应力应变及应力应变关系

§10应力应变分析及应力应变关系§10.1应力的概念一点处的应力状态1.内力在变形体内某一截面上分布的描述TM用截面法求某一截面上的内力，得出该截面上的内力分量：——截面分布内力系向截面形心简化后的等效力系为正确描述变形，应在该截面上的每一点，描述内力的状况。xyzAA在P点取面元A，A上分布内力合力为在m-m截面上P点处定义：m-m截面上P点的正应力m-m截面上P点的切应力（剪应力）m-m截面上P点的全应力应力的单位：1Pa=1N/m21Mpa=106Pa1Gpa=103Mpa=109Pa2.变形体内某一点的应力状态——应力张量的概念正应力、切应力（或全应力）——均与过物体内部的某一点的一个截面有关过物体内部某点p的所有截面上的应力分量的总体，称为变形体在该点的应力状态描述变形体内部某点的应力状态，应用二阶张量描述§10.2应力张量的表示方法（分量表示法）1.单元体的概念变形体内某点处取出的边长无限小的体积微元在直角坐标系下，单元体为无限小正六面体xyzxyz单元体的三对表面：正面：外法向与坐标轴同向负面：外法向与坐标轴反向单元体是变形体的最基本模型2.应力张量的表示方法单元体每个表面上，都有该点在该截面上的应力矢量（全应力），可分解为三个分量每对表面上的应力矢量互为反作用力，共9个分量xyzxyz各应力分量的记法该分量的指向所在面的法向两脚标相同——正应力两脚标不同——切应力故应力张量的分量表示为：或或若记x=1,y=2,z=3,则3.单元体的平衡条件xyzxCyCzC以单元体为分离体,过其形心C作xC,yC,zC轴：切应力互等定理故应力张量为二阶对称张量9个分量中，只有6个独立分量！§10.3平面应力状态分析若某点的单元体应力状态满足：9个应力分量有些为零，不为零的应力分量作用线都在同一平面内——称为平面应力状态或二向应力状态xyz可简化为平面单元体：xy例如当物体的表面不受力时在表面取出的单元体例如外力作用在板平面内的薄板内任意点取出的单元体1.平面应力状态的工程表示方法xy正应力，以拉为正切应力，以使单元体顺时针转动为正应力分量的正负号规定：故切应力互等定理为：2.平面应力状态分析——解析法若某点的应力状态已知，可求出该点任意外法线与为n的斜截面上的应力分量。已知：某点单元体上的应力分量xyn求该点外法线为n的斜截面——面上的正应力,切应力。沿斜面将单元体切开取分离体，设斜面面积为dAnt同理可得：斜面应力公式（10.1）(10.2)xyn§10.4主平面、主方向、主应力、最大切应力1.主平面主方向主应力在变形体内某一点处：若某一方向的斜截面上，则该截面称为主平面该斜截面的方向角称为主方向，记为P，则有(10.2)0~2内，得两个值和，且（10.3）主方向公式即这两个主平面相互垂直主平面上的正应力称为主应力由斜面应力公式（10.1）令即（10.3）式同样有故，主平面上的正应力达到极值即主应力分别对应于的极大值和极小值将P1，P2代入（10.1）得出主平面上的主应力为：（10.4)主应力公式以主平面为单元体的各面则称为主单元体xy从变形体内任意点取出的单元体称为原始单元体主单元体的各表面上只有正应力，没有切应力对平面应力状态，z平面也为一个主平面，其上的主应力为零。故平面应力状态有三个主应力：按代数值大小排列为123分别称为第一主应力，第二主应力，第三主应力，对任意的一般应力状态，同样存在着三个相互垂直的主平面及三个主应力。一般应力状态的分类；某点的三个主应力全不为零——该点为三向应力状态某点有一个主应力为零——该点为二向应力状态某点有二个主应力为零——该点为单向应力状态，简单应力状态某点处所有截面上的正应力，其极大值为1，极小值为3单向、双向、三向应力状态2.某点单元体的最大切应力由斜面应力公式求导(10.2)上式的两个解S1，

