2020-2021学年北京市石景山区高一（下）期末数学试卷

第1页（共1页）2020-2021学年北京市石景山区高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．（4分）复数z＝的模为（）A． B． C． D．22．（4分）若α为第四象限角，则（）A．cos2α＞0 B．cos2α＜0 C．sin2α＞0 D．sin2α＜03．（4分）已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为（）A．2 B．4 C．6 D．84．（4分）以角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，角θ终边过点P（2，4），则＝（）A．﹣3 B． C． D．35．（4分）下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是（）A．y＝cos（2x+） B．y＝sin（2x+） C．y＝sin2x+cos2x D．y＝sinx+cosx6．（4分）已知向量，的夹角为60°，||＝2，||＝2，则||＝（）A．4 B．2 C． D．17．（4分）欧拉公式eix＝cosx+isinx（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，表示的复数位于复平面中的（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．（4分）要得到函数的图像，只需要将函数y＝4sin4x的图像（）A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位9．（4分）已知函数f（x）＝2sinx+cos2x，则f（x）的最大值是（）A． B．3 C． D．110．（4分）如图所示，边长为1的正方形ABCD的顶点A，D分别在x轴，y轴正半轴上移动，则的最大值是（）A．2 B． C．3 D．4二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.11．（4分）函数f（x）＝cos22x的最小正周期是．12．（4分）已知向量＝（﹣4，3），＝（6，m），且⊥，则m＝．13．（4分）已知tanα＝﹣2，tan（α+β）＝，则tanβ的值为．14．（4分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosB＝acosC+ccosA，则B＝．15．（4分）设f（x）＝asin2x+bcos2x，其中a，b∈R，ab≠0，若对一切x∈R恒成立，则对于以下四个结论：①；②；③f（x）既不是奇函数也不是偶函数；④f（x）的单调递增区间是．正确的是（写出所有正确结论的编号）．三、解答题：本大题共5小题，共40分.应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．（7分）已知平面上三点A，B，C.，．（Ⅰ）若三点A，B，C不能构成三角形，求实数k应满足的条件；（Ⅱ）若△ABC中角C为钝角，求k的取值范围．17．（7分）已知，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．18．（8分）如图，在△ABC中，D为边BC上一点，AD＝6，BD＝3，DC＝2．（Ⅰ）若，求∠BAC的大小；（Ⅱ）若，求△ABC的面积．19．（9分）已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的最小值和最大值．20．（9分）在△ABC中，，c＝3，且b≠c，再从条件①、条件②中选择一个作为已知，求：（Ⅰ）b的值；（Ⅱ）△ABC的面积．条件①：sinB＝2sinA；条件②：sinA+sinB＝2sinC．

2020-2021学年北京市石景山区高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．（4分）复数z＝的模为（）A． B． C． D．2【分析】利用复数代数形式的除法运算化简，然后利用复数模的公式计算．【解答】解：Z＝＝＝＝﹣﹣i，∴|Z|＝＝，故选：B．【点评】本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了复数模的求法，是基础题．2．（4分）若α为第四象限角，则（）A．cos2α＞0 B．cos2α＜0 C．sin2α＞0 D．sin2α＜0【分析】先求出2α是第三或第四象限角或为y轴负半轴上的角，即可判断．【解答】解：α为第四象限角，则﹣+2kπ＜α＜2kπ，k∈Z，则﹣π+4kπ＜2α＜4kπ，∴2α是第三或第四象限角或为y轴负半轴上的角，∴sin2α＜0，故选：D．【点评】本题考查了角的符号特点，考查了转化能力，属于基础题．3．（4分）已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为（）A．2 B．4 C．6 D．8【分析】设扇形的弧长为l，半径为r，S扇＝lr＝2，l＝4r，其周长c＝l+2r可求．【解答】解：根据题意知s＝2，θ＝4，∵s＝θR2，∴2＝×4×R2，即R＝1，∵l＝θR＝4×1＝4，∴扇形的周长为l+2R＝4+2＝6．