福建省泉州市惠安县第十六中学2022-2023学年全国高考招生统一考试高考数学试题模拟试题

福建省泉州市惠安县第十六中学2022-2023学年全国高考招生统一考试高考数学试题模拟试题（2）注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．如图，若从四个阴数和五个阳数中分别随机选取1个数，则其和等于11的概率是（）．A． B． C． D．2．已知函数若对区间内的任意实数，都有，则实数的取值范围是(）A． B． C． D．3．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A． B． C． D．84．设x、y、z是空间中不同的直线或平面，对下列四种情形：①x、y、z均为直线；②x、y是直线，z是平面；③z是直线，x、y是平面；④x、y、z均为平面.其中使“且”为真命题的是（）A．③④ B．①③ C．②③ D．①②5．若复数是纯虚数，则()A．3 B．5 C． D．6．设，为非零向量，则“存在正数，使得”是“”的（）A．既不充分也不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．充分不必要条件7．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若，，，则B．若，，，则C．若，，，则D．若，，，则8．为得到函数的图像，只需将函数的图像（）A．向右平移个长度单位 B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位 D．向左平移个长度单位9．函数在的图象大致为（）A． B．C． D．10．定义域为R的偶函数满足任意，有，且当时，.若函数至少有三个零点，则的取值范围是（）A． B． C． D．11．连接双曲线及的4个顶点的四边形面积为，连接4个焦点的四边形的面积为，则当取得最大值时，双曲线的离心率为（）A． B． C． D．12．一个几何体的三视图如图所示，正视图、侧视图和俯视图都是由一个边长为的正方形及正方形内一段圆弧组成，则这个几何体的表面积是（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数为奇函数，，且与图象的交点为，，…，，则______．14．曲线在点处的切线方程为__．15．如图，、分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的两条渐近线分别交于、两点，若，，则双曲线的离心率是______.16．如图，是一个四棱锥的平面展开图，其中间是边长为的正方形，上面三角形是等边三角形，左、右三角形是等腰直角三角形，则此四棱锥的体积为_____．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设函数，．（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）时，若，，求证：．18．（12分）2019年春节期间，某超市准备举办一次有奖促销活动，若顾客一次消费达到400元则可参加一次抽奖活动，超市设计了两种抽奖方案.方案一：一个不透明的盒子中装有30个质地均匀且大小相同的小球，其中10个红球，20个白球，搅拌均匀后，顾客从中随机抽取一个球，若抽到红球则顾客获得60元的返金券，若抽到白球则获得20元的返金券，且顾客有放回地抽取3次.方案二：一个不透明的盒子中装有30个质地均匀且大小相同的小球，其中10个红球，20个白球，搅拌均匀后，顾客从中随机抽取一个球，若抽到红球则顾客获得80元的返金券，若抽到白球则未中奖，且顾客有放回地抽取3次.（1）现有两位顾客均获得抽奖机会，且都按方案一抽奖，试求这两位顾客均获得180元返金券的概率；（2）若某顾客获得抽奖机会.①试分别计算他选择两种抽奖方案最终获得返金券的数学期望；②为了吸引顾客消费，让顾客获得更多金额的返金券，该超市应选择哪一种抽奖方案进行促销活动？19．（12分）已知函数（1）求单调区间和极值；（2）若存在实数，使得，求证：20．（12分）某地为改善旅游环境进行景点改造．如图，将两条平行观光道l1和l2通过一段抛物线形状的栈道AB连通（道路不计宽度），l1和l2所在直线的距离为0.5（百米），对岸堤岸线l3平行于观光道且与l2相距1.5（百米）（其中A为抛物线的顶点，抛物线的对称轴垂直于l3，且交l3于M

），在堤岸线l3上的E，F两处建造建筑物，其中E，F到M的距离为1

（百米），且F恰在B的正对岸（即BF⊥l3）．（1）在图②中建立适当的平面直角坐标系，并求栈道AB的方程；（2）游客（视为点P）在栈道AB的何处时，观测EF的视角(∠EPF)最大？请在（1）的坐标系中，写出观测点P的坐标．21．（12分）运输一批海鲜，可在汽车、火车、飞机三种运输工具中选择，它们的速度分别为60千米/小时、120千米/小时、600千米/小时，每千米的运费分别为20元、10元、50元.这批海鲜在运输过程中每小时的损耗为m元（），运输的路程为S（千米）.设用汽车、火车、飞机三种运输工具运输时各自的总费用（包括运费和损耗费）分别为（元）、（元）、（元）.（1）请分别写出、、的表达式；（2）试确定使用哪种运输工具总费用最省.22．（10分）如图，四棱锥中，底面为直角梯形，∥，为等边三角形，平面底面，为的中点.（1）求证：平面平面；（2）点在线段上，且，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

