2020-2021学年广东省广州市华师附中番禺学校高二（下）期中数学试卷

第1页（共1页）2020-2021学年广东省广州市华师附中番禺学校高二（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知0＜a＜3，复数z＝a+i（i是虚数单位），则|z|的取值范围是（）A．（1，） B．（1，） C．（1，3） D．（1，10）2．（5分）4名同学分别报名参加学校的手工、绘画、机器人设计三个校本课程，每人限报其中一个课程，不同报法的种数是（）A．81 B．64 C．24 D．163．（5分）已知10件产品中，有7件合格品，3件次品，若从中任意抽取5件产品进行检查，则抽取的5件产品中恰好有2件次品的抽法有（）A．35种 B．38种 C．105种 D．630种4．（5分）曲线y＝f（x）在x＝1处的切线如图所示，则f′（1）﹣f（1）＝（）A．0 B．﹣1 C．1 D．﹣5．（5分）函数y＝cos（1+x2）的导数是（）A．2xsin（1+x2） B．﹣sin（1+x2） C．﹣2xsin（1+x2） D．2cos（1+x2）6．（5分）有3位男生，3位女生和1位老师站在一起照相，要求老师必须站中间，与老师相邻的不能同时为男生或女生，则这样的排法种数是（）A．144 B．216 C．288 D．4327．（5分）已知（x+）8展开式中x4项的系数为112，其中a∈R，则此二项式展开式中各项系数之和是（）A．38 B．1或38 C．28 D．1或288．（5分）已知定义域为R的奇函数y＝f（x）的导函数为y＝f′（x），当x≠0时，f′（x）+＞0，若a＝，b＝﹣3f（﹣3），c＝，则a，b，c的大小关系正确的是（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．c＜a＜b二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．）（多选）9．（5分）已知（ax2+）n（a＞0）的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则下列说法正确的是（）A．展开式中奇数项的二项式系数和为256 B．展开式中第6项的系数最大 C．展开式中存在常数项 D．展开式中含x15项的系数为45（多选）10．（5分）若复数z满足（1+i）z＝3+i（其中i是虚数单位），复数z的共轭复数为，则（）A． B．z的实部是2 C．z的虚部是1 D．复数在复平面内对应的点在第一象限（多选）11．（5分）对于函数，下列说法正确的是（）A．在（0，e）上单调递减 B．有极小值e C．有最小值e D．无最大值（多选）12．（5分）若函数f（x）＝2x3﹣ax2（a＜0）在上有最大值，则a的取值可能为（）A．﹣6 B．﹣5 C．﹣4 D．﹣3三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）已知复数是纯虚数（i是虚数单位），则实数a的值为．14．（5分）在（x3﹣）4的展开式中，常数项是．（用数字作答）15．（5分）现有标号为①，②，③，④，⑤的5件不同新产品，要放到三个不同的机构进行测试，每件产品只能放到一个机构里．机构A，B各负责一个产品，机构C负责余下的三个产品，其中产品①不在A机构测试的情况有种（结果用具体数字表示）．16．（5分）已知定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f'（x），满足f'（x）＜x，且f（2）＝1，则不等式f（x）＜﹣1的解集为．四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）已知函数．（1）求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）试判断函数f（x）的单调性，并求出极值点与极值；18．（12分）从下列三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答①bsinA＝acosB；②（a+c+b）（a+c﹣b）＝3ac；③2cosB（acosC+ccosA）＝b．在△ABC中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，满足条件______．（1）求角B的大小；（2）若a＝4，S△ABC＝6，求b的值．19．（12分）若数列{an}的前n项和Sn＝2an﹣2，n∈N*．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若bn＝log2a2n﹣1（n∈N*），求数列{anbn}的前n项和Tn．20．（12分）已知函数f（x）＝ax3﹣6x+1，a∈R．（1）若a＝2，求函数f（x）在区间[﹣2，3]的最值；（2）若f（x）恰有三个零点，求a的取值范围．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面ABCD⊥平面PCD，AD⊥DC，PC⊥PD，PC＝PD＝AD＝2，M为PA的中点．（1）求证：平面ACP⊥平面MCD；（2）求二面角C﹣MD﹣P的余弦值．22．（12分）已知g（x）＝lnx+x﹣x2，h（x）＝xex﹣ax2﹣ag（x）．（1）求g（x）的单调区间；（2）当a＞0时，h（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．

