数学经典易错题会诊与高考试题预测2

高考数学经典易错题会诊(二)

考点-2函数⑴

函数的定义域和值域

函数单调性的应用

函数的奇偶性和周期性的应用

反函数的概念和性质的应用

借助函数单调性求函数最值或证明不等式

综合运用函数奇偶性、周期性、单调性进行命题

反函数与函数性质的综合

经典易错题会诊

命题角度1函数的定义域和值域

1.(典型例题)对定义域D「、瓦的函数y=f(x),y=g(x),规定：函数

f(x)・g(x)当xeD/JLreDg

h(x)=­f(x)当xeD/班Dg

g(x)当x任D/且xGDg

(1)若函数f(x)=—L,g(x)=x2,写出函数h(x)的解析式；

x-1

⑵求问题(1)中函数h(x)的值域.

［考场错解］(1)・・丫6)的定义域》为(-8,1)口(1,+8),g(x)的定义域2为R.・・・

x2

x-1

1

h(x)二(元工1)

1(x=l)

⑵当xWl时，h(x)=E=xT+」一+224fh(x)=—e(-«>,o)U(0,+°°).

x-1x-\x-\

h(x)的值域为(4,+8),当X=1时,h(x)=l.综合,得h(x)的值域为{1}U［4,+8］.

［专家把脉］以上解答有两处错误：一是当xGDr但X史D"时，应是空集而不是x#L二

是求h(x)的值域时，由xWl求h(x)=xT+—L+2的值域应分x>l和x<l两种情况的讨论.

X-1

［对症下药］⑴的定义域Dr=(-8,l)U(L+8)・g(x)的定义域是瓦=(-8,+

■x2

8).所以，h(x)=­F'xe(Y，l)U(l,4<o).

1,x=l.

(2)当xWl时，h(x)=—=%2~l+l=x-l+—+2.

x-1x-1x-\

若X>1,则xT>0,.•.h(x)^21(x-D—+2=4.

Vx-1

当且仅当x=2时等号成立.

若xVl,则xT〈O.，h(x)=-[-(xT)-」一]+2W-2+2=0.当且仅当x=0时等号成立.

x-1

当x=l时，h(x)=l.

综上,得h(x)的值域为(-8,O)u{l}u[4,+8].

2.(典型例题)记函数f(x)=，T|||的定义域为A,g(x)=lg[(x-a-l)(2a-x)](a^l)

的定义域为B.

⑴求A；

(2)若B=A,求实数a的取值范围.

[考场错解](1)由2-卫，0,得或x》l,即A=(-8,-I)U[1,+

x-31

°°].

(2)由(x-aT)(2a-x)>0得(x-aT)(x-2a)<0当a=l时，B=0./.BcA.

当a<l时,a+l>2a,/.B=(2a,a+1),

VBcA,...Zaei或a+lW-1.即a2,或aW-2而a〈l,二,WaWl或a<-2.

22

故当BuA时，实数a的取值范围是(-8,-2)U[l,1].

2

[专家把脉]由函数的概念知函数的定义域为非空集合，所以错解中a=l时B=0,说

明函数不存在，因此a=l不适合.

[对症下药](1)由2-9)0,得出」》0,

x-3x+l

.•.x〈T或x》l.即A=(-8,-1)U[1,+8].

(2)由(x-a-1)(2a-x)>0,得(x-a-l)(x-2a)<0,

当a=l时，B=0,•・•定义域为非空集合，当时，a+l>2a,：.B=(2a,a+1),

VBcA,.•.2a2l或a+lWT,即a2；或a

W-2.而a<LLWaWl或aW-2,

2

故当B^A时，实数a的取值范围是(-8,-2)U[1,1].

3.(典型例题)记函数f(x)=lg(2x-3)的定义域为集合M,函数g(x)=/^的定义域为

集合N.求

(1)集合M,N；

(2)集合MC1N.MUN.

［考场错解］⑴由2x-3>。解得x>?由1仔》。得x-14-3

A-l^-3.・・.N=0.

(2)AMnN=0.MUN={x|x>-}.

2

［专家把脉］求集合N时解不等式1-二-20两边同乘以(x-1)不等号不改变方向，不

X-1

符合不等式性质，应先移项化为△也20的形式再转化为有理不等式，求解，另外定义域不

g(x)

可能为非空集合.，加。显然是错误的.

