第十章-杆件系统的有限元法(共27张PPT)

第十章杆件系统的有限元法要点

了解杆件系统有限元法的解是精确解；杆件系统中的单元都在单元的局部座标中讨论，然后再投影到整体座标中去；杆件系统中的单元是梁单元，其变形以弯曲和拉伸变形为主，常忽略剪切变形的影响。第1页，共27页。所研究的对象是细长的杆件，即轴线方向的尺寸远比其他二个方向的尺寸大的多；杆件系统可分为平面杆件系统和空间杆件系统，若组成结构物的杆件都在同一个平面内，外力也在这一平面内，则称为平面杆件系统；若组成结构物的杆件不在同一个平面内，则称为空间杆件系统；杆件系统中所用的单元主要为梁单元，如果各杆件只受拉压作用则采用桁架单元。第十章杆件系统的有限元法§10-1杆件系统的有限元法的研究对象第2页，共27页。在梁单元上建立局部座标oxyz，以梁单元的轴线ij作为x轴，y轴垂直x轴。以右手法则确定座标轴系。对于等截面梁单元有二个节点i,j，每个节点有三个自由度ui，vi，θi，它的节点位移{δ}e第十章杆件系统的有限元法§10-2等截面平面梁单元的刚度矩阵第3页，共27页。它的节点力{R}e第十章杆件系统的有限元法梁单元的位移模式我们选择梁单元的位移模式在梁单元中，规定位移u,v的正方向与座标轴方向一致，转角θ的正向为逆时针转向；规定力N,Q的正方向与座标轴方向一致，力矩M的正方向为逆时针转向。第4页，共27页。把上述位移函数写成矩阵形式令[1x]为[h(x)],令[1xx2x3]为[H(x)],

为{a}为{b}现根据节点位移解出{a}和{b}第十章杆件系统的有限元法第5页，共27页。当x=0时ui=a0当x=l

时uj=a0+a1l当x=0时vi=b0当x=l

时vj=b0+b1l+b2l2+b3l3当x=0时θi=dv/dx=b1

当x=l

时

θj=dv/dx=b1+2b2l+3b3l2写成矩阵形式第十章杆件系统的有限元法由此解出{a},{b}第6页，共27页。其中第十章杆件系统的有限元法把{a},{b}求出后就可获得梁单元的位移模式，代入上式可得:第7页，共27页。又可写成下式:又令第十章杆件系统的有限元法由于在位移函数u中的节点位移为ui，uj，位移函数v中的节点位移为vi，θi，

vj，θj，而现在要把它改写成{δ}6*1e，所以需要改写。第8页，共27页。[K’]e和[K]e之间的转换关系第十章杆件系统的有限元法{R’}e和{R}e之间，{δ’}e和{δ}e之间的转换关系同理可得空间梁单元的刚度矩阵根据虚功原理:第十章杆件系统的有限元法第十章杆件系统的有限元法第十章杆件系统的有限元法以右手法则确定座标轴系。设整体座标下的节点力为{R}e，节点位移{δ}e和单元刚度矩阵[K]e及整体座标系oxyz第十章杆件系统的有限元法第十章杆件系统的有限元法[K’]e和[K]e之间的转换关系把[h(x)],[H(x)]扩大，并把[A1]-1,[A2]-1扩大第十章杆件系统的有限元法把[A1]-1和[A2]-1合并成[A]第9页，共27页。合并后[A]如下式:第十章杆件系统的有限元法则位移模式如下:第10页，共27页。梁单元的应变{ε}和应力{σ}

