安徽省宿州市尤集中学高三数学理上学期期末试题含解析

安徽省宿州市尤集中学高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知复数z满足，则z=（

）A. B. C. D.参考答案：D设，则，由已知有，所以，解得，即，选D.

2.设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，给出下列命题：①∥,⊥，则⊥；②若⊥，⊥，⊥，则⊥；③若⊥，⊥，，则∥；④⊥，⊥，则∥，或.其中真命题是（）.A．①④B．②④C．②③D．③④参考答案：答案：B3.设复数：为实数，则x=

（

）

A．－2

B．－1

C．1

D．2

参考答案：答案：A4.已知是空间四点，命题甲：四点不共面，命题乙：直线和不相交，则甲是乙成立的(

)A.充分不必要条件

B.必要不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：A5.已知函数f（x）=x2﹣2ax+2a2﹣2（a≠0），g（x）=﹣ex﹣，则下列命题为真命题的是(

) A．?x∈R，都有f（x）＜g（x） B．?x∈R，都有f（x）＞g（x） C．?x0∈R，使得f（x0）＜g（x0） D．?x0∈R，使得f（x0）=g（x0）参考答案：B考点：全称命题；特称命题．专题：简易逻辑．分析：求出两个函数的值域，然后判断选项即可．解答： 解：函数f（x）=x2﹣2ax+2a2﹣2=（x﹣a）2+a2﹣2≥a2﹣2＞﹣2，g（x）=﹣ex﹣=﹣（ex+）≤﹣2，显然?x∈R，都有f（x）＞g（x），故选：B．点评：本题考查函数的值域命题的真假的判断，基本知识的考查．6.． ．

． ．参考答案：C7.函数y＝ln(1－x)的定义域为()A．(0,1)

B．[0,1)

C．(0,1]

D．[0,1]参考答案：B8.已知函数f（x）=x2+2|x|，若f（﹣a）+f（a）≤2f（2），则实数a的取值范围是(

) A．[﹣2，2] B．（﹣2，2] C．[﹣4，2] D．[﹣4，4]参考答案：A考点：二次函数的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：易知函数f（x）=x2+2|x|是偶函数，且函数在[0，+∞）上是增函数；从而化为|a|≤2；从而求解．解答： 解：易知函数f（x）=x2+2|x|是偶函数，且函数在[0，+∞）上是增函数；故f（﹣a）+f（a）≤2f（2）可化为f（|a|）≤f（2）；故|a|≤2；故﹣2≤a≤2；故选A．点评：本题考查了函数的奇偶性与单调性的应用，属于基础题．9.命题“对任意，都有”的否定为（

）A．对任意，都有

B．存在，使得C．存在，使得

D．不存在，使得参考答案：B10.已知球的直径SC＝4，A，B是该球球面上的两点，AB＝，∠ASC＝∠BSC＝30°，则棱锥S-ABC的体积为 （）A．3

B．2

C．

D．1参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在△ABC中，边

角，过作，且，则

.参考答案：略12.已知圆和点，若定点和常数满足：对圆上任意一点，都有，则（Ⅰ）

；

（Ⅱ）

.参考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）13.已知m，n是两条不同的直线，是一个平面，

有下列四个命题：

①若，则；

②若，则；

③若，则；

④若，则．

其中真命题的序号有______________．(请将真命题的序号都填上)

第12题图

参考答案：②③

14..如图，在半径为3的球面上有三点，，球心到平面的距离是，则两点的球面距离是

.参考答案：15.在极坐标系中,直线与曲线相交于两点,为极点,则的大小为

参考答案：16.已知函数，如果，则的取值范围是

。参考答案：17.（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C1的参数方程为（t为参数），曲线C2的极坐标方程为sin－cos

=3，则Cl与C2交点在直角坐标系中的坐标为

。参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.若a、b、c是△ABC三个内角A、B、C所对边，且asinAsinB+bcos2A=a（1）求；（2）当cosC=时，求cos（B﹣A）的值．参考答案：【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）利用正弦定理即可求得；（2）利用余弦定理可求得c=a，从而可判断三角形△ABC为直角三角形，利用两角差的余弦即可求得答案．【解答】解：（1）由正弦定理得sin2AsinB+sinBcos2A=sinA即sinB=sinA，∴=

（2）∵=，∴b=a，∴由余弦定理=得c=a∴b2=3a2=a2+2a2=a2+c2，∴B=90°∴cos（B﹣A）=sinA=cosC=．19.已知函数f（x）=alnx++1．（Ⅰ）当a=﹣时，求f（x）在区间[，e]上的最值；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅲ）当﹣1＜a＜0时，有f（x）＞1+ln（﹣a）恒成立，求a的取值范围．参考答案：【考点】6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）求导f（x）的定义域，求导函数，利用函数的最值在极值处与端点处取得，即可求得f（x）在区间[，e]上的最值；（Ⅱ）求导函数，分类讨论，利用导数的正负，可确定函数的单调性；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当﹣1＜a＜0时，f（x）min=f（），即原不等式等价于f（）＞1+ln（﹣a），由此可求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=﹣时，，∴．∵f（x）的定义域为（0，+∞），∴由f′（x）=0得x=1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴f（x）在区间[，e]上的最值只可能在f（1），f（），f（e）取到，而f（1）=，f（）=，f（e）=，∴f（x）max=f（e）=，f（x）min=f（1）=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ），x∈（0，+∞）．①当a+1≤0，即a≤﹣1时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递减；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②当a≥0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣③当﹣1＜a＜0时，由f′（x）＞0得，∴或（舍去）∴f（x）在（，+∞）单调递增，在（0，）上单调递减；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣综上，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；当﹣1＜a＜0时，f（x）在（，+∞）单调递增，在（0，）上单调递减；当a≤﹣1时，f（x）在（0，+∞）上单调递减；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当﹣1＜a＜0时，f（x）min=f（）即原不等式等价于f（）＞1+ln（﹣a）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣即aln+﹣+1＞1+ln（﹣a）整理得ln（a+1）＞﹣1∴a＞﹣1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣又∵﹣1＜a＜0，∴a的取值范围为（﹣1，0）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣20.某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口北偏西且与港口相距20海里的处，并以30海里/小时的航速沿正东方向匀速行驶，假设该小艇沿直线方向以海里/小时的航速匀速行驶，经过小时与轮船相遇。（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？（2）假设小艇的最高航速只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航向与航速的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由。参考答案：某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口北偏西且与港口相距20海里的处，并以30海里/小时的航速沿正东方向匀速行驶，假设该小艇沿直线方向以海里/小时的航速匀速行驶，经过小时与轮船相遇。（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？（2）假设小艇的最高航速只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航向与航速的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由。20.解：（1）若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向。设小艇与轮船在C处相遇………..2分在中，如图，又此时轮船航行时间，

即小艇以海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小。

……..7分（2）设小艇与轮船在B处相遇，则有：故，

O

即，

解得

又时，故时，t取最小值，且最小值为此时在中，有OA=OB=AB=20

………12分故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇．14分21.（满分12分）设数列的前项和为.已知，，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）记为数列的前项和，求．参考答案：解：（Ⅰ）由题意，，则当时，.两式相减，得（）.

……………2分又因为，，，……………4分所以数列是以首项为，公比为的等比数列，……5分所以数列的通项公式是（）.

………………6分（Ⅱ）因为，所以，……8分两式相减得，，

………10分整理得，().

………………