浙江省宁波市翠柏中学2022年高三数学理模拟试题含解析

浙江省宁波市翠柏中学2022年高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在四面体S﹣ABC中，SA⊥平面ABC，∠BAC=120°，SA=AC=2，AB=1，则该四面体的外接球的表面积为（）A．11π B．7π C． D．参考答案：D考点：球的体积和表面积；球内接多面体．专题：空间位置关系与距离．分析：求出BC，利用正弦定理可得△ABC外接圆的半径，从而可求该三棱锥的外接球的半径，即可求出三棱锥的外接球表面积．解答：解：∵AC=2，AB=1，∠BAC=120°，∴BC==，∴三角形ABC的外接圆半径为r，2r=，r=，∵SA⊥平面ABC，SA=2，由于三角形OSA为等腰三角形，则有该三棱锥的外接球的半径R═=，∴该三棱锥的外接球的表面积为S=4πR2=4π×（）2=．故选：D．点评：本题考查三棱锥的外接球表面积，考查直线和平面的位置关系，确定三棱锥的外接球的半径是关键．2.执行如图所示的程序框图，则输出的a=（）A．1 B．﹣1 C．﹣4 D．参考答案：C【考点】程序框图．【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的b，a，i的值，观察a的取值规律，可得当i=40时不满足条件i＜40，退出循环，输出a的值为﹣4．【解答】解：模拟程序的运行，可得i=1，a=﹣4满足条件i＜40，执行循环体，b=﹣1，a=﹣1，i=2满足条件i＜40，执行循环体，b=﹣，a=﹣，i=3满足条件i＜40，执行循环体，b=﹣4，a=﹣4，i=4满足条件i＜40，执行循环体，b=﹣1，a=﹣1，i=5…观察规律可知，a的取值周期为3，由于40=3×13+1，可得：满足条件i＜40，执行循环体，b=﹣4，a=﹣4，i=40不满足条件i＜40，退出循环，输出a的值为﹣4．故选：C．3.设为非零向量，则“”是“与共线”的（

）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件参考答案：A【分析】根据向量共线的性质依次判断充分性和必要性得到答案.【详解】若，则与共线，且方向相同，充分性；当与共线，方向相反时，，故不必要.故选：.【点睛】本题考查了向量共线，充分不必要条件，意在考查学生的推断能力.4.定义式子运算为将函数的图像向左平移个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则的最小值为（

）

参考答案：C5.已知函数，若不等式f2（x）﹣af（x）+2＜0在x∈[0，4]上恒成立，则实数a取值范围是（）A．a＞B．＜a＜3

C．a＞3 D．3＜a＜参考答案：C【考点】函数恒成立问题；分段函数的应用．【分析】这是一个复合函数的问题，通过换元t=f（x），可知新元的范围，然后分离参数，转互为求函数的最值问题，进而计算可得结论．【解答】解：由题可知，当x∈[0，1]时，f（x）=x+1∈[1，2]，当x∈（1，4]时，x∈（，π]，sin（x）∈[0，1]，f（x）=sin（x）+∈[，2]，所以当x∈[0，4]时f（x）∈[1，2]，令t=f（x），则t∈[1，2]，从而问题转化为不等式t2﹣at+2＜0在t∈[1，2]上恒成立，即a＞=t+在t∈[1，2]上恒成立，问题转化为求函数y=t+在[1，2]上的最大值，又因为y=t+在[1，2]上单调递减，所以y=t+≤1+2=3，所以a＞3，．故选：C．6.已知在克的盐水中，加入克的盐水，浓度变为，将y表示成x的函数关系式

（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：B略7.已知某生产厂家的年利润（单位：万元）与年产量（单位：万件）的函数关式为，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为（）A、

B、C、

D、参考答案：C略8.下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B9.现从已编号（1~50）的50位同学中随机抽取5位以已经他们的数学学习状况，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法所选取的5位同学的编号可能是（

）A．5,10,15,20,25

B．3,13,23,33,43

C．1,2,3,4,5

D．2,10,18,26,34参考答案：B10.函数的部分图象如图所示，则将的图象向右平移个单位后，得到的函数图象的解析式为()A．

B．

C．

D．参考答案：C【知识点】三角函数图像变换【试题解析】因为由图像可知,

过点，又得，，图象向右平移个单位后

故答案为：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设非零向量，满足，且，则向量与的夹角为

．参考答案：因为，故向量与的夹角为.

