河北省衡水市邢台第十九中学高三数学理期末试题含解析

河北省衡水市邢台第十九中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.半径为2的球O中有一内接正四棱柱（底面是正方形，侧棱垂直底面），当该正四棱柱的侧面积最大时，球的表面积与该正四棱柱的侧面积之差是（）A．16（） B．16（） C．8（2） D．8（2）参考答案：B【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】设底面边长为a，高为h，根据球的半径使用勾股定理列出方程，得出a，h的关系，使用基本不等式得出ah的最大值，求出侧面积的最大值，做差即可．【解答】解：设球内接正四棱柱的底面边长为a，高为h，则球的半径r==2，∴h2+2a2=16≥2ah，∴ah≤4．∴S侧=4ah≤16．球的表面积S=4π×22=16π．∴当四棱柱的侧面积最大值时，球的表面积与该正四棱柱的侧面积之差为16π﹣16=16（）．故选B．2.已知Ω={（x，y）||x|≤1，|y|≤1}，A是由曲线y=x与y=x2围成的封闭区域，若向Ω上随机投一点p，则点p落入区域A的概率为（）A．B．C．D．参考答案：D考点：几何概型；定积分在求面积中的应用．

专题：概率与统计．分析：求得两曲线的交点分别为O（0，0）、A（1，1），可得区域A的面积等于函数y=x与y=x2在[0，1]上的定积分值，利用积分计算公式算出区域A的面积．区域Ω表示的是一个边长为2的正方形，因此求出此正方形的面积并利用几何概型公式加以计算，即可得到所求概率．解答：解：y=x与y=x2两曲线的交点分别为O（0，0）、A（1，1）．因此，两条曲线围成的区域A的面积为S=∫01（x﹣x2）dx=（）|=．而Ω={（x，y）||x≤1，|y|≤1}，表示的区域是一个边长为2的正方形，面积为4，∴在Ω上随机投一点P，则点P落入区域A中的概率P=；故选D．点评：本题考查了定积分求曲边梯形的面积以及几何概型的概率求法；本题给出区域A和Ω，求在Ω上随机投一点P，使点P落入区域A中的概率．着重考查了定积分计算公式、定积分的几何意义和几何概型计算公式等知识，属于中档题．3.在锐角中，AB=3，AC=4，其面积，则BC=(

)A．

B．或

C．

D．参考答案：4.已知数列的前n项和为，且,则等于

(

)A．4

B．2

C．1

D．-2参考答案：A5.某种实验中，先后要实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有A．24种

B．48种

C．96种

D．144种参考答案：C6.的值为（

）A．2

B．

C． D．1参考答案：

D====1

7.已知集合，，则（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C略8.已知a=log36，b=1+3，c=（）﹣1则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．a＞c＞b参考答案：D【考点】对数值大小的比较．【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵a=log36=1+log32，b=1+3=1+，c=（）﹣1=．又log32=＞，∴a＞c＞b．故选：D．9.若，且，则等于（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A10.设复数（i为虚数单位），则z的虚部是（

）A.4i B.4 C.－4i D.－4参考答案：D【分析】由复数，即可得到复数的虚部，得到答案。【详解】由题意，复数，所以复数的虚部为，故选D。【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的概念，其中解答中熟记复数的乘法运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（的展开式中，常数项为15，则n的值为

．参考答案：612.函数的图象如图所示，则的值为

．

参考答案：13.若是R上周期为5的奇函数，且满足

参考答案：-1略14.将边长为的正方形ABCD沿对角线AC折起，使BD=，则三棱锥D-ABC的体积为__________.参考答案：略15.观察下列不等式：①；②；③；照此规律，第五个不等式为

．参考答案：试题分析：左边分子是，右边是，故猜想．考点：合情推理与演绎推理．16.已知（为常数），在上有最小值3，那么在上的最大值是__________．参考答案：考点：导数与最值.17.（几何证明选讲）如图，圆O的直径AB=8，C为圆周上一点，BC=4，过C作圆的切线l，过A作直线l的垂线AD，D为垂足，AD与圆O交于点E，则线段AE的长为

.

参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）

已知椭圆（a＞b＞0）的焦距为4，且与椭圆有相同的离心率，斜率为k的直线l经过点M（0，1），与椭圆C交于不同两点A、B．（1）求椭圆C的标准方程；（2）当椭圆C的右焦点F在以AB为直径的圆内时，求k的取值范围．参考答案：解：（1）∵焦距为4，∴c=2………………1分又∵的离心率为………………2分∴，∴a=，b=2…………4分∴标准方程为………6分（2）设直线l方程：y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），由得……7分∴x1+x2=，x1x2=由（1）知右焦点F坐标为（2，0），∵右焦点F在圆内部，∴＜0………………8分∴（x1-2）（x2-2）+y1y2＜0即x1x2-2（x1+x2）+4+k2x1x2+k（x1+x2）+1＜0……9分∴＜0……………11分∴k＜………………12分经检验得k＜时，直线l与椭圆相交，∴直线l的斜率k的范围为（-∞，）……………13

19.已知椭圆的右准线与轴相交于点，右焦点到上顶点的距离为，点是线段上的一个动点.（I）求椭圆的方程;(Ⅱ)是否存在过点且与轴不垂直的直线与椭圆交于、两点,使得,并说明理由.参考答案：解析：(1)由题意可知，又，解得，椭圆的方程为；（2）由（1）得，所以.假设存在满足题意的直线，设的方程为，代入，得，设，则

①，，而的方向向量为,;当时,,即存在这样的直线;当时,不存在,即不存在这样的直线

.20.（本小题共13分）已知函数，（其中常数）（Ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程；（Ⅱ）若存在实数使得不等式成立，求的取值范围.参考答案：解：（Ⅰ）定义域当时，，，曲线在处的切线方程为：.———4分（Ⅱ），令，在递减，在递增..———8分若存在实数使不等式成立，只需在上成立，①若，即时，，即，.———10分21.（2017?郴州三模）在平面直角坐标系xoy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为（t为参数）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系．（1）写出直线l的普通方程以及曲线C的极坐标方程；（2）若直线l与曲线C的两个交点分别为M，N，直线l与x轴的交点为P，求|PM|?|PN|的值．参考答案：【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t可得普通方程．曲线C的参数方程为（θ为参数），利用平方关系可得直角坐标方程．把ρ2=x2+y2，y=ρsinθ，可得C的极坐标方程．（II）P（1，0）．把直线l的参数方程代入圆C的方程为：+1=0，|PM|?|PN|=|t1?t2|．【解答】解：（1）直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t可得：x+y﹣1=0．曲线C的参数方程为（θ为参数），利用平方关系可得：x2+（y﹣2）2=4．把ρ2=x2+y2，y=ρsinθ，可得C的极坐标方程为：ρ=4sinθ．（II）P（1，0）．把直线l的参数方程代入圆C的方程为：+1=0，t1+t2=3，t1?t2=1，∴|PM|?|PN|=|t1?t2|=1．【点评】本题考查了极坐标方程的应用、参数方程化为普通方程、直线与圆相交弦长问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22.已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）在区间内存在实数，使得成立，求实数的取值范围．参考答案：(1)；(2)．试题分析：(