数值积分与数值微分

关于数值积分与数值微分第1页，课件共80页，创作于2023年2月

2（1）f(x)不是连续函数，甚至也不是解析函数，而是通过实验、测量或计算得出的一组数据。（2）f(x)的原函数不能用初等函数表示。如被积函数为（3）f(x)的原函数表达式相当复杂，而且不同的被积函数f(x)，其原函数的表达形式一般来说是不同的。如

因此在工程计算中，需要构造一种积分方法，使其在误差范围内计算时既能节省工作量，又方便可行，这就是数值积分所要解决的问题第2页，课件共80页，创作于2023年2月

3二、数值积分的基本思想由定积分的定义其中。我们希望用被积函数f(x)在积分区间[a,b]内某些点处函数值的线性组合来近似代替定积分，即有求积公式其中称为求积节点，它只与积分区间[a,b]有关。Aj称为求积系数，它与求积节点xj有关，与f(x)的具体表达形式无关。E(f)称为余项。第3页，课件共80页，创作于2023年2月

4三、代数精度与插值型求积公式定义8.1

若求积公式（8.2）对所有次数不超过r次的多项式均能准确成立，而至少有一个r+1次多项式不能准确成立。则称求积公式（8.2）具有r次代数精度定理8.1

对任意给定的n+1个相异节点总存在相应的求积系数使求积公式（8.2）至少具有n次代数精度证明在求积公式（8.2）中分别令则有线性方程组第4页，课件共80页，创作于2023年2月

5

方程组（8.3）的系数行列式是Vandermonde行列式。由于节点是相异节点，故方程组（8.3）的系数行列式不等于0。由Cramer法则，方程组有唯一的解第5页，课件共80页，创作于2023年2月

6四、插值型求积公式

可以通过求解方程组（8.3）的方法来构造求积公式，称之为待定系数法。但当n比较大时，求解方程组（8.3）是较困难的事。由求积公式的唯一性，可采取对被积函数利用插值多项式近似代替的方法来构造求积公式。以求积节点xj为插值节点对f(x)进行Langrange插值有其中对（8.4）两端在[a,b]上积分，有第6页，课件共80页，创作于2023年2月

7令其中且与ξ有关由（8.5）式得求积公式当时由（8.5）式求积公式具有n次代数精度。第7页，课件共80页，创作于2023年2月

8

定义8.2

若积分区间的端点为求积节点，称此类求积公式为闭型公式。若积分区间的端点不是求积节点，称求积公式为开型公式。若只有一个端点是求积节点，称求积公式为半开半闭公式。应用中对求积公式（8.2），常将余项E(f)舍去，得近似公式称E(f)为截断误差第8页，课件共80页，创作于2023年2月

9§2Newton—Cotes公式一、Newton—Cotes公式

将区间[a,b]n等分，步长，求积节点为令，Lagrange插值基函数为求积系数Aj可表示为第9页，课件共80页，创作于2023年2月

10令称为Cotes系数，则求积公式可化为若取，由（8.9）有常见的Newton—Cotes公式1．梯形公式（n=1）由（8.8），(8.9)式有第10页，课件共80页，创作于2023年2月

11故有求积公式近似公式为截断误差第11页，课件共80页，创作于2023年2月

12其几何意义为用梯形的面积近似代替曲边梯形的面积。如图所示。第12页，课件共80页，创作于2023年2月

132．Simpson公式（n=2，抛物形公式）故有近似公式

其几何意义是用抛物线围成曲边梯形的面积近似代替以f(x)围成的曲边梯形的面积。如图所示第13页，课件共80页，创作于2023年2月

143．Cotes公式（n=4）定理8.2

设，则Simpson积分公式的余项为其中第14页，课件共80页，创作于2023年2月

15n11/21/221/64/61/631/83/83/81/847/9032/9012/9032/907/90519/28875/28850/28850/28875/28819/288641/840216/84027/840272/84027/840216/84041/840几个低阶Cotes公式的求积系数第15页，课件共80页，创作于2023年2月

16定理8.3

当为偶数时，n+1个求积节点的Newton—Cotes公式至少具有n+1次代数精度。

当n=8和n≥10时的n阶Newton—Cotes系数中，系数将有正有负。从定理8.1知，n+1个求积节点的Newton—Cotes求积公式至少具有n次代数精度，但由定理8.2知，当n=2时，Simpson公式具有3次代数精度。事实上当为偶数时有如下定理。例8.1

对定积分，试分别用梯形公式,Simpson公式，Cotes公式作近似计算。解:(1)Newton—Leibniz公式，得准确值第16页，课件共80页，创作于2023年2月

