称性说明二维DFT所得频谱的幅值是以原点为中心对称的。利用此性质，在求一个周期内的频谱函数值时，只要求出半个周期，另外半个周期也就知道了，这样就大大地减少了计算量。（9）平均值二维离散函数平均值定义为将u=v=0代入式（2-60）可得因此，当要求二维离散信号的平均值时，只需要算出相应的傅里叶频谱F(u,v)在原点的值即可。（10）旋转不变性若引入极坐标，将直角坐标改写极坐标形式，即得到则f(x,y)和F（u,v）分别表示为f(r,θ)和F(ω,φ)。图2-15旋转不变性X=zeros(1000,1000);X(350:649,475:524)=1;subplot(221);imshow(X,'notruesize');xlabel(‘(a)原始图像');subplot(222);X_fft=fftshift(abs(fft2(X)));imshow(X_fft,[-1,5],'notruesize');xlabel(‘(b傅立叶变换频谱');（11）卷积定理对于二维离散傅立叶变换，仍然存在类似的空间域卷积定理和频率域卷积定理。离散卷积定义为与连续二维傅立叶变换的卷积定理类似，可以证明二维离散傅立叶变换的空间域卷积定理的成立以及频率域卷积定理的成立（13）乘积定理乘积定理用下式来表示：当时，有该式也称作Parseval定理或Rayleigh定理，它说明函数在空间域的能量和它在频率域上的能量相等。Transform(Example)A=zeros(128);A(33:33+63,33:33+63)=255*ones(64);%A=imread('lena.bmp','bmp');m=fft2(A);m=fftshift(m);subplot(2,2,1);imshow(A);title('OriginalImage');subplot(2,2,3)mm=log(1+abs(m));mm=mm/max(max(mm))*255;imshow(uint8(mm));title('Modulus');Transform(Example)（cont.）subplot(2,2,4)ma=angle(m);ma=(ma-min(min(ma)))/(max(max(ma))-min(min(ma)))*255;imshow(uint8(ma));title('Phase');[i,j]=find(abs(m)==max(max(abs(m))));m(i,j)=m(i,j)*2;s=ifft2(m);subplot(2,2,2)imshow(uint8(abs(s)));title('ReconstructionImage');Transform(Example)2.3.3二维离散余弦变换1.一维DCT下面通过DCT与DFT的关系推导出DCT的定义图2-17偶函数延拓于是对g(x)求2M点的一维DFT，有由于g(x)为偶对称序列，并以式（2-109）代入，可运用欧拉公式，得到我们定义f(x)的一维DCT为同理，其反变换为2.二维DCT从一维DCT的定义可以推广到二维DCT式中u=0,1,…M-1,v=0,1,…N-1,x=0,1,…M-1,y=0,1…,N-1图2-18给出一个离散余弦变换的示例，图（a）是一幅原始图像，图（b）是对图（a）的离散余弦变换结果（变换幅值或系数的分布），左上角对应低频分量，图（a）中的大部分能量在低频部分。图2-18离散余弦变换示例

（a）原始图像

(b)离散余弦变换结果3.快速算法分析二维DCT和DFT均存在快速算法，若直接用DFT的定义计算共需复数乘法次数为用FFT算法计算时，一次一维FFT是计算N列，每列N点，所需的复数乘法次数为对于一维N点DCT变换，所需运算次数为次实数加法以及次实数乘法。2.3.4正交变换的性质总结DFT和DCT，其共同具有的性质如下：（1）能量守恒性。（2）能量集中性。（3）去相关性。（4）熵保持性。2.4图像的统计特性2.4.1图像的空间域统计特性按照随机过程理论，图像可以看作是一个随机场，也具有相应的随机特性.在空间域中，数字图像表现为空间上分布的点阵，其统计特性主要用体现像素取值的概率分布函数和标志像素间关系的相关函数或条件概率来表示。按照随机过程理论，图像可以看作是一个随机场，也具有相应的随机特性。在空间域中，数字图像表现为空间上分布的点阵，其统计特性主要用体现像素取值的概率分布函数和标志像素间关系的相关函数或条件概率来表示。图2-19灰度图像的直方图仅用直方图不能完整地描述一幅图像，因为一幅图像对应一个直方图，但一个直方图不一定对应一幅图像，几幅图像只要灰度分配密度相同，它们的直方图是相同的。图2-20几个具有相同直方图的图像实例尽管直方图不能表示出某灰度级的像素在什么位置，更不能直接反映出图像内容，但是具有统计特性的直方图却能描述该图像的灰度分布特性，并能够得到一些反映图像特点的有用特征，作为图像处理方法的重要依据。2.4.2图像的频率域统计特性在频率域上，图像表现为不同频率分量系数的分布。按照空间域和频率域的对应关系，空间域中的强相关性，即图像存在大量的