2020-2021学年广东省广州市华师附中番禺学校高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知0＜a＜3，复数z＝a+i（i是虚数单位），则|z|的取值范围是（）A．（1，） B．（1，） C．（1，3） D．（1，10）【分析】利用复数的模列出关系式，然后利用二次函数的最值求解即可．【解答】解：0＜a＜3，复数z＝a+i（i是虚数单位），则|z|＝∈（1，）．故选：A．【点评】本题考查复数的模的求法，二次函数的最值的求法，考查计算能力．2．（5分）4名同学分别报名参加学校的手工、绘画、机器人设计三个校本课程，每人限报其中一个课程，不同报法的种数是（）A．81 B．64 C．24 D．16【分析】利用排列、组合中的乘法原理求得结果．【解答】解：∵每名同学都有3种报名方案，∴四名同学共有3×3×3×3＝81种报名方案．故选：A．【点评】本题主要考查排列、组合中的乘法原理的应用，属于基础题．3．（5分）已知10件产品中，有7件合格品，3件次品，若从中任意抽取5件产品进行检查，则抽取的5件产品中恰好有2件次品的抽法有（）A．35种 B．38种 C．105种 D．630种【分析】根据题意，分2步进行分析，第一步从3件次品中抽取2件次品，第二步从7件正品中抽取3件正品，根据乘法原理计算求得．【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①、从3件次品中抽取2件次品，有C32种抽取方法，②、从7件正品中抽取3件正品，有C73种抽取方法，则抽取的5件产品中恰好有2件次品的抽法有C32×C73＝105种；故选：C．【点评】本题考查排列组合的实际应用，注意是一次性抽取，抽出的5件产品步需要进行排列．4．（5分）曲线y＝f（x）在x＝1处的切线如图所示，则f′（1）﹣f（1）＝（）A．0 B．﹣1 C．1 D．﹣【分析】由切线经过两点（0，﹣1）和（2，0），可得切线的方程，进而得到切点和切线的斜率，可得所求值．【解答】解：由切线经过点（0，﹣1）和（2，0），可得切线的斜率为＝，切线的方程为y＝x﹣1，可得f（1）＝﹣，f′（1）＝，则f′（1）﹣f（1）＝+＝1．故选：C．【点评】本题考查切线的斜率和切点的求法，考查数形结合思想和运算能力，属于基础题．5．（5分）函数y＝cos（1+x2）的导数是（）A．2xsin（1+x2） B．﹣sin（1+x2） C．﹣2xsin（1+x2） D．2cos（1+x2）【分析】因为函数y＝cos（1+x2）为复合函数，利用复合函数的导数公式求出函数y＝cos（1+x2）的导数．【解答】解：y′＝﹣sin（1+x2）•（1+x2）′＝﹣2xsin（1+x2）故选：C．【点评】求一个函数的导函数，应该先判断出函数的形式，然后选择合适的导数运算法则及基本初等函数的导数公式进行求值．6．（5分）有3位男生，3位女生和1位老师站在一起照相，要求老师必须站中间，与老师相邻的不能同时为男生或女生，则这样的排法种数是（）A．144 B．216 C．288 D．432【分析】利用排列组合知识直接求解．【解答】解：有3位男生，3位女生和1位老师站在一起照相，要求老师必须站中间，与老师相邻的不能同时为男生或女生，则这样的排法种数是：＝432．故选：D．【点评】本题考查排法总数的求法，考查排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．7．（5分）已知（x+）8展开式中x4项的系数为112，其中a∈R，则此二项式展开式中各项系数之和是（）A．38 B．1或38 C．28 D．1或28【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为4得x4项列出方程求出a，给二项式中的x赋值求出展开式中各项系数的和．【解答】解：（x+）8展开式的通项为．令8﹣2r＝4，∴r＝2．∴，∴a＝±2．当a＝2时，令x＝1，则展开式系数和为（1+）8＝38．当a＝﹣2时，令x＝1，则展开式系数和为（1﹣）8＝1．故选：B．【点评】本题考查二项式定理，要求熟练掌握运用通项公式．8．（5分）已知定义域为R的奇函数y＝f（x）的导函数为y＝f′（x），当x≠0时，f′（x）+＞0，若a＝，b＝﹣3f（﹣3），c＝，则a，b，c的大小关系正确的是（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．