故选：C．【点评】本题考查扇形面积公式，关键在于掌握弧长公式，扇形面积公式及其应用，属于中档题．4．（4分）以角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，角θ终边过点P（2，4），则＝（）A．﹣3 B． C． D．3【分析】先利用任意角的三角函数的定义求出tanθ，然后由两角差的正切公式求解即可．【解答】解：因为角θ终边过点P（2，4），所以，所以＝．故选：C．【点评】本题考查了任意角的三角函数的定义以及两角差的正切公式，考查了运算能力，属于基础题．5．（4分）下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是（）A．y＝cos（2x+） B．y＝sin（2x+） C．y＝sin2x+cos2x D．y＝sinx+cosx【分析】求出函数的周期，函数的奇偶性，判断求解即可．【解答】解：y＝cos（2x+）＝﹣sin2x，是奇函数，函数的周期为：π，满足题意，所以A正确y＝sin（2x+）＝cos2x，函数是偶函数，周期为：π，不满足题意，所以B不正确；y＝sin2x+cos2x＝sin（2x+），函数是非奇非偶函数，周期为π，所以C不正确；y＝sinx+cosx＝sin（x+），函数是非奇非偶函数，周期为2π，所以D不正确；故选：A．【点评】本题考查两角和与差的三角函数，函数的奇偶性以及红丝带周期的求法，考查计算能力．6．（4分）已知向量，的夹角为60°，||＝2，||＝2，则||＝（）A．4 B．2 C． D．1【分析】根据题意，设||＝t，若||＝2，则（）2＝||2+4||2﹣4•＝4+4t2﹣4×2×t×＝4，将其化简解可得t的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，设||＝t，||＝2，则（）2＝||2+4||2﹣4•＝4+4t2﹣4×2×t×＝4，即t2﹣t＝0，又由t＞0，则有t＝1；故选：D．【点评】本题考查向量的数量积的计算，涉及向量模的计算，关键是掌握向量数量积的计算公式．7．（4分）欧拉公式eix＝cosx+isinx（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，表示的复数位于复平面中的（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】直接由欧拉公式eix＝cosx+isinx，可得＝cos＝，则答案可求．【解答】解：由欧拉公式eix＝cosx+isinx，可得＝cos＝，∴表示的复数位于复平面中的第一象限．故选：A．【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查数学转化思想方法，是基础题．8．（4分）要得到函数的图像，只需要将函数y＝4sin4x的图像（）A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位【分析】由题意利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：只需要将函数y＝4sin4x的图像向右平移个单位，即可得到函数的图像，故选：B．【点评】本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．9．（4分）已知函数f（x）＝2sinx+cos2x，则f（x）的最大值是（）A． B．3 C． D．1【分析】利用二倍角公式，平方差公式化简f（x）的解析式，再利用二次函数的性质、正弦函数的值域即可求解．【解答】解：函数f（x）＝2sinx+cos2x＝1﹣2sin2x+2sinx＝﹣2（sinx﹣）2，由于sinx∈[﹣1，1]，故当sinx＝时，函数f（x）取得最大值为．故选：C．【点评】本题主要考查二倍角公式，平方差公式，二次函数的性质，正弦函数的值域等知识的综合应用，考查了函数思想，属于基础题．10．（4分）如图所示，边长为1的正方形ABCD的顶点A，D分别在x轴，y轴正半轴上移动，则的最大值是（）A．2 B． C．3 D．4【分析】设∠OAD＝θ，根据已知条件，可得出点B，C的坐标，再结合向量的坐标数量积公式，即可求解．【解答】解：设∠OAD＝θ，∵AD＝1，∴OA＝AD•cosθ＝cosθ，OD＝AD•cosθ＝cosθ，∵∠BAD＝90°，∴∠BAx＝90°﹣θ，∵，，∴，同理可得C（sinθ，cosθ+sinθ），∴，∴＝（cosθ+sinθ）sinθ+sinθ（cosθ+sinθ）＝cos2θ+sin2θ+2sinθcosθ＝1+sin2θ，∵，∴2θ∈（0，π），∴当sin2θ＝1，即时，取得最大值2．故选：A．【点评】本题考查向量在几何中的应用，由于向量的运算与坐标关系密切，所以设角来表示点的坐标是解本题的关键，属于中档题．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.11．（4分）函数f（x）＝cos22x的最小正周期是．【分析】利用三角函数的降幂公式进行化简，结合三角函数的周期公式进行计算即可．【解答】解：f（x）＝（1+cos4x）＝cos4x+，则函数的最小正周期为T＝＝，故答案为：．【点评】本题主要考查三角函数的周期的计算，利用降幂公式进行化简是解决本题的关键，是基础题．