2022年湖南省永州市山口铺中学高三数学理联考试卷含解析

2022年湖南省永州市山口铺中学高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在三维柱形图中，主对角线上两个柱形高度的乘积与副对角线上的两个柱形的高度的乘积相差越大两个变量有关系的可能性就

（）

A．越大

B．越小

C．无法判断

D．以上都不对参考答案：A2.设x∈R，则“1＜x＜2”是“|x﹣2|＜1”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A考点： 充要条件．专题： 简易逻辑．分析： 求解：|x﹣2|＜1，得出“1＜x＜2”，根据充分必要条件的定义判断即可．解答： 解：∵|x﹣2|＜1，∴1＜x＜3，∵“1＜x＜2”∴根据充分必要条件的定义可得出：“1＜x＜2”是“|x﹣2|＜1”的充分不必要条件．故选：A点评： 本题考查了简单的不等式的求解，充分必要条件的定义，属于容易题．3.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是

A．

B．1

C．

D．参考答案：.试题分析：由题意知，该几何体为一个长方体截去了两个三棱锥所得的图形，所以其体积为，，，所以，故应选.考点：1、三视图；2、空间几何体的体积；4.已知则下列函数的图像错误的是……（

）

(A)的图像

(B)的图像

(C)的图像

(D)的图像参考答案：D因为的图象是。所以，所以图象错误的是D.选D.5.已知直线l与双曲线相切于点P，l与双曲线两条渐进线交于M，N两点，则的值为（）A．3 B．4C．5 D．与P的位置有关参考答案：A【考点】双曲线的简单性质．【分析】取两个特殊位置，即可求出的值．【解答】解：取点P（2，0），则M（2，1），N（2，﹣1），∴=4﹣1=3，取点P（﹣2，0），则M（﹣2，1），N（﹣2，﹣1），∴=4﹣1=3，故选：A．【点评】本题考查双曲线的性质，考查直线与双曲线位置关系的运用，考查向量知识，属于中档题．6.设x，y满足约束条件，若z=ax+y仅在点（2，1）处取得最大值，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1） B．（2，+∞） C．（0，2） D．（﹣1，+∞）参考答案：B【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由得，即A（2，1），若z=ax+y仅在点（2，1）处取得最大值，即A是函数取得最大值的最优解，由z=ax+y得y=﹣ax+z，即目标函数的斜率k=﹣a，要使是函数取得最大值的最优解，若a=0，y=z，不满足条件，若﹣a＞0，此时直线在B处取得最大值，不满足条件．若﹣a＜0，即a＞0时，则满足﹣a＜﹣2，即a＞2，故选：B．7.某班要邀请6位教师中的4位参加元旦晚会，已知教师甲和教师乙不能同时参加，则不同的邀请方法种数为（

）

A、15 B、13

C、11 D、9参考答案：D略8.已知定义[x]表示不超过的最大整数，如[2]=2，[2，2]=2，执行如图所示的程序框图，则输出S=（）A．1991 B．2000 C．2007 D．2008参考答案：B【考点】程序框图．【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，依次写出每次循环得到的i，S的值，当i=10时，退出循环，输出的S的值为2000．【解答】解：i=1，s=2017，i=2；s=2016，i=3；s=2016，i=3；s=2016，i=4，s=2016，i=5；s=2015，i=6；s=2010，i=7；s=2009，i=8；s=2008，i=9；s=2007，i=10；s=2000，跳出循环，输出s=2000，故选：B．9.已知集合，，则（

）A．{1}

B．{－2,1}

C．{x︱－1≤x≤1}

D．{x︱x=－2或－1≤x≤1}参考答案：A，，，故选A.10.若函数y1=sin2x1﹣（x1∈[0，π]），函数y2=x2+3，则（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2的最小值为（）A．π B． C． D．参考答案：B【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】根据平移切线法，求出和直线y=x+3平行的切线方程或切点，利用点到直线的距离公式即可得到结论．【解答】解：设z=（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2，则z的几何意义是两条曲线上动点之间的距离的平方，求函数y=sin2x﹣（x∈[0，π]）的导数，f′（x）=2cos2x，直线y=x+3的斜率k=1，由f′（x）=2cos2x=1，即cos2x=，即2x=，解得x=，此时y=six2x﹣=﹣=0，即函数在（，0）处的切线和直线y=x+3平行，则最短距离d=，∴（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2的最小值d2=（）2=，故选：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.圆与直线y=x相切于第三象限，则a的值是

．参考答案：因为圆与直线y=x相切于第三象限，所以。则有圆心到直线的距离，即，所以12.的展开式中的常数项为______________.(用数字作答)参考答案：2413.已知复数z满足（i为参数单位），则复数z的实部与虚部之和为．参考答案：考点：复数的基本概念；虚数单位i及其性质．专题：待定系数法．分析：复数z=a+bi（a、b∈R），代入已知的等式，利用两个复数代数形式的乘除法法则及两个复数相等的充要条件，解方程组求出复数的实部和虚部．解答：解：设复数z=a+bi（a、b∈R），代入已知的等式得=3，=3，=3，∴a=1，b=，∴a+b=1+=，故答案为：．点评：本题考查两个复数代数形式的乘除法，两个复数相等的条件及复数实部、虚部的定义．14.某学院的A，B，C三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生的勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本，已知该学院的A专业有380名学生，B专业有420名学生，则该学院的C专业应抽取

