辽宁省铁岭市四合中学2022-2023学年高三数学理测试题含解析

辽宁省铁岭市四合中学2022-2023学年高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若一个圆柱的正视图与其侧面展开图相似，则这个圆柱的侧面积与全面积之比为A． B． C． D．参考答案：设圆柱的底面半径为，高为，则，则，则侧，全，故圆柱的侧面积与全面积之比为，故选．2.向量，满足，，与的夹角为60°，则()A.

B.

C.

D.

参考答案：B3.设函数，则下列关于函数的说法中正确的是（

）

A.是偶函数

B.的最小正周期为

C.在区间上是增函数

D.的图象关于点对称参考答案：【知识点】复合函数的单调性；函数奇偶性的判断．B3B4【答案解析】C解析：∵f（）=|sin[2×（）+]|=，f（）=|sin[2×（）+]|=0，f（）≠f（），∴f（x）不是偶函数，选项A错误；∵f（x+）=|sin[2×（x+）+）|=|sin（2x+π+）|=|sin（2x+）|，∴f（x）的最小正周期为，选项B错误；当x∈时，2x∈，2x+∈，∴g（x）=sin（2x+）在上为减函数，f（x）=|sin（2x+）|在上为增函数，选项C正确；函数f（x）=|sin（2x+）|的图象恒在x轴上方，∴f（x）的图象不关于点对称，选项D错误．故选：C．【思路点拨】举例说明A不正确；由f（x+）=f（x）说明B不正确；由x得范围得到相位的范围，说明g（x）=sin（2x+）在上为减函数，f（x）=|sin（2x+）|在上为增函数；由f（x）=|sin（2x+）|的图象恒在x轴上方说明f（x）的图象不关于点对称．4.已知各项为正的等比数列中，与的等比数列中项为，则的最小值

A.16

B.8

C.

D.4参考答案：B略5.已知是实数，是虚数单位，则

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C略6.某宾馆有N间标准相同的客房，客房的定价将影响入住率．经调查分析，得出每间客房的定价与每天的入住率的大致关系如下表：每间客房的定价220元200元180元160元每天的住房率50℅60℅70℅75℅对每间客房，若有客住，则成本为80元；若空闲，则成本为40元．要使此宾馆每天的住房利润最高，则每间客房的定价大致应为A．220元

B．200元

C．180元

D．160元参考答案：C7.给出下列三个等式：，，，下列函数中不满足其中任何一个等式的是（

）A． B． C． D．参考答案：D8.如图2，正三棱柱的主视图（又称正视图）是边长为４的正方形，则此正三棱柱的侧视图（又称左视图）的面积为(

)A．

B．

C．

D．16参考答案：A略9.下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B10.已知等比数列的前三项分别是a﹣1，a+1，a+4，则数列{an}的通项公式为（）A．an=4×（）n B．an=4×（）n﹣1 C．an=4×（）n D．an=4×（）n﹣1参考答案：B【考点】等比数列的通项公式．【分析】根据等比中项的性质列出方程求出a的值，代入前三项求出公比q的值，代入等比数列的通项公式求出an．【解答】解：∵等比数列{an}的前三项为a﹣1，a+1，a+4，∴（a+1）2=（a﹣1）（a+4），解得a=5，则等比数列{an}的前三项为4，6，9，∴公比q=，∴an=4×（）n﹣1，故选：B【点评】本题考查等比中项的性质，等比数列的通项公式，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在△ABC中，BC=2，AC=，AB=+1．设△ABC的外心为O，若=m+n，则m+n=．参考答案：﹣1【考点】向量在几何中的应用．【专题】探究型；转化思想；转化法；平面向量及应用．【分析】设AB，AC中点分别为M，N，利用向量的三角形法则和三角形的外心的性质即可得出答案．【解答】解：设AB，AC中点分别为M，N，则=﹣=﹣（﹣n）=（）﹣，=﹣=﹣（﹣n）=+（），由外心O的定义知，⊥，⊥，因此，?=0，?=0，∴[（）﹣]?=0，[+（）]?=0，即（）2﹣?=0…①，?+（）2=0…②，∵=﹣，∴2=2﹣2?+2，∴?=（2+2﹣2）=1+…③，将③代入①②得：，解得：∴m+n=﹣1，故答案为：﹣1【点评】本题以向量在平面几何中的应用为载体，考查了向量的三角形法则和三角形的外心的性质，属于难题．12.已知关于的方程有两个不等的负实数根；关于的方程的两个实数根，分别在区间与内（1）若是真命题，则实数的取值范围为____________.（2）若是真命题，则实数的取值范围为____________.参考答案：略13.已知曲线平行，则

。参考答案：2略14.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsinC+csinB=4asinBsinC，b2+c2－a2=8，则△ABC的面积为________．

参考答案：解答：根据正弦定理有：，∴，∴.∵，∴，∴，∴.

