山东省青岛市第三十一中学高三数学理下学期期末试题含解析

山东省青岛市第三十一中学高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数的定义域（

）A、

B、

C、

D、参考答案：C略2.化简：

A.

B.

C.

D.参考答案：A3.已知为虚数单位,则复数在复平面上所对应的点在(

)A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限参考答案：D4.已知d为常数，p：对于任意n∈N*，an+2﹣an+1=d；q：数列{an}是公差为d的等差数列，则￢p是￢q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】先根据命题的否定，得到￢p和￢q，再根据充分条件和必要的条件的定义判断即可．【解答】解：p：对于任意n∈N*，an+2﹣an+1=d；q：数列{an}是公差为d的等差数列，则￢p：?n∈N*，an+2﹣an+1≠d；￢q：数列{an}不是公差为d的等差数列，由￢p?￢q，即an+2﹣an+1不是常数，则数列{an}就不是等差数列，若数列{an}不是公差为d的等差数列，则不存在n∈N*，使得an+2﹣an+1≠d，即前者可以推出后者，前者是后者的充分条件，即后者可以推不出前者，故选：A．5.已知集合，，则为（

）（A）

(B)

(C)

(D)

参考答案：6.已知集合，，全集，则（

）（A）

(B)

(C)

(D)参考答案：C,,故选C．7.已知直线x﹣9y﹣8=0与曲线C：y=x3﹣px2+3x相交于A，B，且曲线C在A，B处的切线平行，则实数p的值为（）A．4 B．4或﹣3 C．﹣3或﹣1 D．﹣3参考答案：B【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出原函数的导函数，设出A，B点的坐标，得到函数在A，B点处的导数值，由A，B点处的导数值相等得到3x12﹣2px1+3=3x22﹣2px2+3=m，把x1，x2看作方程3x2﹣2px+3﹣m=0的两个根，利用根与系数关系得到x1+x2=p，进一步得到AB的中点坐标，然后再证明AB的中点在曲线C上，最后由AB中点的纵坐标相等求得实数p的值，注意检验．【解答】解：由y=x3﹣px2+3x，得y′=3x2﹣2px+3，设A（x1，y1），B（x2，y2），则曲线C在A，B处的切线的斜率分别为3x12﹣2px1+3，3x22﹣2px2+3，∵曲线C在A，B处的切线平行，∴3x12﹣2px1+3=3x22﹣2px2+3，令3x12﹣2px1+3=3x22﹣2px2+3=m，∴x1，x2是方程3x2﹣2px+3﹣m=0的两个根，则x1+x2=p，下面证线段AB的中点在曲线C上，∵===p﹣p3，而（）3﹣p（）2+3?=p3﹣p3+p=p﹣p3，∴线段AB的中点在曲线C上，由x1+x2=p，知线段的中点为（p，（p﹣8）），∴﹣+p=p﹣p3，解得p=﹣1，﹣3或4．当p=﹣1时，y=x3+x2+3x的导数为y′=3x2+2x+3＞0恒成立，即函数为递增函数，直线与曲线只有一个交点，舍去；p=﹣3，或4时，y=x3﹣px2+3x不单调，成立．故选：B．8.按下面的流程（图1），可打印出一个数列，设这个数列为，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：9.设不等式组表示的平面区域为，不等式表示的平面区域为，对于中的任意一点和中的任意一点，的最小值为（

）A． B． C． D．参考答案：C10.已知等差数列{an}的公差d≠0,若a5、a9、a15成等比数列,那么公比为

(

)A．

B．

C．

D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在平面直角坐标系中，设过原点的直线与圆C：交于M、N两点，若MN，则直线的斜率k的取值范围是___________.参考答案：略12.在中，分别为角的对边，若，且,则边等于