基本事件总数，利用列举法求出其和等于11包含的基本事件有4个，由此能求出其和等于11的概率．【详解】解：从四个阴数和五个阳数中分别随机选取1个数，基本事件总数，其和等于11包含的基本事件有：，，，，共4个，其和等于的概率．故选：．【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．2、C【解析】分析：先求导,再对a分类讨论求函数的单调区间，再画图分析转化对区间内的任意实数，都有，得到关于a的不等式组，再解不等式组得到实数a的取值范围.详解：由题得.当a＜1时，，所以函数f（x）在单调递减，因为对区间内的任意实数，都有，所以，所以故a≥1，与a＜1矛盾，故a＜1矛盾.当1≤a<e时，函数f(x)在[0,lna]单调递增，在(lna,1]单调递减.所以因为对区间内的任意实数，都有，所以，所以即令，所以所以函数g(a)在（1，e）上单调递减，所以，所以当1≤a<e时，满足题意.当a时，函数f(x)在(0,1)单调递增,因为对区间内的任意实数，都有，所以,故1+1，所以故综上所述，a∈.故选C.点睛：本题的难点在于“对区间内的任意实数，都有”的转化.由于是函数的问题，所以我们要联想到利用函数的性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值、极值等）来分析解答问题.本题就是把这个条件和函数的单调性和最值联系起来，完成了数学问题的等价转化，找到了问题的突破口.3、A【解析】

由三视图还原出原几何体，得出几何体的结构特征，然后计算体积．【详解】由三视图知原几何体是一个四棱锥，四棱锥底面是边长为2的正方形，高为2，直观图如图所示，．故选：A．【点睛】本题考查三视图，考查棱锥的体积公式，掌握基本几何体的三视图是解题关键．4、C【解析】

①举反例，如直线x、y、z位于正方体的三条共点棱时②用垂直于同一平面的两直线平行判断.③用垂直于同一直线的两平面平行判断.④举例，如x、y、z位于正方体的三个共点侧面时.【详解】①当直线x、y、z位于正方体的三条共点棱时,不正确；②因为垂直于同一平面的两直线平行,正确；③因为垂直于同一直线的两平面平行,正确；④如x、y、z位于正方体的三个共点侧面时,不正确.故选:C.【点睛】此题考查立体几何中线面关系，选择题一般可通过特殊值法进行排除，属于简单题目.5、C【解析】

先由已知，求出，进一步可得，再利用复数模的运算即可【详解】由z是纯虚数，得且，所以，.因此，.故选：C.【点睛】本题考查复数的除法、复数模的运算，考查学生的运算能力，是一道基础题.6、D【解析】

充分性中，由向量数乘的几何意义得，再由数量积运算即可说明成立；必要性中，由数量积运算可得，不一定有正数，使得，所以不成立，即可得答案.【详解】充分性：若存在正数，使得，则，，得证；必要性：若，则，不一定有正数，使得，故不成立；所以是充分不必要条件故选：D【点睛】本题考查平面向量数量积的运算，向量数乘的几何意义，还考查了充分必要条件的判定，属于简单题.7、D【解析】试题分析：，,故选D.考点：点线面的位置关系.8、D【解析】，所以要的函数的图象，只需将函数的图象向左平移个长度单位得到，故选D9、B【解析】

先考虑奇偶性，再考虑特殊值，用排除法即可得到正确答案.【详解】是奇函数，排除C，D；，排除A.故选：B.【点睛】本题考查函数图象的判断，属于常考题.10、B【解析】

由题意可得的周期为，当时，，令，则的图像和的图像至少有个交点，画出图像，数形结合，根据，求得的取值范围.【详解】是定义域为R的偶函数，满足任意，，令，又，为周期为的偶函数，当时，，当，当，作出图像，如下图所示：函数至少有三个零点，则的图像和的图像至少有个交点，，若，的图像和的图像只有1个交点，不合题意，所以，的图像和的图像至少有个交点，则有，即，.故选:B.【点睛】本题考查函数周期性及其应用，解题过程中用到了数形结合方法，这也是高考常考的热点问题，属于中档题.11、D【解析】

先求出四个顶点、四个焦点的坐标，四个顶点构成一个菱形，求出菱形的面积，四个焦点构成正方形，求出其面积，利用重要不等式求得取得最大值时有，从而求得其离心率.【详解】双曲线与互为共轭双曲线，四个顶点的坐标为，四个焦点的坐标为，四个顶点形成的四边形的面积，四个焦点连线形成的四边形的面积，所以，当取得最大值时有，，离心率，故选：D.【点睛】该题考查的是有关双曲线的离心率的问题，涉及到的知识点有共轭双曲线的顶点，焦点，菱形面积公式，重要不等式求最值，等轴双曲线的离心率，属于简单题目.12、C【解析】

画出直观图，由球的表面积公式求解即可【详解】这个几何体的直观图如图所示，它是由一个正方体中挖掉个球而形成的，所以它的表面积为.故选：C【点睛】本题考查三视图以及几何体的表面积的计算，考查空间想象能力和运算求解能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、18【解析】