c＜a＜b【分析】根据式子得出F（x）＝xf（x）为R上的偶函数，利用f′（x）+＞0．当x＞0时，x•f′（x）+f（x）＞0；当x＜0时，x•f′（x）+f（x）＜0，判断单调性即可证明a，b，c的大小．【解答】解：定义域为R的奇函数y＝f（x），设F（x）＝xf（x），∴F（x）为R上的偶函数，∴F′（x）＝f（x）+xf′（x）∵当x≠0时，f′（x）+＞0．∴当x＞0时，x•f′（x）+f（x）＞0，当x＜0时，x•f′（x）+f（x）＜0，即F（x）在（0，+∞）单调递增，在（﹣∞，0）单调递减．F（）＝a＝f（）＝F（ln），F（﹣3）＝b＝﹣3f（﹣3）＝F（3），F（ln）＝c＝（ln）f（ln）＝F（ln3），∵ln＜ln3＜3，∴F（ln）＜F（ln3）＜F（3）．即a＜c＜b，故选：B．【点评】本题考查了导数在函数单调性的运用，根据给出的式子，得出需要的函数，运用导数判断即可，属于中档题．二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．）（多选）9．（5分）已知（ax2+）n（a＞0）的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则下列说法正确的是（）A．展开式中奇数项的二项式系数和为256 B．展开式中第6项的系数最大 C．展开式中存在常数项 D．展开式中含x15项的系数为45【分析】由题意得，＝，再由组合数的性质，求出n＝10，再令x＝1结合展开式的各项系数之和为1024求出a，利用二项式的展开式的性质即可判断四个选项．【解答】解：因为的展开式中第5项与第七项的二项式系数相等，∴＝⇒n＝10，∵展开式的各项系数之和为1024，∴（a+1）10＝1024，∵a＞0，∴a＝1，原二项式为：（x2+）10；其展开式的通项公式为：Tr+1＝•（x2）10﹣r•＝x，展开式中奇数项的二项式系数和为：×1024＝512；故A错，因为本题中二项式系数和项的系数一样，且展开式有11项，故展开式中第6项的系数最大，B对，令20﹣r＝0⇒r＝8，即展开式中存在常数项，C对，令20﹣r＝15⇒r＝2，＝45，D对．故选：BCD．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于中档题目也是易错题目．（多选）10．（5分）若复数z满足（1+i）z＝3+i（其中i是虚数单位），复数z的共轭复数为，则（）A． B．z的实部是2 C．z的虚部是1 D．复数在复平面内对应的点在第一象限【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一核对四个选项得答案．【解答】解：由（1+i）z＝3+i，得z＝．∴|z|＝，故A正确；z的实部为2，故B正确；z的虚部是﹣1，故C错误；复数在复平面内对应的点的坐标为（2，1），在第一象限，故D正确．故选：ABD．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算化简，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题．（多选）11．（5分）对于函数，下列说法正确的是（）A．在（0，e）上单调递减 B．有极小值e C．有最小值e D．无最大值【分析】对f（x）求导，作出f（x）的图象，结合图象即可得出正确选项．【解答】解：函数的定义域为（0，1）∪（1，+∞），，易知函数f（x）在（0，1），（1，e）单调递减，在（e，+∞）单调递增，且当x∈（0，1）时，f（x）＜0，当x＞1时，f（x）＞0，作出f（x）的大致图象如下图所示，由图象可知，f（x）在x＝e处取得极小值f（e）＝e，无最小值，也无最大值．故选：BD．【点评】本题考查利用导数研究函数的性质，考查数形结合思想及运算求解能力，属于中档题．（多选）12．（5分）若函数f（x）＝2x3﹣ax2（a＜0）在上有最大值，则a的取值可能为（）A．﹣6 B．﹣5 C．﹣4 D．﹣3【分析】求导可知函数f（x）在x＝处取得极大值，当f（x）取得极大值时，对应的x可取x＝或x＝﹣，结合所给区间为开区间及函数的图象即可得到关于a的不等式，解之即可得出结论．【解答】解：令f′（x）＝2x（3x﹣a）＝0，得x1＝0，x2＝（a＜0），当＜x＜0时，f′（x）＜0；当x＜或x＞0时，f′（x）＞0，则f（x）的单调递增区间为，（0，+∞），单调递减区间为，从而f（x）在x＝处取得极大值为f＝﹣，由f（x）＝﹣，得＝0，解得x＝或x＝﹣，又f（x）在上有最大值，所以＜≤﹣，解得a≤﹣4，结合选项可知，a的取值可能为﹣6，﹣5，﹣4．故选：ABC．【点评】本题考查导数的综合运用，考查化归与转化的数学思想及运算求解能力，属于中档题．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）已知复数是纯虚数（i是虚数单位），则实数a的值为．