［对症下药］⑴由2x-3>0,得x>A.AM={x|x>-}.由1-二-20得

22x-l

x—3、八f(x-3)(x-l)>0

--->0=><

x-l[x^1

，xN3或x〈L.'N={x|x23或x<l}.

(2).,.MnN={x|x>-}n{x|x>3或x>l}={x|x>3}.MUN={x|x>-}U{x|x>3或

22

x>l}={x|x>2或x〈l}.

2

4.(典型例题)若集合M={y|y=2T,P={y|y=/TT},则MCIP等于()

A.{y|y>l}B.{y|y》l}

C.{y|y>0}D.{y|y>0}

［考场错解］选A或B

［专家把脉］错误地认为是求函数y=2'和y=Q的定义域的交集.实际上是求两函

数的值域的交集.

［对症下药］•.•集合中的代表元素为y,二两集合表示两函数的值域，又二

M={y|y=2'}={y|y〉0},P={yIy=Ff}={yIy20}..*.MnP={y|y>0),故选C.

专家会诊

1.对于含有字母的函数求定义域或已知其定义域求字母参数的取值范围，必须对字母

酌取值情况进行讨论，特别注意定义域不能

为空集。2.求函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且要特别注意定义域对值域的

制约作用.

考场思维训练

1若函数y=lg(4-a・25的定义域为R,则实数a的取值范围是()

A.(0,+8)B.(0,2)

C.(一，2)D.S，o)

答案：D解析：•.•4—・2'>0的解集为&=〃<上在/?上恒成立&>0,;.。50.

2X2X

2已知函数f(x)的值域是-2,3］,则函数f(x-2)的值域为()

A.［-4,1］B.［0,5］

C.［-4,1］U［0,5］D.［-2,3］

答案：D解析：f(x-2)的图象是把f(x)的图象向右平移2个单位.因此f(x-2)的值域不变.

3已知函数f(x)=lg(x'-2mx+m+2)

(1)若该函数的定义域为R,试求实数m的取值范围.

答案：解析：(1)由题设，得不等式x2-2mx+m+2>0对一切实数x恒成立，

△=(-2m)--4(m+2)<0,解得-

(2)若该函数的值域为R,试求实数m的取值范围.

答案：由题设，得不等式△=(-2m)~~4(m+2)20解得mWl或m22.

4已知函数f(x)=log3‘"：8x+〃的定义域为R,值域为［0,2］,求实数m,n的值.

x2+l

答案：解析：...f(x)=log3g2：8X+"的值域是［0,2］..•.u=g(x)="i；8x+”的值域为口,

x2+lx2+l

9］.由u=必：8入+〃得(上小)x，—8x+(u-n)=0.*.*xeR,当"一mw=(-8)2-4(M-m)(u-n)>0.

x2+l

当u-m=0时上式仍成立，即有u2-(m+n)u+(mn-16)WO.

，关于u的方程u-(m+n)u+mn-16=0有两根1和9,由韦达定理得卜"〃一解得m=n=5.

［mn-16=1x9

即为所求。

命题角度2函数单调性的应用

1.(典型例题H)已知a,0,且函数£«)二62-22*)&在［-1,1］上是单调函数，求a的

取值范围.

［考场错解］:f'(x)=ex(x2-2ax)+ex(2x-2a)=ex［x2+2(1-a)x-2a］又:f(x)在［-1,1］

上是单调函数，f'(x)20在［T,1］上恒成立.即

e'［x~+2(1-a)x-2a20在［T,1］上恒成立.

Vex>0,g(x)=X2+2(l-a)x-2a^0在［T,1］上恒成立.

2(1-〃)v[

即2-或△=4(1-a)2+8aV0或

g(-l)>0g⑴沁

解得：a60.

故f(x)在［T,1］上不可能为单调函数.

［专家把脉］上面解答认为f(x)为单调函数,f(x)就只能为单调增函数,其实f(X)还有

可能为单调减函数，因此应令f'(函20或f’(令W0在［T,1］上恒成立.

［对症下药］f'(xhelx'-ZaxHeYZx-ZaAelx'+Za-a纭-Za］

：f(x)在［-1,1］上是单调函数.

⑴若f(x)在［-1,1］上是单调递增函数.

则f'(x)20在［T,1］上恒成立，即e”［x?+2(1-a)x-2a］20在［T,1］上恒成立.•••e*>0....

g(x)=X2+2(1-a)x-2a>0?E［-1,口上恒成立，贝ij有卜~~或△Way+gaVO或卜

U(-D>0U(D>0

解得，a£0.

