第讲 数学：无穷级数三微分方程一新

【例l-4-9】幂级数的收敛域是（A）（-1,l）（B）（-l,1）（C）（-l,l）（D）（-l,1）【解】易知级数收敛半径R=l，当x＝-1时，级数，当x=1时，级数收敛，故应选（D）。（A）条件收敛（B）绝对收敛（C）发散（D）收敛性不能确定【解】由的结构知其收敛区间的中心为x=1，已知x=-1为此级数的一个收敛点，设其收敛半径为R，则，而x=2与收敛区间中心x＝1的距离为1,1<R，由幂级数的收敛性（阿贝尔定理）知，此级数在x=2处绝对收敛，故应选（B）。【例1-4-11】利用逐项求导法求级数的和函数。【解】幂级数的和函数是即利用逐项求导公式，得【例l-4–12】将函数展开成（x一3）的幂级数。【解】因为而因此锯【吨讯例桥1·废4·疏1亩3发】姥周将函数气展开嫩成望x赖巴的幂级数惧。便［解］先兼将有理分耀式分解成亭部分分式辞之和：甜三、傅立据叶级数醉（一）傅怎立叶级数栋概篇念雅怀1沫状．傅立叶男系数和傅猾立叶级数业设李f醉国（判x槐注）是周期飞为荷栏2臭π夏鞋的周期函姿数，则下炭面公式中宰出现的积暖分辣都存在，度则系查数东a翼0堤，奋a贼1魔,,b判l脑…障昏叫做函青数势f富虚（殖x抵葵）的傅立粮叶系数，处级数饥叫做函继数僚f陈谅（模x汤侦）的傅立稳叶级数。金2屿梁．狄利克偶雷收敛定恒理路设贩f饼迹（赌x叉识）是周期阔为笨2妈桨π阵的周期函畜数，如果黎它满足条央件摩：徒洲（互1愚夸）在一个沾周期内连额续，或只伪有有限个绒第一类间欺断点；励（箭2绳柏）在一个圈周期内至遇多只有有恭限个极值爷点，颈则榜f妻截（籍x蛛礼）的傅立魄叶级数收抚敛，且尊当折x泼鞠是宇f熊宵（鹿x伙注）的连续俘点时，级递数收敛俱于固f悔（鸽x尿拍）策孕；障当幅x停声是缓f洋（截x乖沉）的间断准点时，级府数收敛于渗（二）正园弦级数和楼余弦级数内1斧针．正弦级联数改若亲f野江（检x薪待）是周期筐为楼2顷潜π距的奇函数院，则它的眨傅立叶系蹈数为虽它的傅立墓叶级数是赵只含有正纺弦项的正等弦级数亩2草租．余弦级裳数撤若疼f固叛（等x丙神）是周期踏为斗2点舟π吉的偶函数横，则它的糕傅立叶系漠数为绳它的傅立粗叶级数是穷只含有常塔数项和余妖弦项的余治弦级数滚（三）周享期茎为帮2驶l骆第的周期函秃数的傅立逝叶级数恋设唐f率榨（冈x瓶添）是周期剂为蹈2短l饮的周期函井数，则它凭的傅立叶边系数为荣而它的傅联立叶级数跃为科（四）例陵题川【健竭例元1-禽4兵–吉14绝己】稿粪设由f待（挂x踪畜）是周期骆为售2瓦康π绑的周期函极数，它悉在拘[弯-崖π押，竹π名），上的拼表达式为工问撇f关伙（你x峡绩）的傅立纵叶级数忆在镇x脸撞＝割-绵π膨处收敛于惠何值。嚷【榜称解】所给错函数满足肝狄利克雷敢收敛定理裁的条件把，半x胁适＝催-双π少是函数的敌间断点，组按收敛定洞理它的傅裤立叶级数委在犹x岔预＝壤-冰π阵处收敛于疏【途利例运1-4欣摄–爽1奋5拥】访受将函数着展开成傅慧立叶级数漫。旦【绝现解凑舌】泼滴将函数优在印外作周期妥延拓，注居意翻到稳f圣哀（努x磁钻）是偶函饶数，故立由锤于漆f眨录在区绒间贯[摸-役π墓，闷π纵]阁满足收敛订定理的条摩件，摘在恨[员-为π揪，昏π左]喝上连续，册且损f非吗（何π罚）休=f巷-瓶（佣π锁），因此脾在区李间恭[温-顺π仓，归π毁]球上，有干第五瓶节射价江微分方程网一、基本荡概念命（一）微万分方程岸表示未知横函数及其忘导数、自超变量之间希的关系的袜方程，称启为微分方吵程。微分警方程中所鸡出现的最便高阶导数钱的阶数，况称为微分耐方程的阶剪。留（二）微腿分方程的础解、通解筛微分方程树的解是一恰个函数，啊把这函数细代人微分氧方程能使欢该方程成慰为恒等式酸。确切地延说，对市于魄n配阶微分方腔程秘那么函数狂就称为微刘分方程负（珠1-亚5-国l悔获）在区储间栽I贞风上的解。荣如果二元宗代数方程择所确定的惩隐函数是讯某微分方火程的解，伶那么抚称为该微塞分方程的茄隐式解。至含袋有荡n纪个独立的谜任意常数畜的微分方骆程的解，副称灾为座n固阶微分方妙程的通解离。久（三）初突始条件与命特解罚能用来确效定通解中参的任意常屋数的条件伞称为初始盲条件。通灵常一阶微座分方程的阻初始条件催为蜡；二阶微谋分方程卯专初始条件梯为言，杏。寸通解中的驾任意常数玉全都确定夫后，就得坊到一个确饶定的解，貌称为微分掘方程的特恋解。居（四）例炮题狗【狸客例跨1-5斤-l袋阔】验证函绸数笔是微分方价程正的通解。三【斗诚证敏爽】即代人方程蹲有搏所给方程乐是二阶的姥，所给函逃数中恰好荒含载C济l井尖、艇C俗2把丰两个任意希常数，且批因坛常数，故确这两个任尤意常数不荡能合并成茫一个，即央它们是相糊互独立的班，因此所拦给函数是令所给方程忽的通解。坛二、可分辫离变量的呈方程全一阶微分句方程毙称为可分折离变量的冒方程。把侍式中败的若y诸我和基dy佩纵归人方程洪的一端访，信x册奏和敌dx臣甘归人另一夫端，成为哥这一步骤演称为分离猜变量。分柳离变量后雕，两端可摧分别积分闹设特g仅乱（俘y攀）饺、督f卸堪（愈x吧绿）的原函那数依次把为看G聪拐（炒y裂）泡与列吐F守（倦x膏），即得呈方程砌（遍1-5皮-2临搜）的通解色【洽李例钥1-5箭-2饮筒】授xO箭y芹平面上一州条曲线通昨过点饿（逮2,百3疏基）旦牙，它在两拌坐标轴间隙的任一切屑线段均舰被切点所晨平分，求锤它的方程板。涛【取坐解抵筹】慈敏设曲线上南任一点为招（拾x独俩，碍y依），依题娇意，曲线穷在点声（交x普，缝y低）的切线莫在