17(2)梯形公式

(3)Simpson公式(4)Cotes公式第17页，课件共80页，创作于2023年2月

18二、Newton—Cotes公式的稳定性

稳定性，即计算过程中舍入误差对最后计算结果的影响。设节点xj处的准确值为，参加计算的近似值记为，令令，利用（8.6）式计算引起计算结果的误差有估计式第18页，课件共80页，创作于2023年2月

19当Cotes系数同号时有从而即公式（8.6）是稳定的。当Cotes系数不同号时有从而有可能很大，稳定性得不到保证。事实上，仅当n≤7和n=9时Cotes系数才全是正的，其余的Cotes系数有正有负故一般不采用高阶的Newton—Cotes公式做数值积分。第19页，课件共80页，创作于2023年2月

20§3复化求积公式

由于高次Newton—Cotes公式的求积系数有正有负，引起数值计算的不稳定。另一方面,，Newton—Cotes公式是通过对被积函数f(x)进行Lagrange插值而构造出的积分公式，由于高次插值将会出现振荡现象。因此在实用中一般不采用高次Newton—Cotes公式进行数值积分。

受分段插值的启示，对积分也可进行分段积分，称之为复化求积。其基本思想是将区间[a,b]分成n个小区间，在每个小区间上用低次Newton—Cotes公式作数值积分，再求和。将区间[a,b]n等分，步长，节点为第20页，课件共80页，创作于2023年2月

21为计算的方便，常取由定积分对积分区间的可加性有一、复化梯形公式在（8.15）式右端对每个子区间上的积分使用梯形求积公式，有第21页，课件共80页，创作于2023年2月

22

称（8.16）式为复化梯形公式。用Tn表示将区间[a,b]n等分的复化梯形公式，进一步将子区间分为2个子区间也即将区间[a,b]进行2n等分，此时有此时的复化梯形公式为第22页，课件共80页，创作于2023年2月

23记

由（8.16）和（8.17）有同理

由（8.9）式得复化梯形公式Tn的余项表达式为设，则第23页，课件共80页，创作于2023年2月

24由闭区间上连续函数的介值定理，存在使故复化梯形公式的余项为

二、复化Simpson公式在（8.15）式右端对每个子区间上的积分使用Simpson公式得复化Simpson公式第24页，课件共80页，创作于2023年2月

25由(8.16),(8.17)有由(8.18),(8.20)有第25页，课件共80页，创作于2023年2月

26同理类似于复化梯形公式余项的推导，可得复化Simpson公式的余项为三、复化Cotes公式在（8.15）式右端对每个子区间上的积分使用Cotes公式，得复化Cotes公式第26页，课件共80页，创作于2023年2月

27递推公式为当时，复化Cotes公式的余项为第27页，课件共80页，创作于2023年2月

28四、变步长方法

做数值积分可以用定步长积分法。定步长法在使用前，需首先确定一个适当的步长，即确定区间[a,b]的等分数n。但步长的选取是相当困难的，步长取大了，难以保证精度，取小了，将会增加计算工作量。因此实用中常用变步长法求积分

变步长法也称逐次折半法，反复使用复化求积公式计算积分，直到相邻两次结果之差的绝对值小于误差精度为止。为便于计算机的编程，常取等分，对复化梯形公式，反复利用（8.17），（8.18）式计算积分值，直到第28页，课件共80页，创作于2023年2月

29对复化Simpson公式，反复利用（8.17），（8.18），（8.21）式直到对复化Cotes公式，反复利用（8.17），（8.18），（8.21）和（8.23）式直到为止

例8.3

对积分，利用变步长方法求其近似值，使其精度达到第29页，课件共80页，创作于2023年2月

30解取(1)复化梯形公式，由（8.17），（8.18）式有继续以上过程的计算，结果如表所示

kTnkTnkTn00.920735540.945985080.946082710.939793350.946059690.946083020.944513560.9460765100.946083130.945690970.9460815第30页，课件共80页，创作于2023年2月

31(2)复化Simpson公式

由复化梯形公式表中的数据和公式（8.21）得复化Simpson公式的计算结果如表所示kSnkSn00.946145930.946083010.946086940.946083120.9460833

由复化Simpson公式表中的数据和公式（8.23）得计算结果如表所示。显然复化Cotes公式比复化Simpson公式的计算工作量少，而复化Simpson公式比复化梯形公式的计算工作量少。(3)复化Cotes公式kCn00.946082910.946083020.9460831第31页，课件共80页，创作于2023年2月

32§4Romberg求积公式

一、Richardson外推法在工程计算中，有时函数y=f(x)在x=0处的值f(0)是无法求出收敛于f(0)的数列，Richardson外推法就是构造该数列的的，只能通过实验，测量等方法，逐次求出来逼近f(0)。但h越小，实验和测量的难度就越大。因此我们希望从已有的数据构造出一个能很快一种技巧设f(x)在x=0处的Maclaurin级数为第32页，课件共80页，创作于2023年2月

