福建省福州市私立国华中学高一数学理期末试题含解析

福建省福州市私立国华中学高一数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设函数，为常数且，则的零点个数是（

）A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：C2.定义为n个正数p1，p2，…，pn的“均倒数”．若已知正数数列{an}的前n项的“均倒数”为，又bn=，则+++…+=（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】8E：数列的求和．【分析】直接利用给出的定义得到=，整理得到Sn=2n2+n．分n=1和n≥2求出数列{an}的通项，验证n=1时满足，所以数列{an}的通项公式可求；再利用裂项求和方法即可得出．【解答】解：由已知定义，得到=，∴a1+a2+…+an=n（2n+1）=Sn，即Sn=2n2+n．当n=1时，a1=S1=3．当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=（2n2+n）﹣=4n﹣1．当n=1时也成立，∴an=4n﹣1；∵bn==n，∴==﹣，∴+++…+=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=，∴+++…+=，故选：C3.已知函数的最小正周期为π，若，则的最小值为（

）A. B. C.π D.参考答案：A【分析】由正弦型函数的最小正周期可求得，得到函数解析式，从而确定函数的最大值和最小值；根据可知和必须为最大值点和最小值点才能够满足等式；利用整体对应的方式可构造方程组求得，；从而可知时取最小值.【详解】由最小正周期为可得：

，

和分别为的最大值点和最小值点设为最大值点，为最小值点

，当时，本题正确选项：A【点睛】本题考查正弦型函数性质的综合应用，涉及到正弦型函数最小正周期和函数值域的求解；关键是能够根据函数的最值确定和为最值点，从而利用整体对应的方式求得结果.4.某学校高一年级共有480名学生，为了调查高一学生的数学成绩，采用系统抽样的方法抽取30名学生作为调查对象.将480名学生随机从1～480编号，按编号顺序平均分成30组(1～16号，17～32号，…，465～480号)，若从第1组中用抽签法确定的号码为5，则第8组中被抽中学生的号码是（）A.25 B.133 C.117 D.88参考答案：C根据系统抽样样本编号的确定方法进行求解，因为第1组抽出的号码为5，分组间隔为16，所以第8组应抽出的号码是(8-1)×16+5=117。选C。点睛：系统抽样则主要考查分组数和由第一组中抽取的样本推算其他各组应抽取的样本，即等距离的特性，解题的关键是的关键是掌握系统抽样的原理及步骤。5.要得到函数y=cos2x的图象，只需将函数的图象（）A．向左平移 B．向右平移 C．向左平移 D．向右平移参考答案：C【分析】把式子x的系数提取出来，原函数的图象向左平移就是在x上加，得到要求函数的图象．【解答】解：y=cos（2x﹣）=cos2（x﹣）的图象，向左平移可得函数y=cos2x的图象．故选C．【点评】图象的平移，是左加右减，若x的系数不为1，则一定要提取出来，y=Acos（ωx+φ）的图象向左平移θ个单位，得到图象的解析式为y=Acos[ω（x+θ）+φ]．6.（5分）已知集合M={﹣1，1}，，则M∩N=（） A． {﹣1，1} B． {﹣1} C． {0} D． {﹣1，0}参考答案：B考点： 交集及其运算．分析： N为指数型不等式的解集，利用指数函数的单调性解出，再与M求交集．求解答： ?2﹣1＜2x+1＜22?﹣1＜x+1＜2?﹣2＜x＜1，即N={﹣1，0}又M={﹣1，1}∴M∩N={﹣1}，故选B点评： 本题考查指数型不等式的解集和集合的交集，属基本题．7.函数f（x）=x2﹣（）x的零点有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：C【考点】函数零点的判定定理．【分析】把函数f（x）=x2﹣（）x的零点转化为求函数y=x2与y=（）x的交点的横坐标，在同一坐标平面内作出两个函数的图象得答案．【解答】解：函数f（x）=x2﹣（）x的零点，即为方程x2﹣（）x=0的根，也就是函数y=x2与y=（）x的交点的横坐标，作出两函数的图象如图，由图可知，函数f（x）=x2﹣（）x的零点有3个．故选：C．8.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则△ABC的形状为（

）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形参考答案：A△ABC中，，所以.由正弦定理得：.所以.所以，即因为为△ABC的内角，所以所以△ABC为等腰三角形.故选A.9.某同学使用计算器求50个数据的平均数时，错将其中的一个数据150输入为15，那么由此求出的平均值与实际平均值的差是

