考研xdf各科讲义合集

2015考研数学概率论零基 讲主讲：：名师，博士，著名考研数学辅导专家，教育部“国家精品课程建设骨育《入学统一考试数学考试参考书（大纲解析》编者之一，2007年斯洛文尼亚全球可持续发展大会受邀专家（15分钟主旨。首创“题源教学法”，对 第一 第二讲一维随量及其概率分 第三讲随量的数字特 第一 随机与概 ②随机试验每一最简单、最基本的结果称为基 或样本点，记为 【注】①等可能：对于可能结果1,2,,n，我们找不到任何理由认为其中某一结果i更易发生，则只好（客观）认为所有结果在试验中发生的可能性一样.②如果古典概型的基本总数为n，A包含k个基本，即有利于A的基kA 基 基 总n 类方法，第一类方法中有 种方法，第二类方法中有种方法，……，第n类方法中有mn种方法，则完成此事共有m1m2mn种办法法，……，第n步中有mn种方法，则完成此事共有m1m2mn种办法.

.当mnnPmPnn!，称为全排列

(n④组合：从n个不同元素中取出m(mn个元素并成一组，叫组合. 叫做组合数，记作Cnn

引例如果(1)样本空间(基本空间)Ω是一个可度量的几何区域；(2)每个样本点(基本)ΩAA的几何在几何概型随机试验中，如果SA是样本空间Ω一个可度量的子区域，则A＝“样PA)SA的几何测的几何测2】在区间(0,1)求逆P(A)1P(减法P(A－B)＝P(A)加法

5【注】①设A1，A2，…，An是两两互不相容的，则

i i②若A1，A2，…，An相互独立，则

Ai)1[1P(Aii iP(B|A)P(

条件概率P(B|A)1P(B|P(BC|A)1P(B|A-P(BC|A)＞0n如果AiAiAj(i

BAiB,P(B)P(Ai)P(B|Aii in如果AiAiAj(i

P(

|B)P(Ai)P(B|Ai)(i1,2,,nP(Ai)(B|Ain“在A发生的条件下”或“已知A发生”等等，均要考虑条件概率．与某些前提条件(或原因、因素或前一阶段结果)Ai相联系，那么在计算P(B)时，我们总是将i果其中任何一个或几个发生的概率都不受其余的某一个或某几个发生与否的影响，则称A1，A2，…，An相互独立．数学定义设A、B为，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称A与B相互独立，简称为A与B独立．P(Ai1Ai2…Aik)＝P(Ai1)P(Ai2)…P(Aik)，则称n个A1，A2，…，An相互独立． 〈1〉A1…An相互独立任意k≥2P(Aij)PAijj jA、B独立P(B|A)P(B|A)P(B).〈2〉n个相互独立的充要条件是，它们中任意一部分换成各自的对立所得到的n个相互独立．〈2〉n个相互独立，则不含相同的组经某种运算后所得的是相互独立的．例如，A、B、C、DABCD相互独立，ABCD相互独立，在现实生活中，难于想像两两独立而不相互独立的情况，可以这样想：独立第二讲一维随量及其概率分随量就是“其值随机会而定”EΩ＝{}，如果对每一个∈Ω，都有唯一X)与之对应，并且对任x，{：X()≤x}是随机，则称定义Ω上的实单X()为随量．简记为随量X．一般用大写字母X，Y，Z…或希腊字母ξ，η，ξ…来表示随量．定义设X是随量，x是任意实数，称函数F(x)=P{X≤x}(x∈R)为随量X的分布函数，或称X服从分布F(x)，记为X～F(x)．充分必要条件函数F(x)为某一随量X的分布函数的充要条件 F(x)xx∈RlimF(xF(x0)F(x03°F()=limF(x)0,F()limF(x)

或X~

数列{pi：i＝1，2，…}是离散型随量概率分布的充要条件是pi≥0(i＝1，2，…)piiF(x)P(Xx)P(Xxixipi＝P(X＝xi)＝P(X≤xi)-P(X＜xi)＝F(xi)-P(XB)P(XxixF(x)f(t)dt(xx 量X概率密度的充要条件是，f(x)≥0且f(x)dx1(由此可知，可以改变f(x)有限个点的值，f(x)仍然是密度函数)．有P(XB)fBbP(aXb)af(x)dxF(b)Fbb{x＜X≤x＋h}的概率(h＞0为常数)，应为F(x＋h)－F(x)．所以，比值[F(x＋h)F(x)]/h可xh这么长的区间(x，x＋h)h→0，则这个x点处的“密集程度”1，概率b密度相当于杆上各点的质量密度．(2P(aXbaf(x)dxX 0

1P如果X的概率分布为pP(Xk)Ckpk(1p)nk,k ,n,0p1，则称X服 【评注】①如果X是n重试验中A发生的次数，则X～B(n，p)，其中p＝kk 布近似，即Cnp(1 k!eXpkPXk

kke,k kkXpkPXk)

n N CC

k0,1,min(MnMNn xb bf(x) axb,F(x)b b

ax b【评注】区间(a，b)，可以是闭区间[a，b]；几何概型是均匀分布的实际背景．用几 f(x)ex x0或F(x)1ex x0( x x 1(xf(x) e2 (x1其中－∞＜μ＜∞，σ＞0X服从参数为(μ，σ2)X为正态变量，记1最大值f() (x)

1

Φ(0)1,Φ(x)12σ2)，则其分布函F(x)P(Xx)Φ(x);F(x)F(x)P(aXb)

b

)

a k123P(Xk2(1(1PX2)

3，求未知参数及X4f(xF(x)F(0)=1，求 U[0,]，求YsinX的概率密度fY(y)2

1x【例】设随量X的概率密度为f

(x 0x2,YX2

第三讲随量的数字特定义设X是随量，Y是X的函数(1)如果X是离散型随量，其分布律为pi＝P{X＝xi}(i＝1，2，…)．若级 量X的数学期望存在，并将级数xiP{Xxi}和 EXxiP{Xg(xi)P{Xxi}g(X)数学期望EX存在，且EX xf(x)dx，否则称X的数学期望不存在．若积 g(xf(x)dxg(X)EgXg(xf(x)dx．否则g(X)的数学期望不存在．对任意常数ai和随量Xi(i＝1，…，n) E(aiXi)ai 特别地XY一般地，设X1，X2，…，Xn相互独立， E(Xi)EXi,E(gi(Xi))Egi(Xi X 为X的标准差或均方差，称随 量X*ˆ 此时EX*＝0，DX*X EX)(Y nD(aiXi)aiajE(XiEXi)(Xj