.参考答案：4由及正、余弦定理知：，整理得，由联立解得：.13.已知向量，的夹角为，且，，则___________.参考答案：略14.计算(lg－lg25)÷100－＝________.参考答案：－2015.已知抛物线型拱桥的顶点距水面米时，量得水面宽为米．则水面升高米后，水面宽是____________米（精确到米）．参考答案：16.在等差数列中，，，则________.参考答案：99考点：等差数列性质17.对于函数y=f（x），若其定义域内存在不同实数x1，x2，使得xif（xi）=1（i=1，2）成立，则称函数f（x）具有性质P，若函数f（x）=具有性质P，则实数a的取值范围为．参考答案：【考点】函数的值．【分析】由题意将条件转化为：方程xex=a在R上有两个不同的实数根，设g（x）=xex并求出g′（x），由导数与函数单调性的关系，判断出g（x）在定义域上的单调性，求出g（x）的最小值，结合g（x）的单调性、最值、函数值的范围画出大致的图象，由图象求出实数a的取值范围．【解答】解：由题意知：若f（x）具有性质P，则在定义域内xf（x）=1有两个不同的实数根，∵，∴，即方程xex=a在R上有两个不同的实数根，设g（x）=xex，则g′（x）=ex+xex=（1+x）ex，由g′（x）=0得，x=﹣1，∴g（x）在（﹣∞，﹣1）上递减，在（﹣1，+∞）上递增，∴当x=﹣1时，g（x）取到最小值是g（﹣1）=，∵x＜0，g（x）＜0、x＞0，g（x）＞0，∴当方程xex=a在R上有两个不同的实数根时，即函数g（x）与y=a的图象有两个交点，由图得，∴实数a的取值范围为，故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数的定义域为R．（Ⅰ）求实数m的范围；（Ⅱ）若m的最大值为n，当正数a，b满足时，求4a+7b的最小值．参考答案：【考点】33：函数的定义域及其求法；R5：绝对值不等式的解法；RK：柯西不等式在函数极值中的应用．【分析】（I）利用绝对值不等式的性质即可得出．（II）利用柯西不等式的性质即可得出．【解答】解：（Ⅰ）∵函数的定义域为R，|x+2|+|x﹣4|≥|（x+2）﹣（x﹣4）|=6，∴m≤6．（Ⅱ）由（Ⅰ）知n=6，由柯西不等式知，4a+7b==，当且仅当时取等号，∴4a+7b的最小值为．19.(本小题满分10分)在直角坐标系中，以原点O为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.设曲线C：(a为参数)，直线:（Ⅰ）写出曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；(Ⅱ)求曲线C上的点到直线的最大距离.参考答案：20.（本小题满分12分）已知函数．（1）讨论f(x)的单调性；（2）若函数f(x)有两个零点分别记为．①求a的取值范围；②求证：．参考答案：解：（1）（i）当时，；（ii）当时，；（iii）当时，恒成立，在上单增（iv）当时，；综上所述：时，在；时，在；时，在上单调递增；时，在.………4分（2）①（i）当时，，只有一个零点，舍去（ii）当时，

又，取则存在两个零点（iii）当时，

在上单调递增，时，不可能有两个零点，舍去（iv）当时，在不可能有两个零点，舍去（v）当时，在时，

不可能有两个零点，舍去综上所述：（本题也可用分离参数法）………8分

②由①知：，在要证即证，即证令，则当时，不妨设，则，即又在 ，原命题得证.………12分

21.近年来郑州空气污染较为严重，现随机抽取一年（365天）内100天的空气中PM2.5指数的监测数据，统计结果如下：PM2.5[0，50]（50，100]（100，150]（150，200]（200，250]（250，300]＞300空气质量优良轻微污染轻度污染中度污染中度重污染重度污染天数413183091115记某企业每天由空气污染造成的经济损失为S（单位：元），PM2.5指数为x．当x在区间[0，100]内时对企业没有造成经济损失；当x在区间（100，300]内时对企业造成经济损失成直线模型（当PM2.5指数为150时造成的经济损失为500元，当PM2.5指数为200时，造成的经济损失为700元）；当PM2.5指数大于300时造成的经济损失为2000元．（1）试写出S（x）的表达式；（2）试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于500元且不超过900元的概率；（3）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下面列联表，并判断是否有95%的把握认为郑州市本年度空气重度污染与供暖有关？附：P（K2≥k0）0.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k01.322.072.703.745.026.637.8710.828，其中n=a+b+c+d．

非重度污染重度污染合计供暖季22830非供暖季63770合计8515100参考答案：【分析】（1）根据在区间[0，100]对企业没有造成经济损失；在区间（100，300]对企业造成经济损失成直线模型（当PM2.5指数为150时造成的经济损失为500元，当PM2.5指数为200时，造成的经济损失为700元）；当PM2.5指数大于300时造成的经济损失为2000元，可得函数关系式；（2）由500＜S≤900，得150＜ω≤250，频数为39，即可求出概率；（3）根据所给的数据，列出列联表，根据所给的观测值的公式，代入数据做出观测值，同临界值进行比较，即可得出结论．【解答】解：（1）根据在区间[0，100]对企业没有造成经济损失；在区间（100，300]对企业造成经济损失成直线模型（当PM2.5指数为150时造成的经济损失为500元，当PM2.5指数为200时，造成的经济损失为700元）；当PM2.5指数大于300时造成的经济损失为2000元，可得：（2）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于200元且不超过600元”为事件A，由200＜S≤600，得150＜w≤250，频数为39，，（3）根据以上数据得到如下列联表：

非重度污染重度污染合计供暖季22830非供暖季63770合计8515100K2的观测值，所以有95%的把握认为空气重度污染与供暖有关．【点评】本题考查概率知识，考查列联表，观测值的求法，是一个独立性检验，我们可以利用临界值的大小来决定是否拒绝原来的统计假设，若值较大就拒绝假设，即拒绝两个事件无关．22.（本小题满分10分）(选修4-1几何证明选讲)如图，已知切⊙于点，割线交⊙于两点，∠的平分线和分别交于点.

求证：(1)；(2)参考答案：（1）略(2)略【知识点】选修4-1

几何证明选讲N1（1）PE切圆O于点E∴∠A=∠BEP

∵PC平分∠APE，∴∠