原子物理学杨福家16章课后习题答案

原子物理学课后前六章答案（第四版）

杨福家著（高等教育出版社）

第一章：原子的位形：卢瑟福模型

第二章：原子的量子态：波尔模型

第三章：量子力学导论

第四章：原子的精细结构：电子的自旋

第五章：多电子原子：泡利原理

第六章：X射线

第一章习题1、2解

1.1速度为v的非相对论的a粒子与一静止的自由电子相碰撞，试证明：a粒子的最大偏离角约为

10-4rad.

要点分析：碰撞应考虑入射粒子和电子方向改变.并不是像教材中的入射粒子与靶核的碰撞（靶核不

动）.注意这里电子要动.

证明：设a粒子的质量为Ma,碰撞前速度为V,沿X方向入射；碰撞后，速度为V',沿0方向散

射。电子质量用me表示，碰撞前静止在坐标原点0处，碰撞后以速度v沿＜|＞方向反冲。a粒子-电子系

统在此过程中能量与动量均应守恒，有：

222

-MV=-MaV'+-mv

乙LL（i）

MV=MV'CGS0+mvcos(p

aae(2)

0=MV'sin3-mvsin(p

ae(3)

再将(4)、(5)二式与(1)式联立，消去V'与v,

MJ2=M/2+必片*2，

sirr(e+e)mesirr(e+0)

化简上式，得

sin2(8+0)=sin2(p+--^sin20

m

ee(6)

m

R=--e

若记a,可将(6)式改写为

//sin(8+0)=//sin^9+sin0

视。为小的函数e（＜l＞）,对（7）式求e的极值，有

de

[sin20-jj,sin(夕+0)]=//[-sin2(p+sin2(0+0)]

d(p

丝0

（

令dp贝ijsin2(0+。)-sin26=0即2cos(0+24))sin9=0

若sine=0,则。=0（极小）(8)

(2)若cos(0+26)=0，则0=90°-24)(9)

2

4sin(90°一夕)=4sin20+sin2夕

将（9）式代入（7）式，有

m1

sin8=〃=e

4x1836

由此可得

。生10-4弧度（极大）此题得证。

1.2（1）动能为5.OOMeV的a粒子被金核以90°散射时，它的瞄准距离（碰撞参数）为多大？

（2）如果金箔厚1.0nm,则入射a粒子束以大于90°散射（称为背散射）的粒子数是全部入射

粒子的百分之儿？

要点分析:第二问是90°〜180°范围的积分.关键要知道n,注意推导出n值.

_N总分子数_mol"=1（-P只、=2N

,一/AAA，其他值从书中参考

列表中找.

2

a6Z.Z?e

b二—cot—a=

解：（1）依22金的原子序数Z2=79

,12Z•/079X1.44A”rcrcs-15/、

b=----------cot—=-----------cot45=22.752x10

24唉E25.00

答：散射角为90。所对所对应的瞄准距离为22.8fm.

（2）解：第二问解的要点是注意将大于90°的散射全部积分出来.

（问题不知道nA,但可从密度与原子量关系找出）

从书后物质密度表和原子量表中查出ZAu=79,AAu=197,PAU=1.888X104kg/m3

2

dN'=ntN-----------2zrsin6d3

16sin4—

依：2

dN'71«22^sin0d0

一:\nt-----L

N生16sin4-

22

00000

sin^=2sin-cos-2^(-)=2sin-2^(sin-)

r.ee

2sm—cos

■了2万产)2

---------------------

24启E

16xsin4—

2

ce

072cos—

22兀%--------\d0

16xsin3—

2

..0,.0

4sin—t/(zsin—)

=)2271X(—)2____

44笳E

16xsin4—

2

即单位体

积内的粒子数

为密度除以摩尔质量数乘以阿伏加德罗常数。

e2、2兀2Z.

nzt(-)2-xz(-)2

4冗£4乜是常数其值为

L-3『吗仙"『(等A-，

7：cos—7td(sin一)

I=f——Kde=2f—

最后结果为：dN'/N=9.6X10-5,说明大角度散射几率十分小。

1-3-1-4练习参考答案(后面为褚圣麟1-3〜卜4作'业)

1-3试问4.5MeV的a粒子与金核对心碰撞时的最小距离是多少?若把金核改为7Li核,则结果如何?