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0列式求解．【解答】解：∵＝是纯虚数，∴，解得a＝．故答案为：．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．14．（5分）在（x3﹣）4的展开式中，常数项是﹣4．（用数字作答）【分析】利用二项展开式的通项公式Tr+1＝•（x3）4﹣r•即可求得展开式中的常数项．【解答】解：设展开式的通项为Tr+1，则Tr+1＝•（x3）4﹣r•＝（﹣1）r••x12﹣4r•令12﹣4r＝0得r＝3．∴展开式中常数项为：（﹣1）3•＝﹣4．故答案为：﹣4．【点评】本题考查二项式系数的性质，利用通项公式化简是关键，属于中档题．15．（5分）现有标号为①，②，③，④，⑤的5件不同新产品，要放到三个不同的机构进行测试，每件产品只能放到一个机构里．机构A，B各负责一个产品，机构C负责余下的三个产品，其中产品①不在A机构测试的情况有16种（结果用具体数字表示）．【分析】根据题意，有产品①必须在B机构或者C机构测试，由此分2种情况讨论，由加法原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，产品①不在A机构测试，则产品①必须在B机构或者C机构测试，若产品①在B机构检测，有C41C33＝4种情况，若产品①在C机构检测，有C42A22＝12种情况，则一共有4+12＝16种情况，故答案为：16．【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分类、分步计数原理的应用，属于基础题．16．（5分）已知定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f'（x），满足f'（x）＜x，且f（2）＝1，则不等式f（x）＜﹣1的解集为（2，+∞）．【分析】可设，根据条件可得出g′（x）＜0，从而得出g（x）在R上是减函数，并且可得出g（2）＝0，从而由原不等式可得出g（x）＜g（2），从而可得出原不等式的解集．【解答】解：设，∵f′（x）＜x，∴g′（x）＝f′（x）﹣x＜0，∴g（x）是R上的减函数，∵f（2）＝1，∴g（2）＝f（2）﹣2+1＝1﹣2+1＝0，由原不等式得，即g（x）＜g（2），∴x＞2，∴原不等式的解集为：（2，+∞）．故答案为：（2，+∞）．【点评】本题考查了构造函数解不等式的方法，根据导数符号判断函数单调性的方法，减函数的定义，考查了计算能力，属于中档题．四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）已知函数．（1）求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）试判断函数f（x）的单调性，并求出极值点与极值；【分析】（1）求出函数的导数，计算f′（1），f（1），求出切线方程即可；（2）求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，求出函数的极值即可．【解答】解：（1）由题可知：，所以f'（1）＝1，f（1）＝﹣1，∴函数在点（1，f（1））处的切线方程为：y﹣（﹣1）＝x﹣1，即y＝x﹣2；（2）因为函数的定义域（0，+∞），且；令，得x＝e，x，f′（x），f（x）列表如下：x（0，e）e（e，+∞）f'（x）+0﹣f（x）单增极大值单减因此函数单调增区间是（0，e），单调减区间是（e，+∞），故极值点为e，极大值为，无极小值．【点评】本题考查了切线方程，函数的单调性，极值问题，考查导数的应用，是中档题．18．（12分）从下列三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答①bsinA＝acosB；②（a+c+b）（a+c﹣b）＝3ac；③2cosB（acosC+ccosA）＝b．在△ABC中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，满足条件______．（1）求角B的大小；（2）若a＝4，S△ABC＝6，求b的值．【分析】选①：由正弦定理化简可求tanB，进而可求B；选②：由已知整理后利用余弦定理可求cosB，进而可求B；选③：由正弦定理及两角和的正切公式进行化简可求cosB，进而可求B，（2）由S△ABC＝＝6可求c，然后结合余弦定理可求b．【解答】解：选①bsinA＝acosB，由正弦定理得sinBsinA＝sinAcosB，因为sinA≠0，所以sinB＝cosB，故tanB＝，因为B为三角形内角，所以B＝，选②：（a+c+b）（a+c﹣b）＝3ac，所以（a+c）2﹣b2＝3ac，整理得a2+c2﹣b2＝ac，由余弦定理得cosB＝＝，因为B为三角形内角，所以B＝，选③：2cosB（acosC+ccosA）＝b，由正弦定理得2cosB（sinAcosC+sinCcosA）＝sinB，即2cosBsin（A+C）＝sinB，所以2cosBsinB＝sinB，因为sinB＞0，所以cosB＝，因为B为三角形内角，所以B＝，（2）若a＝4，S△ABC＝＝6，则＝6，c＝6，由余弦定理得cosB＝＝＝，解得b＝2．