(2)若f(x)在［T,1］上是单调递减函数，

则f'(x)WO在［-1,1］上恒成立.

ex［x2+2(l_a)x_2a］WO在［-1,1］上恒成立.

Ves>0.Ah(x)=x+2(1-a)x-2a<0it［-1,1］上恒成立.

则有七)，。=尸。.心3.

［/?(1)<O［3-4a<04

.•.当aC［2,+8］时，f(x)在［-1,I上是单调函数.

4

2.(典型例题)己知函数f(x)=a'+土工(a>l)

X+1

(1)证明：函数f(x)在(-1,+8)上为增函数；

(2)用反证法证明方程f(x)=O没有负数根.

［考场错解］⑴设TVxiV刈，

x2

f(x2)-f(Xl)=a+上二2---上二=a5+上三-上二>0.

X2+1X］+1X［+1X］+1

...f(x)在(T,+8)上是增函数.

(2)设X。为方程f(x)=O的负数根，则有a"+椀3=0.即，°=上也=-1+二一，①

XQ+1XQ+1XQ+1

Vxo^-1,.•.当TVxoCO时，O<xo+Kl.-^->3,-1+」—>2,而与①矛盾.

1+XQ1+XQ(I

原方程没有负数根.

[专家把脉]第(D问错在用定义证明函数单调性时，没有真正地证明f(X2)>f(xJ.而

只是象征性地令f(x2)-f(x,)>0这是许多学生解这类题的一个通病.第(2)问错在把第(1)

问的条件当成第(2)问的条件，因而除了上述证明外，还需证明x0<T时，方程也没有负根.

[对症下药]

(1)设-1〈XKX2,f(Xz)-f(Xi)=a*2+“2-2_3-2=

X2+1X]+1

2x2二

a»_a»>+2_X\-2=a1l(X|+1)(-2-2)-(X]-2)(X2+1)=a«l3(*2-X])

X2+1X]+1*2+1)(-Vj+1)(工2+D(X]+1)

Vx2-xi>0,又a>L

Aa'2X1>1.而-l〈x《X2.，Xi+l>0,x>+l>0.

/.f(x2)-f(xi)>0

・・・f(x)在(T,+8)上为增函数.

(2)设X。为方程f(x)=0的负数根,则有a*°+==0.即a也2=3~(1+%0)=T+二一.

XQ+1XQ+1XQ+1XQ+1

显然xoWT,

当0>x()>T时，l>x+l>O,——>3,-1+——>2.而这是不可能的，

o1+%o1+a

即不存在O>x0>-1的解.

当xo<T时.xo+l<O—-一<0,-1+--一<-1,而a'°>0矛盾.即不存在xo<T的解.

1+沏1+

3.(典型例题)若函数f(x)=10g<x3-ax)(a>0且a>l)在区间(-L0)内单调递增，则

2

a的取值范围是()

A.[1,1]B.[1,1]

44

C.+8]D.(1,--)

44

[考场错解]A当aG(0,1)时，要使f(x)=log,(x3-ax)在区间(-0)上单调递增.，

2

x^-ax>。在(-L,o)上恒成立，.•.综合得aG[1,1].当a〉l0t,x3-ax>0

22244

在(-L。)上不可能成立.

2

[专家把脉]上面解答根本没有按复合函数单调性法则进行判断，而只是考虑函数的定

义域，这样的答案肯定是错误的.

[对症下药]设0(x)=x~ax

当0<a<l时，依题意，(x)在(-；，0)上单调递减且夕收)在(-；,0)上大于0.

(x)=3x、a.即0'(x)W0在(-L0)上恒成立oa》3x2在(-',0)上恒成立.

22

VxG(-1,0).,.3X2G(0,-).

24

Aa>-.此时O(x)〉0.

44

当a>l时,*(x)在(-',0)上单调递增,

2

:・(p'(x)=3乂2-@20在,0)上恒成立.

2

・・・aW3x2在(-1，0)上恒成立.

2

又3x'e(0,—)•.,.aWO与a>l矛盾.

4

・・.a的取值范围是1].

4

故选B.

专家会诊

1.讨论函数单调性必须在定义域内进行，因此讨论函数的单调性必须求函数定义域.

2.函数的单调性是对区间而言的，如果f(x)在区间(a,b)与(c,d)上都是增(减)函数,

不能说f(x)在(a,b)U(c,d)上一定是增(减)函数.