由题意得函数f（x）与g（x）的图像都关于点对称，结合函数的对称性进行求解即可．【详解】函数为奇函数，函数关于点对称，，函数关于点对称，所以两个函数图象的交点也关于点（1，2）对称，与图像的交点为，，…，,两两关于点对称，.故答案为：18【点睛】本题考查了函数对称性的应用，结合函数奇偶性以及分式函数的性质求出函数的对称性是解决本题的关键，属于中档题.14、【解析】

对函数求导后，代入切点的横坐标得到切线斜率，然后根据直线方程的点斜式，即可写出切线方程.【详解】因为，所以，从而切线的斜率，所以切线方程为，即.故答案为：【点睛】本题主要考查过曲线上一点的切线方程的求法，属基础题.15、【解析】

根据三角形中位线证得，结合判断出垂直平分，由此求得的值，结合求得的值.【详解】∵，∴为中点，，∵，∴垂直平分，∴，即，∴，，即.故答案为：【点睛】本小题主要考查双曲线离心率的求法，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.16、【解析】

画图直观图可得该几何体为棱锥,再计算高求解体积即可.【详解】解：如图,是一个四棱锥的平面展开图,其中间是边长为的正方形,上面三角形是等边三角形,左、右三角形是等腰直角三角形,此四棱锥中,是边长为的正方形,是边长为的等边三角形,故,又,故平面平面,的高是四棱锥的高,此四棱锥的体积为:．故答案为：．【点睛】本题主要考查了四棱锥中的长度计算以及垂直的判定和体积计算等,需要根据题意三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】

（1）首先对函数求导，再根据参数的取值，讨论的正负，即可求出关于的单调性即可；（2）首先通过构造新函数，讨论新函数的单调性，根据新函数的单调性证明.【详解】（1），令，则，令得，当时，则在单调递减，当时，则在单调递增，所以，当时，，即，则在上单调递增，当时，，易知当时，，当时，，由零点存在性定理知，，不妨设，使得，当时，，即，当时，，即，当时，，即，所以在和上单调递增，在单调递减；（2）证明：构造函数，，，，整理得，，（当时等号成立），所以在上单调递增，则，所以在上单调递增，，这里不妨设，欲证，即证由（1）知时，在上单调递增，则需证，由已知有，只需证，即证，由在上单调递增，且时，有，故成立，从而得证.【点睛】本题主要考查了导数含参分类讨论单调性，借助构造函数和单调性证明不等式，属于难题.18、(1)(2)①②第一种抽奖方案.【解析】

(1)方案一中每一次摸到红球的概率为，每名顾客有放回的抽3次获180元返金劵的概率为，根据相互独立事件的概率可知两顾客都获得180元返金劵的概率(2)①分别计算方案一，方案二顾客获返金卷的期望，方案一列出分布列计算即可，方案二根据二项分布计算期望即可②根据①得出结论.【详解】（1）选择方案一，则每一次摸到红球的概率为设“每位顾客获得180元返金劵”为事件A，则所以两位顾客均获得180元返金劵的概率（2）①若选择抽奖方案一，则每一次摸到红球的概率为，每一次摸到白球的概率为.设获得返金劵金额为元，则可能的取值为60，100，140，180.则；；；.所以选择抽奖方案一，该顾客获得返金劵金额的数学期望为（元）若选择抽奖方案二，设三次摸球的过程中，摸到红球的次数为，最终获得返金劵的金额为元，则，故所以选择抽奖方案二，该顾客获得返金劵金额的数学期望为（元）.②即，所以该超市应选择第一种抽奖方案【点睛】本题主要考查了古典概型，相互独立事件的概率，二项分布，期望，及概率知识在实际问题中的应用，属于中档题.19、（1）时，函数单调递增，，函数单调递减，；（2）见解析【解析】

（1）求出函数的定义域与导函数，利用导数求函数的单调区间，即可得到函数的极值；（2）易得且，要证明，即证，即证，即对恒成立，构造函数，，利用导数研究函数的单调性与最值，即可得证；【详解】解：（1）因为定义域为，所以，时，，即在和上单调递增，当时，，即函数在单调递减，所以在处取得极小值，在处取得极大值；，；（2）易得，要证明，即证，即证即证对恒成立，令，，则令，解得，即在上单调递增；令，解得，即在上单调递减；则在取得极小值，也就是最小值，从而结论得证.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，利用导数证明不等式，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题．20、（1）见解析，，x[0，1]；（2）P(，)时，视角∠EPF最大．【解析】

（1）以A为原点，l1为x轴，抛物线的对称轴为y轴建系，设出方程，通过点的坐标可求方程；（2）设出的坐标，表示出，利用基本不等式求解的最大值，从而可得观测点P的坐标．【详解】（1）以A为原点，l1为x轴，抛物线的对称轴为y轴建系由题意知：B(1，0.5)，设抛物线方程为代入点