要点分析：计算简单，重点考虑结果给我们什么启示，影响靶核大小估计的因素。

aF0

r=—1+esc—

mm22

解：对心碰撞时L9=180。

rm=—(1+esc900)=a

Z,Ze江区,50.56fm

%=a=—9—

加4^£4.5

离金核最小距离0

Z]Ze22x3x1.44

%=a=2=1.92fm

ATI/E4.5

离7Li核最小距离

结果说明：靶原子序数越小，入射粒子能量越大，越容易估算准核的半径.反之易反。

1-4⑴假定金核半径为7.0fm,试问入射质子需要多少能量才能在对头碰撞时刚好到达金核的表面？

⑵若金核改为铝时质子在对头碰撞时刚好到达铝核的表面，那么入射质子的能量应为多少？设铝核的

半径为4.0fnio

要点分析:注意对头碰撞时,应考虑靶核质量大小,靶核很重时，m«M可直接用公式计算;靶核较轻时,

m«M不满足,应考虑靶核的反冲，用相对运动的质心系来解.79AAu=19613AA1=27

解：⑴若入射粒子的质量与原子核的质量满足m«M,则入射粒子与原子核之间能达到的最近距离为

1+cs"

rm=—(1+esc900)=a

2*180°时,

2

Z.Z?e尸/Z.Z7

=Y：・E=

4疵om-4万4rm

即

1x79

E=1.44fmMeVx--------=16.25MeV

即：7.0fm

ZZ.e2

a=—■---

4九FF

⑵若金核改为铝核，m＜〈M则不能满足，必须考虑靶核的反冲在散射因子0中，应把

E理解为质心系能EC

1rnM_M

一"2-'L

2m+Mm+M

Z.Z^e2Z.Z^e2m+M

—-------------------------•-----------

4万4%4麻0M

ac~rm

hZ]Ze2m+M._....

E,=—^—=2—•----=4.8o5MeV

47T£0acM

说明靶核越轻、z越小，入射粒子达到靶核表面需要能量越小.核半径估计值越准确.

褚圣麟教材作业题解

1.3若卢瑟福散射用的a粒子是放射性物质镭C'放射的,其动能为7.68X106电子伏特。散射物质是

原子序数Z=79的金箔，试问散射角9=150°所对应的瞄准距离b多大？

Z.Ze2

a=—2—

—cot—4兀

解：依22和

,2Z-e2e2x79x(1.6x10-19)2

b-----------cot-----------------------------------cot75-3.9664x10(m)

4吟n"o24x3.14x8.85xl0-12x—xlO6

2

答：散射角为150°所对所对应的瞄准距离为3.9664X10-15m

1.4针放射的•种a粒子的速度为1.597X107米/秒,正面垂直入射厚度为10-7米,密度为1.932X104

公斤/米3的金箔,试求所有散射在9290°的a粒子占全部入射粒子的百分比，已知金的原子量为179。

解：此题解的要点是注意将大于90°的散射全部积分出来.设散射入大于90°角的粒子数为dn',入

射的总粒子数为n,金箔的单位体积内的粒子数为No

dn』，

—=Ntdo

依：几

dn'u产？xr产/1、2/2Z、22»sine

==)2——-z-de

n,22MV-k3-1L4l

2

注意到:

最后结果为：dn/n=3.89X10-7

问答:如果知道散射的总粒子数，如何计算散射入某•角度内粒子的数量？如何求出其散射截面？如何

算出散射几率？

散射入某一角内的粒子数

散射几率(微分散射截面)，⑹三T三黑i

1

2

习题1-5、1-6解

2^-sinOdO

si

补：求积分式2的积分结果

解：积分式的积分结果

2sin'cos?