3.设函数y=f(u),u=g(x)都是单调函数，那么复合函数y=f[g(x)]在其定义域上也是

单调函数.若y=f(数与u=g(x)的单调性相同,则复合函数y=f[g(x)]是增函数；若y=f(u),

u=g(x)的单调性相反，则复合函数y=f[g(x)]是减函数.列出下表以助记忆.

y=f(uu=g(Xy=f[g(x

)))]

///

/\

\X/

\/\

上述规律可概括为“同性则增，异性则减”.

考场思维训练

1函数f(x)对任意实数X都有f(x)<f(x+l)那么()

A.f(x)是增函数

B.f(x)没有单调减区间

C.f(x)可能存在单调增区间，也可能不存在单调减区间

D.f(x)没有单调增区间

C解析：根据函数单调性定义进行判断.

2函数y=log|(x,-3x+2)的单调增区间是一单调递减区间是

2

解析：(-8,1),(2,+8)根据复合函数单调性法则进行求解。

3如果函数f(x)的定义域为R,对于任意实数a,b满足f(a+b)=f(a)•f(b).

(1)设f(l)=k(k/0),试求f(n)(ndN*)

答案：解析

(1)

-//(n+l)=/(«)•川),二.』^上D=/(1)=«#0.，依"))是以《为首项,%为公比的等比数例二/(")=/(1)・[/(1)尸=1("€1^*)

/(«)

(2)设当xVO时,f(x)>l,试解不等式f(x+5)>」_.

f(x)

答案：(2)对任意的

xeR.f(x)=+/(，)20,假定存eR,卿(%)=0,则%<0,有f(x)=/(x-x。+%)=/(x-%)•/(%)=0.这与已知相

*0,于是对任意xeR,必旬(x)>0.

•••f(0)=f(0+0)=f2(0)#0.

.*.f(0)=l,设Xl<X2,则Xl-X2<0则f(Xi-X2)>l,又；f(X2)〉0.

.•.f(Xi)=f［(Xi-X2)+X2］=f(Xl-X2)«f(X2)>f(X2).

；.f(x)为R上的减函数，解不等式f(x+5)〉」一

/(x)

•••f(x)〉O,.♦.不等式等价于f(x+5)・f(x)>1.即f(2x+5)>f(O),又；f(x)为减函数，...

2x+5<0.

解得不等式的解集为卜I一1

4是否存在实数a,使函数f(x)=log.(ax2-x)在区间［2,4］上是减函数？

1.答案：解析：设(p(x)=ax2-x=a(X-—)2a>1时，要使f(x)在区间［2,4］上是

2a4a

减函数，则有：

、/

-1-4aW—84

。(4)>0a>—

2

当0<a〈l时，要使f(x)在［2,4］上是减函数，则有-<

)>O

即工<a<1.

2

综合，得存在实数a,且a的范围为(；』).

命题角度3函数的奇偶性和周期性的应用

1.(典型例题)定义在R上的偶函数f(x)满足«)=«+2),当*6［3,4］时，f(x)=x-2.则

A.f(sin—)<f(cos—)B.f(sin—)>f(cos—)

2233

C.f(sinl)<f(cosl)D.f(sin—)<f(cos—)

22

[考场错解]A由f(x)=f(x+2)知T=2为f(x)的一个周期.设xd[T,0]知x+4G[3,

4]

，f(x)=f(x+4)=x+4-2=x+2.

.•.f(x)在［T,0］上是增函数

又f(x)为偶函数....f(x)=f(-x)

；.xG［0,1］时,f(x)=x+2,即f(x)在［0,1］上也是增函数.XVsin—<cos—=>f(sin—)

222

<f(cos—).

2

［专家把脉］上面解答错在由f(x)=f(-x)得f(x)=x+2这一步上，导致错误的原因主要

是对偶函数图像不熟悉.

［对症下药］C由f(x)=f(x+2)知T=2为f(x)的一个周期，设xG［T,0］,知x+4G［3,

4］

f(x)=f(x+4)=x+4-2=x+2.

•••f(x)在［-1,0］上是增函数.

又•••f(x)为偶函数，...f(x)的图像关于y轴对称.

，f(x)在［0,1］上是减函数.

A：sin—<cos—=>f(sin—)>f(cos—)

2222

B：sin—>cos—=>f(sin—)>f(cos—).

3333

C：sinl>cosl=>f(sinl)<f(cosl).

故正确答案C.

