河北省衡水中学高三十五模文数试题

—学度下学期高三级十五模考试衡水中学数学（文科）试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合，集合，则（）A．B．C．D．2．已知复数满足（为虚数单位），则复数的共轭复数在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．若，则的值为（）A．B．C．D．4．《中华好诗词》是由河北电视台创办的令广大观众喜闻乐见的节目，旨在弘扬中国古代诗词文化，观众可以选择从和河北卫视这四家视听媒体的播放平台中观看，若甲乙两人各自随机选择一家播放平台观看此节目，则甲乙二人中恰有一人选择在河北卫视观看的概率是（）A．B．C．D．5．已知椭圆的离心率为，则实数等于（）A．2B．2或C．2或6D．2或86．如图是某个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是（）A．B．C．D．7．南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出的秦九韶算法至今仍是多项式求值比较先进的算法，已知，下列程序框图设计的是求的值，在处应填的执行语句是（）A．B．C．D．8．已知，则下列选项中错误的是（）A．B．C．D．9．已知等差数列的前项和为，“，是方程的两根”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件10．已知双曲线的左右焦点分别为，直线经过点且与该双曲线的右支交于两点，若的周长为，则该双曲线离心率的取值范围是（）A．B．C．D．11．已知当时，，则以下判断正确的是（）A．B．C．D．12．若存在一个实数，使得成立，则称为函数的一个不动点，设函数（，为自然对数的底数），定义在上的连续函数满足，且当时，.若存在，且为函数的一个不动点，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．用系统抽样法（按等距离的规则）从160部智能手机中抽取容量为20的样本，现将这160部智能手机随机地从001~160编号，按编号顺序平分成20组：001~008号，009~016号，017~024号，…，153~160号，若第9组与第10组抽出的号码之和为140，则第1组中用抽签的方法确定的号码是．14．已知，，如果与的夹角为直角，则．15．已知实数满足约束条件则的最大值为．16．在锐角中，角的对边分别为，已知，，，则的面积等于．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．设数列的前项和为，，且对任意正整数，点都在直线上.（1）求数列的通项公式；（2）若，数列的前项和为，求证：.18．如图，在直三棱柱中，平面，其垂足落在直线上.（1）求证：；（2）若是线段上一点，，，三棱锥的体积为，求的值.19．某印刷厂为了研究单册书籍的成本（单位：元）与印刷册数（单位：千册）之间的关系，在印制某种书籍时进行了统计，相关数据见下表：根据以上数据，技术人员分别借助甲、乙两种不同的回归模型，得到两个回归方程，方程甲：，方程乙：.（1）为了评价两种模型的拟合效果，完成以下任务.①完成下表（计算结果精确到0.1）；②分别计算模型甲与模型乙的残差平方和及，并通过比较的大小，判断哪个模型拟合效果更好.（2）该书上市之后，受到广大读者热烈欢迎，不久便全部售罄，于是印刷厂决定进行二次印刷，根据市场调查，新需求量为10千册，若印刷厂以每册5元的价格将书籍出售给订货商，求印刷厂二次印刷10千册获得的利润？（按（1）中拟合效果较好的模型计算印刷单册书的成本）.20．已知中心在原点，一个焦点为的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为.（1）求此椭圆的方程；（2）设直线与椭圆交于两点，且以为对角线的菱形的一个顶点为，求面积的最大值及此时直线的方程.21．已知函数.（1）当时，求函数的单调区间；（2）是否存在实数，使得至少有一个，使成立，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线.以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且两个坐标系取相同单位长度，曲线的极坐标方程为，.（1）求曲线的参数方程；（2）求曲线上一点到直线的距离的最小值及此时点的坐标.23．选修4-5：不等式选讲设实数满足.（1）若，求的取值范围.（2）若，，求证：.—学度下学期高三级十五模考试数学（文科）答案一、选择题1-5:BDCBD6-10:BBDAA11、12：CB二、填空题13．00214．15．16．三、解答题17．解：（1）因为点，在直线上，所以，当时，，两式相减得，即，，又当时，，，所以是首项，公比的等比数列，数列的通项公式为.证明：由（1）知，，则，.两式相减得∵，∴.18．解：（1）∵平面，平面，∴，在直三棱柱中易知平面，∴，∵，∴平面，∵平面，∴.（2）设，过点作于点，由（1）知平面，∴.∵，∴，，∴.∵平面，其垂足落在直线上，∴，∵，，，在中，，又，∴，在中，，∴.又三棱锥的体积为，∴，解得.∴，∴.19．解：（1）经计算，可得下表：②，，，故模型乙的拟合效果更好；（2）二次印刷10千册，由（1）可知，单册书印刷成本为（元）故印刷总成本为16640（元），印刷利润33360元20．解：（1）设所求椭圆方程为，由题意知，①设直线与椭圆的两个交点为，，弦的中点为，由，两式相减得：，两边同除以，得，即.因为椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为，所以，所以，，所以，即，②由①②可得，，所以所求椭圆的方程为.（2）设，，的中点为，联立，消可得：，此时，即①又，，为对角线的菱形的一顶点为，由题意可知，即，整理可得：②由①②可得，，∴，∴，记到直线的距离为，则，当时，的面积取最大值1，此时，，∴直线方程为.21．解：（1）函数的定义域为，1）当时，由得，或，由得，故函数的单调递增区间为和，单调减区间为2）当时，，的单调增区间为（2）先考虑“至少有一个，使成立”的否定“，恒成立”.即可转化为恒成立.令，则只需在恒成立即可，当时，在时，，在时，的最小值为，由得，故当时，恒成立，当时，，在不能恒成立，当时，取，有，在不能恒成立，综上所述，即时，至少有一个，使成立.22．解：（1）曲线，可化为，