L2^sin3d0Asin6d6"夕

27r2Q22

?，44,43

sin-"sin-sin

222

e

cos—d8

4万----------=47r

sm

2

%

)

22^-sinOdO

2

结果:

1-5动能为1.OMeV的窄质子束垂直地射在质量厚度为1.5mg/cm2的金箔上，记数器的记录以60°角

散射的质子。计数器圆形输入孔的面积为1.5cm2,离金箔散射区的距离为10cm,输入孔对着且垂直于射到

它上面的质子，试问：散射到计数器输入孔的质子数与入射到金箔的质子数之比为多少？（质量厚度Pm

定义为单位面积的质量Pm=Pl,则p=pm/t其中P为质量密度，t为靶厚）。

要点分析：没给直接给nt。设置的难点是给出了质量厚度，计算时需把它转换成原子体密度n和厚度

t.需推导其关系。

解：输入圆孔相对于金箔的立体角为

1.5

dSl==1.5x10-2

22

r10AAu=197

m

p=­

e=60°（注意密度为单位体积的质量V，单位体积内的粒子

m1p2

n=-----NAr=—N

AA4A

数为VAA)

Pm

nt=NA

AA

,,adQ

dNAr=ntN-------

16.4,

sin一

依公式2

2（2）

1-6灰a粒子垂直射至•重金属箔上，试求a粒子被金属箔散射后，散射角大于60。的a粒子与

散射角大于90°的粉子数之比。

要点分析：此题无难点，只是简单积分运算。

解：依据散射公式

22

八”.TadQ.Ta2^-sinOdO

dN'=ntN----------------------二ntN------------------

16si.n4—016si.n4—。

22

22

....M..Ta27isin3d0A_17ia的，/””,"耳)

2

CdN'=饵mN——---------------二ntN------f4--------j-

除B16・4。16物.3。

sin—sin——

22

因为

i8o①smJ3

。.302

sm一

2

同理算出

180

z7-e、

80（1sm5）111

'（）sm"2s/2

2290

d"3/2,

----=3

dN）。1/2

可知

习题1-7、8解

2〃sinOdO

sin"

补：求积分式2的积分结果

解：积分式的积分结果

2sin-cos-dO

%2^sinOdO/sinOdO’2

=2〃=2zr22

e

sin^'sin4-si,n4

222

cos—ed。

4TT24TT

si.n3。

2

%

夕22^-sinOdO1

=—4»

sin"s/

22

结果:

1-7单能的窄a粒子束垂直地射到质量厚度为2.0mg/cm2的铝箔上，这时以散射角00>20•散射的相

对粒子数（散射粒子数与入射数之比）为4.0X10-3.试计算：散射角9=60。角相对应的微分散射截面

要点分析：重点考虑质量厚度与nt关系。

dN'a.

—^^=2.0xl0-29

解：pm=2.0mg/cm2NATa=181ZTa=73

Pm

n=NA

9=60°tA

nt=PmN

AA

d(ya11

依微分截面公式知该题重点要求出a2/16

由公式

dN'802380

----=nt-^-=—x6.022xl0x—x"包警=4.3x10-3

察。18116ho.4U

Nsin2sin一

22

IS

—x6.022xl023x—x°红红袈=6.65x10曝=4.3x10-3

:0.0

18116sm4—

2

2

6.65xl021x^-x(—4〃)x(-22.13)=4.3xlO-3

2

=2.33xl(p26

1-8(1)质量为ml的入射粒子被质量为m2(m2«ml)的静止靶核弹性散射，试证明:入射粒子在实验

室坐标系中的最大可能偏转角0由下式决定.

mx

(2)假如粒子在原来静止的氢核上散射，试问：它在实验室坐标系中最大的散射角为多大？

o

要点分析：同第一题结果类似。

证明：

I〃21r〃212

—m,v=—m,v+—m-,v

222，(1)

my=m}V'cos0+m2vcos(p

/

0=m1Ksin^-m2vsin^

作运算：(2)Xsin。±(3)Xcos0,得

〃sin。

m.v=m.v

sin(9+°)(4)

sin(9+(p)(5)