2.(典型例题)若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(-8,0)上是减函数，且f(2)=0,

则使得f(x)<0的x的取值范围是()

A.(-8,2)

B.⑵+8)

C.(-8,-2)U(2,+8)

D.(-2,2)

［考场错解］Cf(-x)=f(x)<0=f(2).；.x>2或x<-2.

［专家把脉］以上解答没有注意到偶函数在对称区间的单调性相反.错误地认为f(x)

在［0,+8］上仍是减函数，导致答案选错.

［对症下药］D•••f(x)是偶函数，，f(-x)=f(x)=f(|x|)....f(x)<0.f(|x|)<f(2).又

•.•f(x)在(-8,0)上是减函数，.•.f(x)在［0,+8］上是增函数，|x|<2n-2〈x〈2.选D.

3.(典型例题)设f(x)是定义在R上的奇函数，且y=f(x)的图像关于直线x=L对称，则

2

f(l)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=

［考场错解］填-f(0)•••f(x)是定义在R上的奇函数，•••f(-x)=-f(x).又f(x)的图

像关于x=L对称.

2

/.f(x)=f(1-x):.f(-x)+f(-x+l)=0.

/.f(x)+f(x-l)=0

/.f(5)+f(4)=0.f(3)+f(2)=0.f(l)+f(0)=0.

:.f(5)+f(4)+f(3)+f(2)+f(l)=-f(0)

［专家把脉］上面解答忽视了奇函数性质的运用.即f(x)在x=()处有定义of(0)=0.

［对症下药］填0依题意f(-x)=-f(x).f(x)=f(l-x)..•.f(-x)=-f(l-x)即

f(-x)+f(l-x)=0f(x)+f(x-l)=0.\f(5)+f(4)=0,f(3)+f(2)=0.f(l)+f(0)=0.又：f(x)

在x=0处有定义，Af(0)=0Af(5)+f(4)+f(3)+f(2)+f(1)=f(1)-f(0)=0.

4.(典型例题)设函数f(x)在(-8,+8)上满足f(2-x)=f(2+x).f(7-x)=f(7+x),且在

闭区间［0,7］上，只有f(l)=f(3)=0.

(1)试判断函数y=f(x)的奇偶性；

(2)试求方程f(x)=0在闭区间［-2005,2005］上根的个数，并证明你的结论.

［考场错解］依题意f(x)=f(4-x).f(x)=f(14-x)..,.f(4-x)=f(14-x),/.f(x)=f(x+10)

；.f(x)是以10为周期的函数,f(3)=0.，f(-3)=f(7)=0.

...f(3)=f(-3)=-f(3).，f(x)既是奇函数又是偶函数.

(2)由⑴知f(x)是周期为10的周期函数，又f(3)=f(l)=0,

f(ll)=f(13)=f(-)=f(-9)=0.

故f(x)在［0,10］上有两个解，从而可知函数y=f(x)在［0,2005］上有401个解.［-2005,

0］上有401个解,所以函数丁y=f(x)在［-2005,2005］上有802个解.

［专家把脉］(1)对题意理解错误，题设中“在闭区间［0,7］上，只有f(l)=f(3)=0”

说明除了f(D、f(3)等于0外再不可能有f(7)=0.(2)因f(x)在R上既不是奇函数，又不

是偶函数.不能认为xG［0,10］,［-10,0］上各有两个解,则认为在［0,2005］与在［-2005,

0］上解的个数相同是错误的，并且f(x)=0在［0,2005］上解的个数不是401个，而是402

个.

［对症下药］由f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函数丁y=f(x)的对称轴为x=2和

x=7.

从而知函数y=f(x)不是奇函数.

/(2-x)=/(2+x)

由/(x)=/(4-x)=f(4-x)=f(14-x)=f(x)=f(x+10).从而知f(x)

/(7-x)=/(7+x)/(x)=/(14-x)

是周期为10的周期函数.

又f(3)=f(l)=0,而f(7)=f(-3)W0.

故函数y=f(x)是非奇非偶函数.

(2)由⑴知f(x)是以周期为10的周期函数.

，f(l)=f(ll)="=f(2001)=0

f(3)=f(13)=-=f(2003)=0

f(x)=O在［0,2005］上共有402个解.同理可求得f(x)=0在［-2005,0］上共有400个

解.

；.f(x)=O在［-2005,2005］上有802个解.

专家会诊

1.函数奇偶性定义是判断函数奇偶性的主要依据，为了便于判断有时需要将函数进行

化简.