梁单元的应变{ε}第十章杆件系统的有限元法于是{ε}=[B]{δ}e。其中第11页，共27页。梁单元的的刚度矩阵[K]e

根据虚功原理:第十章杆件系统的有限元法梁单元的应力{σ}第12页，共27页。展开后得:第十章杆件系统的有限元法第13页，共27页。相乘以后

dV=dAdx其中为梁截面的主惯性矩第十章杆件系统的有限元法则梁单元的刚度矩阵[K]e如下:当l/h>5时忽略剪切的影响第14页，共27页。§10-3等截面空间梁单元的刚度矩阵第十章杆件系统的有限元法空间梁单元的节点位移{δ}e空间梁单元的节点力{R}e同理可得空间梁单元的刚度矩阵第15页，共27页。第十章杆件系统的有限元法其中Iy，Iz是对y和z轴的主惯矩，Ip是对x轴的惯矩。第16页，共27页。分布轴向力p(x)的移置:

由于是轴向拉伸，形态矩阵用[Nu]。第十章杆件系统的有限元法§10-4等截面梁单元的等效节点力计算根据虚功原理其中{G}为集中力,{q}为分布力第17页，共27页。第十章杆件系统的有限元法若分布轴向力p(x)是均布的p(x)=p，则Ni=Nj=pl/2第18页，共27页。分布扭转力矩Mx(x)的移置:第十章杆件系统的有限元法若mx(x)是均布力矩mx则扭转时的角位移也是线性变化的，扭转角是x的线性函数，因此采用的形态矩阵与计算轴向力时相同。第19页，共27页。分布横向力q(x)的移置:第十章杆件系统的有限元法第20页，共27页。所研究的对象是细长的杆件，即轴线方向的尺寸远比其他二个方向的尺寸大的多；梁单元的的刚度矩阵[K]e同理可得空间梁单元的刚度矩阵在梁单元中，规定位移u,v的正方向与座标轴方向一致，转角θ的正向为逆时针转向；§10-1杆件系统的有限元法的研究对象[K’]e和[K]e之间的转换关系合并后[A]如下式:设梁单元ij与x’轴重合，在i点上作用有节点力Ni，Qi，Mi和Ni’，Qi’，Mi’。[K’]e和[K]e之间的转换关系当x=0时vi=b0当x=l时vj=b0+b1l+b2l2+b3l3第十章杆件系统的有限元法第十章杆件系统的有限元法梁单元的应变{ε}若分布轴向力p(x)是均布的p(x)=p，则Ni=Nj=pl/2dV=dAdx其中为梁截面的主惯性矩若是均布力q(x)=q则第十章杆件系统的有限元法分布弯曲力矩mz(x)的移置:由于弯曲力矩mz(x)所对应的位移是转角第21页，共27页。可得等效节点力如下:第十章杆件系统的有限元法若mz(x)是均布弯矩mz(x)=mz，则等效节点力只有剪力第22页，共27页。§10-5座标变换第十章杆件系统的有限元法上述所讨论的[K]e,{R}e,{ε},{σ}都是在梁单元的局部座标下进行的。由于杆件系统在空间中各有自己的方向，都建立了各自的座标系，所以在分析中都必须统一在一个整体座标中进行，一定要进行座标变换。设局部座标下的节点力为{R’}e，节点位移{δ’}e和单元刚度矩阵[K’]e及局部座标系ox’y’z’设整体座标下的节点力为{R}e，节点位移{δ}e和单元刚度矩阵[K]e及整体座标系oxyz第23页，共27页。{R’}e和{R}e之间，{δ’}e和{δ}e之间的转换关系

第十章杆件系统的有限元法因此需要找出{R’}e和{R}e之间的转换关系{δ’}e和{δ}e之间的转换关系[K’]e和[K]e之间的转换关系选择两个座标系：整体座标系oxyz和局部座标系ox’y’z’,z轴与z’轴重合。设梁单元ij与x’轴重合，在i点上作用有节点力Ni，Qi，Mi和Ni’，Qi’，Mi’

。第24页，共27页。根据投影规则第十章杆件系统的有限元法在j点同理可得第25页，共27页。写成矩阵形式第十章杆件系统的有限元法[T]称为转换矩阵,同理可得