（

）

A．

B．

C．3

D．参考答案：B10.若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（

）A．

B．C．

D．参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是

.参考答案：略12.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若，则△ABC的面积为__________.参考答案：【分析】本题首先应用余弦定理，建立关于的方程，应用的关系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查．【详解】由余弦定理得，所以，即解得（舍去）所以，【点睛】本题涉及正数开平方运算，易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误．解答此类问题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算．13.数列{an}满足，且a1=，则a2017=．参考答案：【考点】数列递推式．【分析】，且，可得an+5=an．利用周期性即可得出．【解答】解：∵，且，∴a2=2a1=，a3=a2﹣1=，a4=2a3=，a5=a4﹣1=，a6=2a5=，…，∴an+5=an．则a2017=a403×5+2=a2=．故答案为：．14.一箱产品有正品4件，次品3件，从中任取2件，其中事件“至少有1件次品”的互斥事件是_____参考答案：“都是正品”【分析】根据互斥的定义得出所求的互斥事件。【详解】由题可知，事件“至少有1件次品”的互斥事件为“没有件次品”，即“都是正品”，故答案为“都是正品”。【点睛】本题考查互斥事件的定义，熟悉互斥事件的定义是解本题的关键，意在考查学生对这些基本概念的理解，属于基础题。15.在△ABC中，，，则______．参考答案：由题意可得：，利用诱导公式可得：.16.已知向量=（2，2），=（﹣3，4），则?=．参考答案：2考点：平面向量数量积的运算．

专题：平面向量及应用．分析：利用平面向量的数量积的坐标表示解答．解答：解：由已知得到?=2×（﹣3）+2×4=﹣6+8=2；故答案为：2．点评：本题考查了平面向量的数量积的坐标运算；=（x，y），=（m，n），则?=xm+yn．17.的图象恒经过定点P，则点P的坐标为＿___参考答案：（1,4）三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（满分12分）已知定义域为的奇函数当时，（1）求函数的解析式；

（2）计算的值。参考答案：（1）为上的奇函数………………1分设，则ks5u则得……………4分…………6分（2）由（1）知…………8分…………1219.（本小题满分10分）在△ABC中，若则△ABC的形状是什么？参考答案：解—：或，得或所以△ABC是直角三角形。解二：由余弦定理得：上式两边同乘以：或所以△ABC是直角三角形。略20.（12分）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是BC的中点，AA1=AB=a（Ⅰ）求证：AD⊥B1D；（Ⅱ）求证：A1C∥平面AB1D；（Ⅲ）求三棱锥C﹣AB1D的体积．参考答案：考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．专题： 综合题；空间位置关系与距离．分析： （Ⅰ）在正三棱柱中，易证明BB1⊥平面ABC及AD⊥BD，根据三垂线定理可知：AD⊥B1D（Ⅱ）根据直线与平面平行的判定定理可知，只要在平面AB1D里面找到一条直线与A1C平行即可，因为D为BC中点，所以构造平行线的时候可以考虑一下构造“中位线”，连接A1B，设A1B∩AB1=E，连接DE，所以DE∥A1C．（Ⅲ）利用，即可求三棱锥C﹣AB1D的体积．解答： （Ⅰ）证明：∵ABC﹣A1B1C1是正三棱柱，∴BB1⊥平面ABC，∴BD是B1D在平面ABC上的射影在正△ABC中，∵D是BC的中点，∴AD⊥BD，根据三垂线定理得，AD⊥B1D．（Ⅱ）证明：连接A1B，设A1B∩AB1=E，连接DE．∵AA1=AB∴四边形A1ABB1是正方形，∴E是A1B的中点，又D是BC的中点，∴DE∥A1C．（7分）∵DE?平面AB1D，A1C?平面AB1D，∴A1C∥平面AB1D．（9分）（Ⅲ）由图知，AA1=AB=a，∴=S△ADCBB1=．点评： 本题考查空间垂直关系、平行关系的证明，考查三棱锥体积的计算．解题时要认真审题，注意合理地化空间问题为平面问题．21.(满分12分）如图，是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于点北偏东，点北偏西的点有一艘轮船发出求救信号，位于点南偏西°且与点相距海里的点的救援船立即即前往营救，其航行速度为海里/小时，该救援船到达点需要多长时间？参考答案：解：由题意知=海里，∠

DBA=90°—60°=30°，∠

DAB=90°—45°=45°，……2分∴∠AD