S2为切应力达到极值的平面S与主平面P相差45º，即P1与P2的角平分线方向为S1和

S2的方向。切应力的极值为：PS45ºxPi注意同理，某点的三个主应力中，任意二个主应力都可找出一组切应力极值，分别为：该点单元体的最大切应力应为三者当中的最大者，即（10.5）主切应力所在平面所在平面所在平面而最凯大切翼应力损所在行平面基的法哭向应撑为1，3两方缴向的修角平迫分线密方向本。321max思考投题：最大抹切应班力所旅在平咏面上副的正优应力分是多情少？=？已知太初始弱单元枕体的首应力介(单俭位：Mp洞a)，佳求主由单元赛体上沾的应自力并践画出秀主单鉴元体吃。解：xy例勇题舱1§1纠0应力资应变脸分析窑与应揭力应广变关绪系例题由初始单元体上的应力分量代入锁主应诱力公蝇式：故三蔽个主诉应力断分别鼓为求主方向：例残题泼1§1努0应力掌应变宗分析傍与应故力应批变关施系例题§1片0.首5地应棚力圆一点垮处平哄面应幸力状就态的经图解榨法。xy由斜警面应烛力公怨式可潜得(b)(a)上两钱式两铅边平趋方后狠相加圆的方程：圆心()圆的半径：上式在应力坐标系中为一圆，称为应力圆(莫尔圆)圆心()圆的半径：R应力挤圆的番画法税：xy已知某点的平面应力状态为x面坐标Dx（）y面坐标Dy（）两点连线与轴的交点为圆心C以CDx为半堂径画争出应夏力圆应力磁圆的垄物理兴意义柳：圆周炒上任却意一兼点的疾坐标肥值，辩为该腐点某肢一斜荷截面券上的正悉应力境和切藏应力xy角以砍逆时列针为离正R2因此，当连续变化至时，坐标绕应力圆的圆心转一周.应力圆上一点，由绕圆心转过角，对应截面上的应力Rxy2从应钢力圆灾上还拒可找抄到：纤主应联力，距主方笑向，债主切剩应力主应蚂力：主方祸向：方向最大切应力：yx单元墙体的洞主应杂力、役主方走向、理主切誉应力（2倡）纯古剪切呜（纯凤剪）TT主单元体45º-几种观工程肺上常轰见的泳应力序状态煤的实筹例：（1迫）单惭向拉薄伸（2画）单肌向压败缩单拉-

单压某点单元体应力状态如图，确定该点的主应力、主方向，画出主单元体及其上的应力，并在应力圆上标出图示截面上的应力，（单位：）例技题迫2§1蝇0应力您应变狗分析煮与应泽力应胁变关乖系例题解：例旺题敢2§1悠0应力伞应变窃分析瓜与应夺力应品变关撑系例题与2对应主应力为：与1对应D主单笨元体裁：例衡题伤2§1劲0应力想应变台分析帆与应蚀力应易变关之系例题已知应力圆如图，画出该点的初始单元体及应力，主单元体及应力。（单位：）解：例腰题季3§1毒0应力裤应变末分析石与应巴力应会变关寻系例题初始眉单元泻体xy半径主单扎元体思：例示题眉3§1莫0应力兼应变敏分析样与应堡力应呀变关益系例题xy112.5°xzy§1横1.法5酿三向猜应力眯状态将三决个主烦应力泥按代冤数量哥的大献小顺台序排祥列因此拿根据气每一令点的杜应力介状态画都可愿以找贩到3万个相笛互垂盈直的宫主应鹿力和直3个碑正交翅的主李方向xzy三向席应力旨圆空间任意方向截面上的应力，可由三向应力圆所夹阴影面中某点的应力坐标表示。一点处最大的剪应力K求，，，解：在，平面内例裕题判4§1洲0应力袋应变散分析准与应辫力应忽变关兽系例题为一个主应力一点的变形有正应变(线应变)和切应变(剪应变)§1余1.鲜6锅应变俗分析1.赌某点贺处（程单元粉体的生）变逼形的雹描述席——初应变xyz正应判变—姨—线灿段单愉位长窄度的雹改变口量，衣无量吐纲切应变朗——烟直角休的改窜变量语，单谣位：忧弧度某点宋处的漆应变雄——辰二阶籍对称不应变归张量在，坐标下2.巨平面度应变五状态价（批与平形面应足力状忠态对堂应的附）单元蔬体的避相应巡寿尺寸盯与应网变相绩乘得偿单元融体的酬绝对赖变形坏量xyxyxy在，坐标下，方向到方向夹角令，，与平面应力状态的分析类似有某点沙各个敢方位驴应变惨的情顶况称校为该弹点的袖应变另状态应变分析公式斜面应力公式（10.1）(10.2)类似张，也裹可求怨出该荡点的狗主应津变，眯主应锹变方运向应变智花：可证明：在应力或变形不是很大的情况下（线弹性范围）主应力与主应变的方向是重合的。可用于实验测定一点处的应变状态120°120°45°45°胡克定律比例系数称为材料的弹性模量

比例系数称为泊松比§1供1.喇7至应贪力应竭变关赵系1.乖单向托应力新状态横向络应变纵向剧应变1在线弹性范围内剪切胡克定律——切变模量

可证明2.酱纯剪柄应力色状态只有作用时3.迹广义着胡克祸定律只有作用时只有作用时只有作用时故某臭点为炭任意湾应力洽状态乘时应天满足融：对主惑单元向体已知一构件表面一点的应变：求该点的主应力和最大切应力。例圆题洋5§1火0应力渐应变孕分析洲与应禁力应叉变关谊系例题解：则例速题莲5§1秋0应力甜应变屑分析吵与应旷力应投变关堵系例题设xy整理殃后例冠题碗5§1统0应力输应变淘分析泻与应歉力应序变关宿系例题平面当应力麦状态泰下的吃广义诸胡克怖定律某点的应力状态为纯剪切，在该点测得与x轴夹角为-45⁰方