再将(4)、(5)二式与(1)式联立，消去V与得

•22,2/n

22

mV=mVsmO十叫片sin

112

sin(^+^9)m2sinYd+e)

化简上式，得

sin2(^+(p)=sin2^>+—sin20

m

x(6)

m,

m

若记x,可将(6)式改写为

〃sin2(9+°)=//sin2(p+sm20

(7)

视。为小的函数0(6),对(7)式求9的极值，有

de

[sin28一〃sin(e+o)]=〃[-sin2夕+sin2(夕+夕)]

d(p

也=0

(

令dp则sin2(0+4))-sin2<t)=02cos(0+2<1))sin0=0

若sin0=o,则e=0(极小)(8)

(2)若cos(0+2力)=0,则9=90°-23(9)

将⑼式代入⑺式，有〃sin2(900-9)=〃sin2°+sin?⑹

m

s.m'Z)=〃=-2-

由此可得

sin8="二加2=1,8=90。

m

若m2=ml则有}此题得证。

第一章习题1-9、10题解

1-9动能为l.OMev的窄质子束垂直地射到质量厚度(Pt)为L5mg/cm2的金箔上，若金箔中含有百

分之三十的银，试求散射角大于30°的相对质子数为多少？

要点分析：此题靶为•个复合材料靶，关键找出靶的厚度t.然后计算出金原子数和银原子数,即可积

分计算，从书后表可知：ZAu=79,AAu=197,PAu=l.888X104kg/m3;ZAg=47,AAg=108,

PAg=l.05X104kg/m3.

解：先求金箔的厚度tPt=(0.7PAu+O.3PAg)t=1.5mg/cm2

1.5x10-21.5x10-2

m=0.916pm

44

0.7pAu+0.3夕改0.7x1.888xlO+0.3x1.05xlO

这种金箔中所含金原子数与银原子数分别为

PAu’

4不

“Au4g

和

再计算质子被金原子与银原子散射到。>30°范围内的相对数目。被金原子散射的相对数目为:

"叱u.2欣n历n0八,龙;Z；1.44?

7AU

2

「N3」。16si/4”22sme

22

式中，N为入射质子总数，dNAu'为被金原子散射到0>30。范围内的质子数。同理可得质子被银原子

散射的相对数目为：

180

180a22^sin6tl6,PJ1.442]__1

ntA

\-------=-LNA

N16sin404g25.2。

30。sin-

2230°

被散射的相对质子总数为

+tN立:Z；(1.44x10-5)2pAgt祝:z；(144x10-5)2i

H^tlAulAg=^-A

+7；N..,180

AA”sin"-

2

将已知数据代入:

NA=6.02X1023,E=l.OMeV,t=0.916um,ZAu=79,AAu=197,PAu=18.88X103kg/m3,ZAg=47,AAg=108,

pAg=10.5X103kg/m30^1.028X10-5

结果讨论：此题是一个公式活用问题.只要稍作变换,很容易解决.我们需要这样灵活运用能力.

1-10由加速器产生的能量为1.2MeV、束流为5.0nA的质子束，垂直地射到厚为1.5um的金箔上，

试求5min内被金箔散射到下列角间隔内的质子数。金的密度(P=1.888X104kg/m3)

[1]59°~61°;[2]e>eo=6O°[3]e<eo=io°

要点分析:解决粒子流强度和入射粒子数的关系.