33若则用逼近f(0)截断误差为h的同阶无穷小,令则有若用来逼近f(0)，其截断误差为h2的同阶无穷小第33页，课件共80页，创作于2023年2月

34二、Romberg积分法

Romberg积分法，是根据Richardson外推技巧，利用变步长的复化梯形公式推导出的数值积分公式。令

若则用f2(h)逼近f(0)的截断误差为h3的同阶无穷小。这种加速收敛方法就是Richardson外推法的一个特例。第34页，课件共80页，创作于2023年2月

35其中T0(h)是将[a,b]n等分后构造的复化梯形公式。则由（8.25）式产生的Tm(h)逼近积分误差的阶为（8.25）的方法称为Romberg积分法

由（8.21）和（8.23）式，Romberg积分公式（8.25）中的T1(h)是复化Simpson公式，T2(h)是复化Cotes公式。但对m≥3时的Tm(h)与Newton—Cotes公式就没有直接的联系了，仅是一种递推技巧而已。

为了计算方便，将区间[a,b]进行n=2i等分，用T0i表示将区间[a,b]进行2i等分后的复化梯形公式的计算值，则由公式(8.25)产生的Romberg序列的计算步骤为(1)在[a,b]上，由梯形公式第35页，课件共80页，创作于2023年2月

36（2）利用递推公式计算（3）设已计算出，则计算第36页，课件共80页，创作于2023年2月

37（4）计算

(5)若则停止计算，输出否则，转（3）。对（3）,（4）步可用Romberg积分表来表示

第37页，课件共80页，创作于2023年2月

38

m

i01230123Romberg积分表第38页，课件共80页，创作于2023年2月

39例8.4

用Romberg积分法计算，精度解由例8.3中复化梯形公式的数据，再利用(8.28)式得计算结果如下表012300.920735510.93979330.946145920.94451350.94608690.946082930.94569090.94608330.94608300.9460830例8.5利用Romberg积分法求

第39页，课件共80页，创作于2023年2月

40解由公式(8.26),(8.27),(8.28)对在[0,1]有继续以上步骤，计算结果如下表所示

第40页，课件共80页，创作于2023年2月

410123403.0000013.100003.1333323.131183.141573.1421233.138993.141593.141593.1415943.140943.141593.141593.141593.14159第41页，课件共80页，创作于2023年2月

42§5Gauss型求积公式一、Gauss求积公式及其性质对求积公式前面介绍的数值积分方法，是先给定n+1个求积节点xj，再由求积节点来构造n+1个求积系数Aj，从而得到数值积分公式，且其代数精度为n或n+1。现我们希望适当地选择求积节点，从而确定相应的求积系数，使（8.29）式的代数精度能有尽量地提高第42页，课件共80页，创作于2023年2月

43定义8.3

若求积公式（8.29）具有2n+1次的代数精度，则称该求积公式为Gauss型求积公式，相应的求积节点xj称为Gauss节点。（8.29）中取，有方程组构造Gauss型求积公式可用待定系数法，在求积公式第43页，课件共80页，创作于2023年2月

44方程组（8.30）是具有2n+2个未知量xj，Aj，2n+2个方程的非线性方程组，求解此方程组便得求积节点xj和求积系数Aj例8.6

对积分构造其Gauss型求积公式。解取代入（8.31）式有方程组

第44页，课件共80页，创作于2023年2月

45解之得故有求积公式由于方程组（8.30）是非线性方程组，当n较大时，求解（

8.30）非常困难，因此需从其它途径来构造Gauss型求积公式考查被积函数f(x)的Hermite插值多项式第45页，课件共80页，创作于2023年2月

46其中为Hermite插值基函数对（8.32）式两端同时在[a,b]上积分有令其中

第46页，课件共80页，创作于2023年2月

47则有求积公式

当时，由，知故求积公式(8.33)具有2n+1次的代数精度。现适当地选择求积节点使则求积公式(8.33)就变为第47页，课件共80页，创作于2023年2月

48定理在[a,b]上以权函数正交的多项式序列{gk(x)}中正交多项式gn+1(x)的零点是Gauss点。记为以Gauss点为插值节点的Lagrange插值基函数，由和(8.34)式有故求积公式(8.34)也可写为(8.29)形式其中Aj由(8.37)式给出。第48页，课件共80页，创作于2023年2月

49故求积公式(8.34)也可写为(8.29)形式其中Aj由(8.37)式给出。定理8.6Gauss型求积公式数值计算稳定。证明取，代入(8.29)式有且由和(8.37)式有第49页，课件共80页，创作于2023年2月