12.若关于的函数的最大值为，最小值为，且，则实数的值为 参考答案：113.已知复数的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是_____.参考答案：2【分析】本题根据复数的乘法运算法则先求得，然后根据复数的概念，令实部为0即得a的值.【详解】，令得.【点睛】本题主要考查复数的运算法则，虚部的定义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

14.已知圆C过点，且与圆M:关于直线对称.若Q为圆C上的一个动点，则的最小值为 .参考答案：－4设圆心C，则，解得，则圆C的方程为，将点的坐标代入得，故圆C的方程为，设，则，且==，法一：令，，则≥-2法二：令，则，所以≥-4，的最小值为;15.已知函数，且f（﹣1）=f（2），则=

．参考答案：﹣1【考点】分段函数的应用；函数的值．【专题】计算题；函数思想；方程思想；函数的性质及应用．【分析】直接利用分段函数以及方程求出a，得到函数的解析式然后求解函数值．【解答】解：函数，且f（﹣1）=f（2），可得alog22=，解得a=，则=log2=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查分段函数的应用，对数的运算法则以及方程的根的求法，考查计算能力．16.下列命题:

①当时，；②是成立的充分不必要条件；

③对于任意的内角、、满足：

；④定义：如果对任意一个三角形，只要它的三边长、、都在函数的定义域内，就有、、也是某个三角形的三边长，则称为“三角形型函数”.函数是“三角形型函数”.

其中正确命题的序号为

.（填上所有正确命题的序号）参考答案：①③④17.理：已知△的顶点、、，则△的内角的大小是

.（结果用反三角函数值表示）参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个.若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是.（I）求n的值；（II）从袋子中不放回地随机抽取2个球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b.①记“”为事件A，求事件A的概率；②在区间内任取2个实数，求事件“恒成立”的概率.参考答案：19.（本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，，分别是椭圆的左、右焦点，直线过点与椭圆交于、两点，且△的周长为．(Ⅰ)求椭圆的标准方程；(Ⅱ)是否存在直线使△的面积为？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．参考答案：（Ⅰ）由题意得：

故椭圆C的标准方程为．……………（4分）（Ⅱ）存在直线满足题意，理由如下：由（Ⅰ）知右焦点，当直线的斜率不存在时，此时，，，不符合题意．………………（6分）故设直线的方程为，设，联立方程组消去x得．………（8分），，，，…（10分），，，（舍去），，故直线的方程为或．…（12分）20.（本小题满分12分）已知等差数列的前项和为，且.(I)求数列的通项公式；(II)设等比数列，若，求数列的前项和.参考答案：解：（Ⅰ）由，得，所以．

…………（2分）又因为，所以公差．

………（4分）从而．

………………（6分）（Ⅱ）由上可得，，所以公比，

……………（8分）从而，

…………（10分）所以．

……………（12分）21.现有清华、北大、上海交大三所大学的招生负责人各一人来我市宣讲2017年高考自主招生政策，我市四所重点中学必须且只能邀请其中一所大学的负责人，且邀请其中任何一所大学的负责人是等可能的．（Ⅰ）求恰有两所重点中学邀请了清华招生负责人的概率；（Ⅱ）设被邀请的大学招生负责人的个数为ξ，求ξ分布列与期望．参考答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）设每所重点中学邀请负责人为一次实验这是4次独立重复实验，利用独立重复实验概率计算法则即可‘（Ⅱ）ξ的所有可能值为1，2，3，求出相应的概率，写出分布列，求出期望．【解答】解：（Ⅰ）设每所重点中学邀请负责人为一次实验这是4次独立重复实验，记“邀请清华负责人”为事件A则从而设恰有“两所重点中学邀请清华负责人”为事件B则…（另解：）（Ⅱ）

ξ123P则…22.(本题满分14分)已知椭圆的离心