名学生。参考答案：40略15.已知函数，若函数f（x）在区间[﹣2，a]上单调递增，则实数a的取值范围是．参考答案：[1，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】分类讨论；转化思想；综合法；函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】f′（x）=x2+2x+a，由于函数f（x）在区间[﹣2，a]上单调递增，可得：f′（x）≥0在区间[﹣2，a]上恒成立．令g（x）=（x+1）2+a﹣1，x∈[﹣2，a]．对a分类讨论即可得出．【解答】解：f′（x）=x2+2x+a，∵函数f（x）在区间[﹣2，a]上单调递增，∴f′（x）=x2+2x+a≥0在区间[﹣2，a]上恒成立．令g（x）=x2+2x+a，x∈[﹣2，a]．g（x）=（x+1）2+a﹣1，①当﹣2＜a＜﹣1时，函数g（x）在x∈[﹣2，a]单调递减，∴必有g（a）=a2+3a≥0，解得a≤﹣3或a≥0，舍去．②当﹣1≤a时，函数g（x）在x=﹣1时取得最小值，∴必有g（x）≥g（﹣1）=1﹣2+a≥0，解得a≥﹣1，满足条件．综上可得：a≥﹣1．∴实数a的取值范围是[﹣1，+∞）．故答案为：[﹣1，+∞）．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、二次函数的单调性、恒成立转化问题，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．16.已知方程x3﹣ax+2=0（a为实数）有且仅有一个实根，则a的取值范围是．参考答案：（﹣∞，3）【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】方程x3﹣ax+2=0，即为a=x2+，由f（x）=x2+，可得导数及单调区间，可得极小值，由题意可得a的范围．【解答】解：方程x3﹣ax+2=0，即为a=x2+，由f（x）=x2+，导数f′（x）=2x﹣，可得f（x）在（1，+∞）单调递增，在（0，1）递减，在（﹣∞，0）递减，即有x=1处取得极小值3，有且仅有一个实根，则a＜3．故答案为：（﹣∞，3）．【点评】学会用导数及单调性处理根的存在与个数问题，极值是解决此问题的关键．是中档题．17.已知，则的最大值为__________.参考答案：试题分析：令,因,故,即,则,故应填.考点：三角变换及运用．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设函数（为常数，是自然对数的底数）（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；（Ⅱ）若函数在内存在两个极值点，求的取值范围．参考答案：（Ⅰ）函数的定义域为由可得所以当时，，函数单调递减，所以当时，，函数单调递增，所以的单调递减区间为，的单调递增区间为…………..4（Ⅱ）由（Ⅰ）知，时，在内单调递减，故在内不存在极值点；当时，设函数，，因此．当时，时，函数单调递增故在内不存在两个极值点；………6当时，0

函数在内存在两个极值点当且仅当，解得综上函数在内存在两个极值点时，的取值范围为……..1219.如图，四棱锥P﹣ABCD中，平面PAC⊥平面ABCD，AC=2BC=2CD=4，∠ACB=∠ACD=60°．（Ⅰ）证明：CP⊥BD；（Ⅱ）若AP=PC=，求三棱锥B﹣PCD的体积．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（Ⅰ）推导出AC⊥BD，由平面PAC⊥底面ABCD，得BD⊥平面PAC，由此能证明CP⊥BD．（Ⅱ）记BD交AC于点O，作PE⊥AC于点E，则PE⊥底面ABCD，由此能求出三棱锥B﹣PCD的体积．【解答】证明：（Ⅰ）∵BC=CD，即△BCD为等腰三角形，又AC平分∠BCD，故AC⊥BD，∵平面PAC⊥底面ABCD，平面PAC∩底面ABCD=AC，∴BD⊥平面PAC，∵CP?平面PAC，∴CP⊥BD．解：（Ⅱ）如图，记BD交AC于点O，作PE⊥AC于点E，则PE⊥底面ABCD，∵AP=PC=2，AC=4，∴∠APC=90°，PE=2，由OC=CD?cos60°=1，又OD=CD?sin60°=，得，∴三棱锥B﹣PCD的体积VP﹣BCD===．20.(本小题满分10分)选修45：不等式选讲设函数

（1）解不等式；

（2）求函数的最小值。参考答案：21.（本小题满分14分）在直三棱柱中，AC=4,CB=2,AA1=2，，E、F分别是的中点．（1）证明：平面平面；（2）设P为线段BE上一点，且，求三棱锥的体积．

参考答案：（1）在，∵AC=2，BC=4,，∴，∴，∴.………………3分由已知，，∴.

…5分

又∵，即平面平面

……7分（2）取的中点，连结，则且，由（1），∴，