50设f(xj)的计算值为，记令故Gauss型求积公式数值计算稳定。第50页，课件共80页，创作于2023年2月

51二、一般的Gauss型求积公式

在（8.32）式两端同乘以权函数后再在[a,b]上积分有令

其中第51页，课件共80页，创作于2023年2月

52则（8.38）式可化为同理，取[a,b]上以权函数正交的多项式序列{gk(x)}中，正交多项式gn+1(x)的零点为求积节点，可以使此时（8.39）式为仍取为以Gauss点为插值节点的Lagrange插值基函数，由（8.40）有

第52页，课件共80页，创作于2023年2月

53故带权函数的Gauss型求积公式为二、常用的Gauss型求积公式1．Gauss—Legendre求积公式

由于Legendre多项式是[－1，1]上以的正交多项式序列，以Legendre多项式的零点为求积节点，构造的积分公式称为Gauss—Legendre求积公式，求积系数为第53页，课件共80页，创作于2023年2月

54余项为其中为n次Legendre正交多项式。例8.7

分别利用Newton—Cotes公式及Gauss—Legendre公式计算积分解（1）准确值第54页，课件共80页，创作于2023年2月

55（2）两点Gauss—Legendre公式（3）两个节点梯形公式（4）三点Gauss—Legendre公式（5）三个节点Simpson公式第55页，课件共80页，创作于2023年2月

56以xj为求积节点，求积系数为Gauss—Chebyschev求积公式为余项为2．Gauss—Chebyschev求积公式第56页，课件共80页，创作于2023年2月

573．Gauss—Lagurre求积公式由于Lagurre多项式是上以权函数的正交多项式，其求积系数为余项表达式为其中是n次Lagurre正交多项式第57页，课件共80页，创作于2023年2月

584．Gauss—Hermite求积公式

由于Hermite多项式是上关于权函数的正交多项式，求积系数为余项第58页，课件共80页，创作于2023年2月

59四、复化Gauss型求积公式以Gauss—Legendre求积公式为例，将区间[a,b]划分为m个小区间由在每个小区间上运用n+1个点的Gauss—Legendre求积公式，作代换第59页，课件共80页，创作于2023年2月

60则其中其中tj是n+1次Legendre正交多项式的零点，Aj是相应的系数，故有近似公式余项为第60页，课件共80页，创作于2023年2月

61节点特别，若采用等距划分，即将[a,b]m等分，步长则复化Gauss—Legendre求积公式为余项第61页，课件共80页，创作于2023年2月

62例8.12

取m=2,n=1应用复化Gauss—Legendre公式计算解准确值第62页，课件共80页，创作于2023年2月

63本章介绍的求积公式的特点（1）梯形公式和Simpson公式是低精度的方法，但对于光滑性比较差的被积函数有时效果比用高精度的方法要好，而且由于公式简单，因此使用非常广泛。特别在计算机上，复化梯形公式和复化Simpson公式便于采用逐次对分的方法，计算程序十分简单（2）Romberg积分公式，其算法简单，程序也便于实现。当节点增加时，前面的计算结果可以直接参与后面的计算，因而减少了计算量。同时有比较简单的误差估计法，由于能同时得到多个积分序列，在做收敛控制时，对不同性态的函数可采用不同的收敛序列作为精度控制，以其中最快的收敛序列来逼近积分，此方法的一个最大缺点是节点的增加是成倍的。

(3)Gauss型求积公式的最大优点是精度高，数值计算稳定。但求积节点和求积系数都没有规则,，当节点增加时，前面的计算结果不能被利用，只能重新计算，因此利用计算机计算时，需先输入节点数和各种Gauss型求积公式的节点和系数数据。Gauss型求积公式的另一优点是适用于某些区间上的广义积分计算第63页，课件共80页，创作于2023年2月

64§6数值微分一、数据的数值微分设函数f(x)给出了一组数据其中节点xi满足1．利用Lagrange插值多项式求数值微分

对f(x)进行Lagrange插值第64页，课件共80页，创作于2023年2月

65其中对（8.43）两端求k阶导数有故有近似计算公式余项为第65页，课件共80页，创作于2023年2月

66（1）两点公式（n=1）（2）三点公式（n=2）第66页，课件共80页，创作于2023年2月

672．利用三次样条插值函数作数值微分若用三次样条插值函数S(x)作为f(x)的近似函数，不仅可以使函数值非常接近，而且使导数值也非常接近，并且有其中表示的同阶无穷小以三转角插值法为例当时，第67页，课件共80页，创作于2023年2月

68求导有第68页，课件共80页，创作于2023年2月

69特别二、函数的数值微分1．差商代替微商（1）向前差商第69页，课件共80页，创作于2023年2月

70（2）向后差商（3）中心差商（4）二阶中心差商

差商近似代替微商的误差除取决于函数本身的解析性质外，