12．（4分）已知向量＝（﹣4，3），＝（6，m），且⊥，则m＝8．【分析】⊥则，代入，，解方程即可．【解答】解：由向量＝（﹣4，3），＝（6，m），且⊥，得，∴m＝8．故答案为：8．【点评】本题考查了平面向量的数量积与垂直的关系，属基础题．13．（4分）已知tanα＝﹣2，tan（α+β）＝，则tanβ的值为3．【分析】直接利用两角和的正切函数，求解即可．【解答】解：tanα＝﹣2，tan（α+β）＝，可知tan（α+β）＝＝，即＝，解得tanβ＝3．故答案为：3．【点评】本题考查两角和的正切函数，基本知识的考查．14．（4分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosB＝acosC+ccosA，则B＝．【分析】根据正弦定理和两角和的正弦公式和诱导公式计算即可【解答】解：∵2bcosB＝acosC+ccosA，由正弦定理可得，2cosBsinB＝sinAcosC+sinCcosA＝sin（A+C）＝sinB，∵sinB≠0，∴cosB＝，∵0＜B＜π，∴B＝，故答案为：【点评】本题考查了正弦定理和两角和的正弦公式和诱导公式，属于基础题15．（4分）设f（x）＝asin2x+bcos2x，其中a，b∈R，ab≠0，若对一切x∈R恒成立，则对于以下四个结论：①；②；③f（x）既不是奇函数也不是偶函数；④f（x）的单调递增区间是．正确的是①③（写出所有正确结论的编号）．【分析】利用辅助角公式可得（x）＝sin（2x+φ），且tanφ＝，根据题设不等式恒成立，可得φ＝kπ+（k∈Z），再由各选项的描述，结合正弦函数的性质，函数奇偶性，判断即可．【解答】解：由题设，f（x）＝asin2x+bcos2x＝sin（2x+φ），且tanφ＝，因为f（x）≤|f（）|对一切x∈R恒成立，所以sin（+φ）＝±1，即+φ＝kπ+（k∈Z），则φ＝kπ+，①f（）＝sin（+kπ+）＝sin（k+2）π＝0，故①正确；②f（）＝sin（+kπ+）＝sin[（k+1）π+]，f（）＝sin（+kπ+）＝sin（kπ+]，所以|f（）|＝|f（）|，故②错误；③f（﹣x）＝sin（﹣2x+kπ+），所以f（﹣x）±f（x）≠0，即f（x）非奇非偶，故③正确；④因为f（x）在2k1π﹣≤2x+kπ+≤2k1π+（k1∈Z，k∈Z）上单调递增，所以﹣≤+，令k′＝2k1﹣k，则﹣≤x≤+，等价于+≤x≤+上f（x）单调递增，故④错误．故答案为：①③．【点评】本题考查三角函数的性质，解题中需要理清思路，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共40分.应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．（7分）已知平面上三点A，B，C.，．（Ⅰ）若三点A，B，C不能构成三角形，求实数k应满足的条件；（Ⅱ）若△ABC中角C为钝角，求k的取值范围．【分析】（Ⅰ）根据题意，分析可得向量与平行，由向量平行的判断方法可得答案；（Ⅱ）根据题意，当角C是钝角时，且向量与不共线，由数量积的计算公式计算可得答案．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，若三点A，B，C不能构成三角形，则A，B，C在同一直线上，即向量与平行，又由，，则有﹣4（2﹣k）﹣2×3＝0，解得；（Ⅱ）当角C是钝角时，且向量与不共线；所以2×（2﹣k）+3×（﹣4）＜0且，解得k＞﹣4；综上得k的取值范围是{k|k＞﹣4且}．【点评】本题考查向量数量积的计算，涉及向量平行的判断，属于基础题．17．（7分）已知，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．【分析】（Ⅰ）先根据，求出cosα，然后由两角和的余弦公式求解即可；（Ⅱ）先利用二倍角公式，求出sin2α，cos2α，然后利用两角差的余弦公式求解即可．【解答】解：（Ⅰ）因为，，所以，所以；（Ⅱ）因为，，所以＝．【点评】本题考查了三角函数求值，两角和差公式的应用，同角三角函数的基本关系以及二倍角公式，考查了运算能力，属于基础题．18．（8分）如图，在△ABC中，D为边BC上一点，AD＝6，BD＝3，DC＝2．（Ⅰ）若，求∠BAC的大小；（Ⅱ）若，求△ABC的面积．【分析】（Ⅰ）直接利用三角函数关系式的恒等变换，利用诱导公式求出结果．（Ⅱ）利用解直角三角形和三角形的面积公式求出结果．【解答】解：（Ⅰ）设∠BAD＝α，∠CAD＝β，则，，所以，因为α+β∈（0，π），所以，即．（Ⅱ）过点A作AH⊥BC交BC的延长线于点H，因为，所以，所以；所以．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，解直角三角形的应用，三角形面积公式的应用．19．（9分）已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的最小值和最大值．【分析】（Ⅰ）利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，然后求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）通过角的范围求解相位的范