2.要注意从数和形两个角度理解函数的奇偶性，要充分利用f(x)与f(-x)之间的转化

关系和图像的对称性解决有关问题.

3.解题中要注意以下性质的灵活运用.

(1)f(X)为偶函数。f(x)=f(-X)=f(IXI).

(2)若奇函数f(x)的定义域包含0,则f(0)=0.

考场思维训练

1f(x)是定义在R上的偶函数，且g(x)是奇函数,已知g(x)=f(x-1),若g(T)=2006,

则f(2006)的值为()

A.2005B.-2005

C.-2006D.2006

答案:D解析：由题设条件易得£&+4)=£«),；」(2006)=我2).又n-2)=9(-1)=2006.，

f(2006)=2006.

2,XY-1,

2函数f(x)=lg(l+x2),g(x)=.Mx)=tan2x中是偶函数.

-x+2,XA1,

答案：解析：f(x)、g(x).运用奇偶性定义进行判断。

3设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x恒满足f(x+2)=-f(x).当xW[0,2]

时，f(x)=2x+x?.

(1)求证：f(x)是周期函数；

答案：解析：(1)f(x+2)=-f(-X),Vf(x+4)=-f(x+2)=f(x)

；.f(x)是周期为4的周期函数。

(2)当xG[2,4]时，求f(x)的解析式；

答案：当XG[-2,0]时，-xc[0,2],由已知得f(-x)=2(-x)-(-x)2=-2x-x2.

又f(x)是奇函数，，f(-x)=-f(x)=-2x-x2.，f(x)=x2+2x.

又当xe[2,4]时，x-4e[-2,0],/.f(x-4)=(x-4)2+2(x-4).

又f(x)是周期为4的周期函数。

.*.f(x)=f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+8.

因而求得xe[2,4]时f(x)=x2-6x+8.

(3)计算：(0+)f⑴+f⑵+…+f(2004)

答案：f(0)=0f(2)=0f(l)=lf(3)=-l,又f(x)是周期为4的周期函数。

f(0)+f(l)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=...=f(2000)+f(2001)+f(2002)+f(2003)=0

Xf(2004)=f(0)=0,/.f(O)+f(l)+f(2)+...+f(2004)=0.

4设a、bwR,且a#2定义在区间(-b,b)内的函数f(x)=lglt竺是奇函数，求b的

l+2x

取值范围.

答案：解析：f(x)=lg上丝是奇函数，等价于，对任意xw(-b,b)都有：

14-2x

f(-x)=-f(x)

・1+2以八①

--------->0

[\+2x

②

①式即为1g上竺=igT.即a2x2=4x2.此式对任意xe(-b,b)都成立相当于a2=4,「a

\-2x\+ax

¥2,.,.a=-2.代入(2)得上W>o

1+2x

即__L<x<■!■.此式对任氤e(4"都成立相当于<-b<b<■!■所以得)的取值范围为(0」］.

22222

命题角度4反函数的概念和性质的应用

1.(典型例题)函数f(x)=x?-2ax-3在区间［1,2］上存在反函数的充分必要条件是

()

A.ae(-00,1)

B.ae［2,+°°］

C.aG［l,2］

D.aG(-8,i)u［2,+oo］

［考场错解］选A或B•••aG(-8,在区间［1,2］上是增函数.，f(x)存在

反函数.当aG［2,+8).对称轴x=a在区间［1,2］的右侧，.If(x)在［1,2］上是减函数.二

f(x)存在反函数.

［专家把脉］上面解答只能说明A或B是f(x)存在反函数的充分条件，并不是充要条

件.

［对症下药］：一个函数在某区间上存在反函数的充要条件是此函数在这个区间上是

单调函数.

二对称轴x=a不应在(1,2)内，；.aWl或a22.故选C.

2.(典型例题I)丫=亚二7(l〈xW2)的反函数是()

A.y-l+yji-x2(TWxWl)

B.y=l+"-2(OWxWD

Cy=l-〃-x2(TWxWl)

D.y=l-Jl-x2(OWxWl)

［考场错解］C\'y2=2x-x'./.(x-l)"=l-y2./.x-l--^l-y2,x-\-^］-y2.x、y

对换得y=l-Jl-V又l-x>0....-IWxWl.因而f(x)的反函数为y=l~7?二2(T〈xW

1).