注意:第三问，因卢瑟福公式不适用于小角(如0°)散射，故可先计算质子被散射到大角度范围内的粒子

数，再用总入射粒子数去减，即为所得。

解：设j为单位时间内入射的粒子数，1为粒子流强度，因1=je,j=I/e,时间T=5min内单位面积上

入射的质子的总数为N个:

5.0X1Q-9X5X60

N=jT=—==9.36x1()12

e1.602177xl0-19

再由卢瑟福公式，单位时间内，被一个靶原子沿0方向，射到d。立体角内的质子数为:

a2Kl

dN'=N

16^tsin4—

2

单位时间内，被所有靶原子沿0方向，射到d。立体角内的质子数为

八”、a2dO.,dQ

dN=Nr-----------nAt=ntN----------

16Asm—sin—

22

,“IcrdQ..a1dCla227rsin6d6

dn=N------------nAt=jT-----------ntjTnt---------------

16^sin4—16sin4—16sin4—

222

式中，n为单位体积的粒子数，它与密度的关系为：

"%，

“所以，上式可写为

a2dnpa217ism3d3

赤=N-----------nAt=jT---------nt=jT-NAt------------

16^sin4—16sin4—16sin4—

222

解：⑴

a~27rs\x\0d027rs

0

6.40

2sm—

2

0

2、

p_1

N』t木x(")~7o

7sin一

2°

-61

144x——

-咏蹈产x0gWxxm。X6

n2

si2

59

=-5.719xl09x-(0.228)=1.3xJO9

解：［2］仍然像上式•样积分，积分区间为60。-180°,然后用总数减去所积值。即6>90=60°的

值。

-%180°

11

-5.719X109X=-5.719X109X=5.719X109X3=1.7151X101

.2。.10

sinsm—

L2

•4_2_60°

解：［3］由于0°的值为无穷大，无法计算，所以将作以变换.仍然像上式一样积分，积分区间为

10°-180°,然后用总数减去所积值,即e<eo=io0的值。

-1%180°

11

-5.719X109X=-5.719X109X=5.719xl09x32.16=1.84x10"

.2。,20

sin—sin—

2JL2J

%10°

总数为9.36X1012-7.56X1011=8.6X1012(个

第二章习题解答

2.1葩的逸出功为1.9eV,试求：

(1)钠的光电效应阈频率及阈值波长;

(2)如果要得到能量为1.5eV的光电子，必须使用多少波长的光照射?

/UT.

光电效应方程=〃v-①

2

(1)由题意知=0即〃v-①=0

①1.9ev

v=一=4.59x10%

h4.136xlO'I5ev^

_che1.24nm-Kev

A=-=—=------=652.6〃〃z

v①1.9ev

(2)_mv；=\.5ev

1.5ev=/zv-O=/2--O

2

che1.24〃〃?•Key_

z=-------=----------=364.7

1.5ev+①1.5ev+1.9ev

2.2对于氢原子、一次电离的氢离子He+和两次电离的锂离子Li++,分别计算

它们的：

(1)第一、第二玻尔轨道半径及电子在这些轨道上的速度；(2)电子在基态的

结合能；

(3)由基态带第一激发态所需的激发能量及由第一激发态退激到基态所放光子

的波长。

解：

(1)由波尔理论及电子的轨道半径公式〃=二,n为氢原子第一波尔半径

Z

4兀%力2_(力C)2(197.3)2

nmx0.053〃加

6=%226

mee~mece/4n£Q0.511xl0xl.44

氢原子第二波尔半径

r2=44=0.212«m

可知：He*(Z=2)r,---0.0265/7/77

'2

22

r2-a}--0A06nm

Li++(Z=3)

r=—=0.0176〃加

1}3

22

G=q§=0.0705〃/%

电子在波尔轨道上的速率为匕=ac£

n

V.=ac=」一x3xl08m=2.19X106"?.ST

于是有H:137

v=——=l.lxl06m-5-1

22

V]=2ac=4.38x106M.广

Hef:

"Oryz*=2]9xio6加.57

2

=3ac=6.57x1

6

V?=—=3.28X10W5-'

2

(2)电子在基态的结合能Ek在数值上等于原子的基态能量。由波尔理论的能量

公式

纥T砥(外可得

Ek=|E||=；〃?e(acz)2=13.6z2ev

故有H:E&=13.6eu

+2

He:Ek=13.6x2=54.4ev

2

Li":Ek