15.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则A的大小为__________．参考答案：75°由，根据正弦定理得，即，，又因为，所以，故答案为．16.已知a、b、x是实数，函数与函数的图象不相交，记参数a、b所组成的点(a，b)的集合为A,则集合A所表示的平面图形的面积为______.参考答案：17.已知条件，条件.若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是__________．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设数列的前n项和为，如果为常数，则称数列为“科比数列”。

（1）等差数列的首项为1，公差不为零，若为“科比数列”，求的通项公式；

（2）数列的各项都是正数，前n项和为，若对任意都成立，试推断数列是否为“科比数列”？并说明理由。参考答案：解：（1）设等差数列的公差为，，因为，则，即．

整理得，．

………………4分因为对任意正整数上式恒成立，则，解得．……6分故数列的通项公式是．

…………7分

⑵由已知，当时，．因为，所以．…………8分当时，，．两式相减，得．因为，所以=．

…………10分显然适合上式，所以当时，．于是．因为，则，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列．所以不为常数，故数列不是“科比数列”．……13分略19.函数f（x）=，若曲线f（x）在点（e，f（e））处的切线与直线e2x﹣y+e=0垂直（其中e为自然对数的底数）．（1）若f（x）在（m，m+1）上存在极值，求实数m的取值范围；（2）求证：当x＞1时，＞．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率，由两直线垂直的条件可得a=1，求导数，求单调区间和极值，令m＜1＜m+1，解不等式即可得到取值范围；（2）不等式＞即为?＞，令g（x）=，通过导数，求得＞，令h（x）=，运用导数证得h（x）＜h（1）=，原不等式即可得证．【解答】解：（1）∵f′（x）=，f（x）在点（e，f（e））处的切线斜率为﹣，由切线与直线e2x﹣y+e=0垂直，可得f′（e）=﹣，即有﹣=﹣解得得a=1，∴f（x）=，f′（x）=﹣（x＞0）当0＜x＜1，f′（x）＞0，f（x）为增函数；当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）为减函数．∴x=1是函数f（x）的极大值点

又f（x）在（m，m+1）上存在极值∴m＜1＜m+1

即0＜m＜1故实数m的取值范围是（0，1）；

（2）不等式＞即为?＞令g（x）=则g′（x）=，再令φ（x）=x﹣lnx，则φ′（x）=1﹣=，∵x＞1∴φ′（x）＞0，φ（x）在（1，+∞）上是增函数，∴φ（x）＞φ（1）=1＞0，g′（x）＞0，∴g（x）在（1，+∞）上是增函数，∴x＞1时，g（x）＞g（1）=2

故＞．令h（x）=，则h′（x）=，∵x＞1∴1﹣ex＜0，h′（x）＜0，即h（x）在（1，+∞）上是减函数∴x＞1时，h（x）＜h（1）=，所以＞h（x），即＞．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率、单调区间和极值，同时考查构造函数求导数，判断单调性，运用单调性证明不等式，属于中档题．20.（12分）已知，且（常数）。

（1）求k的值；

（2）若的值。参考答案：解析：（1）上式是关于x的恒等式，若不合（2）而解得当不合21.在直角坐标系中，以原点为极点,轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线,已知过点的直线的参数方程为：（t为参数）直线与曲线分别交于两点.（1）写出曲线和直线的普通方程；（2）若成等比数列,求的值．参考答案：解：（Ⅰ）根据极坐标与直角坐标的转化可得，C：ρsin2θ=2acosθ，即ρ2sin2θ=2aρcosθ，即y2=2ax， ............（2分）直线L的参数方程为：，消去参数t得：直线L的方程为y+4=x+2即y=x﹣2

...................（5分）（Ⅱ）直线l的参数方程为（t为参数）