［专家把脉］上面解答有两处错误(一)..TWxW2,.♦.x-l20.由(x-l)z=l-y2开方取“正

号”而不是取“负号”；(二)反函数的定义域应通过求原函数的值域而得到，而不是由反函

数解析式确定.

［对症下药］B由y=y12x-x2=>(x-l)2=l-yJ./.xG［1,2］xTG［0,+°°］.

x-l=>j\-y2=>-l+yji-y2.x、y对换得y=l+又■:y=/zx-x2=J-(x-l)2+1(IWx

W2)....OWyWl即原函数值域为［0,1］.所以反函数为y=l-7T7(OWxWl).选B.

3.(典型例题)设f«)是函数f(x)J(aY)(a>l)的反函数，则使f%)>l成立的

x的取值范围为()

291

A.("二L,+8)B.(-8,匚1)

2a2a

2

C.(二二l,a)D.(a,+8)

2a

［考场错解］c：y=i(ax-ax),.,.a2x-2y-as-l=O.a=2>，+2^+'.：.

2-121

x=logH(y+Jy+1),x>y对换./.f(x)=loga(x+7x+l)(xeR)XVf(x)>1,/.

XY42

2

loga(x+4*+1)>1=>x+^x+1>a.J/+i>a-x<=>2_］A£1Z1<x<a.选C.

x^-~-2a

2a

［专家把脉］上面解答错在最后解不等式户I>a-x,这一步，因为x+户？>a-x

"XA0

应等价于或aWx.错解中只有前面一个不等式组.答案显然错了.

--------

2a

［对症下药］A解法一•壮(—42"十。"=空芈型刊+行.・.

21

x=loga(y+Jy2+i)....「(x)=log；1(x+ylx+1)(x£R).Vf(x)>1

22

log.(x+柠+1)>1=>x+7x+1>an^x+1>a_x<=>\""或〃_、V0o"T

［x2+\>{a-x)22a

<x<+°°.

解法2：利用原函数与反函数的定丈域、值域的关系.原题等价于x>l时，f(x)=L(a'-a、)

2

2

的值域，•••f(x)=L(a*-a*)在R上单调递增....f(x)>L(a-L)=伫二1.选A.

22a2a

4.(典型例题)设函数f(x)的图像关于点(1,2)对称，且存在反函数f"(x),f(4)=0,

f'(4)=________.

［考场错解］填0•••y=f(x)的图像关于点(1,2)对称，又(4)=0,.•，(())=4,...

〃(4)=0

［专家把脉］上面解答错在由图像过点(4,0)得到图像过点(4,0)上，因为f(x)图像

关于点(1,2)对称不是关于y=x对称，因此应找出图像过点(-2,4)是关键.

［对症下药］填-2.

解法1•••f(4)=0,；.f(x)的图像过点(4,0).又的图像关于点(1,2)对称，二

f(x)的图像过点(2-4,4-0)即(-2,4).."(-2)=4.(4)=-2.

解法2设y=f(x)上任一点P(x、y)关于点(1,2)对称的点为P'(2-x,4-y).依题意

4-y=f(2-x),.\4-f(x)=f(2-x)=>f(x)+f(2-x)=4.令x=4.Af(4)+f(-2)=4.Xf(4)=0,

Af(-2)=4.，fT(4)=-2.

专家会诊

1.求反函数时必须注意：(D由原解析式解出x=fYy),如求出的x不唯一，要根据条

件中x的范围决定取舍，只能取一个；(2)要求反函数的定义域，即原函数的值域.

2.分段函数的反函数可以分别求出各段函数的反函数后再合成.

3.若点(a,b)在原函数y=f(x)的图像上，则(b,a)在反函数y=fFx)的图像上.

考场思维训练

1函数y=3x?T(TWx<0)的反函数是()

A.y=Jl+bg3x(x2,)

B.y=-Jl+log3x(x)；)

C.y=Jl+1og3x(：<xWl)

D.y=-A/l+log3x(；<x<1)

答案：D解析：由y=3x2-i得x2-l=log3yV-l<x<0,/.

x=-互换得y=-Jk>g3X+l,

v-1<x<0,.'.-1<x2-1<0,.,.j<3/-1V1.故原函数的反函数为：y=-"l+log3xg<x<l)i&£>.