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式及三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题．19．（12分）若数列{an}的前n项和Sn＝2an﹣2，n∈N*．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若bn＝log2a2n﹣1（n∈N*），求数列{anbn}的前n项和Tn．【分析】（1）数列{an}的前n项和Sn＝2an﹣2，n∈N*．n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1，化为：an＝2an﹣1，n＝1时，a1＝2a1﹣2，解得a1．利用等比数列的通项公式即可得出．（2）bn＝log2a2n﹣1＝2n﹣1．anbn＝（2n﹣1）•2n．利用错位相减法即可得出．【解答】解：（1）数列{an}的前n项和Sn＝2an﹣2，n∈N*．n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2an﹣2﹣（2an﹣1﹣2），化为：an＝2an﹣1，n＝1时，a1＝2a1﹣2，解得a1＝2．∴数列{an}是等比数列，首项为2，公比为2．∴an＝2n．（2）bn＝log2a2n﹣1＝2n﹣1．anbn＝（2n﹣1）•2n．数列{anbn}的前n项和Tn＝2+3×22+5×23+……+（2n﹣1）•2n．2Tn＝22+3×23+……+（2n﹣3）•2n+（2n﹣1）•2n+1，∴﹣Tn＝2+2（22+23+……+2n）﹣（2n﹣1）•2n+1＝2+﹣（2n﹣1）•2n+1，化为：Tn＝（2n﹣3）•2n+1+6．【点评】本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法、对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（12分）已知函数f（x）＝ax3﹣6x+1，a∈R．（1）若a＝2，求函数f（x）在区间[﹣2，3]的最值；（2）若f（x）恰有三个零点，求a的取值范围．【分析】（1）化简函数的解析式，求出函数的导数，通过极值点判断函数的单调性，然后求解函数的最值即可．（2）求出f'（x）＝3ax2﹣6，通过当a≤0时，当a＞0时，利用函数的单调性，结合函数的极值判断函数的零点个数即可推出结果．【解答】解：（1）若a＝2，则f（x）＝2x3﹣6x+1，f'（x）＝6x2﹣6＝6（x+1）（x﹣1），令f'（x）＝0，得x＝﹣1或x＝1，列表如下：x﹣2（﹣2，﹣1）﹣1（﹣1，1）1（1，3）3f'（x）+0﹣1+f（x）﹣3单增5单减﹣3单增37f（x）在（﹣x，﹣1）上单调递增，在（﹣1，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，（4分）所以f（x）的极大值为f（﹣1）＝5，f（x）的极小值为f（1）﹣3f（﹣2）＝﹣3，f（3）＝37，故最大值为37，最小值为﹣3．（6分）（2）f'（x）＝3ax2﹣6，当a≤0时，f'（x）＝3ax2﹣6＜0恒成立，f（x）在R上单调递减，此时f（x）至多一个零点，不符合题意；（8分）当a＞0时，令f'（x）＝0，则，所以当或时，f'（x）＞0；当时，f'（x）＜0；所以f（x）在和上单调递增，在上单调递减，所以f（x）极大值为，f（x）的极小值为．因为f（x）恰有三个零点，所以，解得a＜32，所以0＜a＜32；综上所述，a的取值范围为（0，32）．（12分）【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，函数的零点个数的判断，考查分析问题解决问题的能力，是难题．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面ABCD⊥平面PCD，AD⊥DC，PC⊥PD，PC＝PD＝AD＝2，M为PA的中点．（1）求证：平面ACP⊥平面MCD；（2）求二面角C﹣MD﹣P的余弦值．【分析】（1）证明AD⊥平面PCD，推出AD⊥PC，PC⊥PD，推出PC⊥平面PAD，即可证明PC⊥MD，得到MD⊥AP，证明MD⊥平面PAC，即可证明平面ACP⊥平面MCD．（Ⅱ）设CD的中点为O，作OE∥AD交AB于E；连接OP，以O为原点，以OP，OD，OE所在的直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz，求出平面CMD的法向量，平面PMD的一个法向量利用空间向量的数量积求解二面角C﹣MD﹣P的余弦值即可．【解答】（1）证明：因为平面ABCD⊥平面