2(典型例题)定义在R上的函数y=f(x)为周期函数，最小正周期为T,若函数y=f(x),

*6(0,11)时£有反函数丫=「'小w1).则函数y=f(x),xG(2T,3T)的反函数为()

A.y=f1(x),xGD

B.y=f-'(x-2T),xGD

C.y=f-'(x+2T),x《D

D.y=f'(x)+2T.xGD

答案:D解析：•••xc(2T,3T),.•.x-2T=(0,T).又•••f(x)的周期为2T,y=f(x)=f(x-2T).，

x-2T=f-i(y)+2T,x,y互换，得

y=f-i(x)+2T.当xe(2T,3T)的反函数为y=f-i(x)+2T,x©D.

3已知f(x)=，二的反函数.fFx)的图像的对称中心是(-1,3),求实数a的值.

x-a-\

答案：解析：；f(x)=-l----的对称中心是(a+l,-l)；.f-i(x)的对称中心是(-l,a+l),

工一(。+1)

；.a+l=3,从而a=2.

探究开放题预测

预测角度1借助函数单调性求函数最值或证明不等式

1.已知定义域为［0,1)的函数f(x)同时满足①对任意xe［0,1］,总有f(x)20；②

f(1)=1；③若Xi20,X220,X1+X2WI,则有f(X1+X2)》f(x］)+f(X2).

(1)求f(0)的值；

(2)求函数f(x)的最大值.

［解题思路］(D令xi=X2=0可得答案(2),先证f(x)在［0,1］上是单调函数，再求其最

大值.

［解答］(1)令xi=X2=0,由条件①得f(0)N0,由条件③得f(0)W0.故f(0)=0.

(2)任取OWX1WX2WI,可知X2-X1G(O,1),则f(X2)=f［(X2-Xi)+Xi］》f(X2-Xi)+f(X).又

Vxi-x2e(0,1),.,.f(X2-X1)>0.Af(x)(xi)，f(x)在［0,1］上是增函数，于是当0

WxWl时，有f(x)Wf(l)=l....当x=l时，［f(x)］*=l.即f(x)的最大值为1.

2.设f(x)是定义在(0,+8)上的函数，k是正常数，且对任意的xW(0,+8),恒有

f［f(x)］=kx成立.

(1)若f(x)是(0,+8)上的增函数，且k=l,求证：f(x)=x.

(2)对于任意的x卜x2e(0,+8),当X2X1时，有f(x2)-f(xi)>X2』成立，如果k=2,

证明：4</W<31

3x2

［解题思路］(1)用反证法证明；(2)用反证法先证f(x)>x,再运用函数单调性进行放

缩.

[解答](1)假设f(x)>x

■£&)在(0,+8)上是增函数,且f(f(x)]二x.

Af(x)>f[f(x)].

・・・x>f(x)这与假设矛盾.，f(x)>x不可能成立

同理可证f(x)<x也是不可能成立的.

综合，得f(x)=X.

(2)先证f(x)>x,假设存在x()e(0,+8),使得f(xo)WxO,若f(x0)=x0,则

f[f(Xo)]=f(Xo).即2xo=f(Xo)=xo,，Xo矛盾；若f(xo)<Xo,由条件可知f(x)在(0,+8)

上是增函数，且f(xo)>O.

/.f[f(xo)]<f(xo)>即2xo<f(xo)・

.•.2xo<Xo=Xo〈O矛盾,Af(x)>x

因此f{f[f(x)])-f[f(x)]>f[f(x)]-f(x)>f(x)-X.

即2f(x)-2x>2x-f(x)>f(x)-x

解得£<久立<3.

3x2

预测角度2综合运用函数奇偶性、周期性、单调性进行命题

1.设f(x)是定义在[T,1]上的偶函数.当xe[-l,0]时，f(x)=g(2-x),且当xG[2,3]

时，g(x)=2a(x-2)-4(x-2)

(1)求f(x)的表达式；

(2)是否存在正实数a(a>6),使函数f(x)的图像的最高点在直线y=12上，若存在，求

出正实数a的值；若不存在，请说明理由.

[解题思路](1)运用函数奇偶性和条件f(x)=g(2-x)可求得f(x)的解析式.(2)利用导

数可求得f(x)的最大值.令最大值等于12可知是否存在正实数a.

[解答]⑴当xW[-l,0]时,2-xG⑵3]

f(x)=g(2-x)-2a(-x)-4(-x)3=4x3-2ax

得f(x)=4x'-2ax(xW[T,0])

•；y=f(x)在[-1,1]上是偶函数

.,.当xC[0,1]时，f(x)=f(-x)=-4xJ+2ax

.-/\4*3-2ax_]Vxy0,

..f(