演示文稿圣维南原理的概念及应用

演示文稿圣维南原理的概念及应用ZS目前一页\总数四十页\编于十二点圣维南原理的概念及应用目前二页\总数四十页\编于十二点平面问题的基本方程1.平衡微分方程（2-2）2.几何方程（2-9）3.物理方程（平面应力问题）（2-15）4.边界条件位移：（2-17）应力：（2-18）目前三页\总数四十页\编于十二点例1如图所示，试写出其边界条件。xyahhq(1)(2)(3)(4)说明：x=0的边界条件，是有矛盾的。由此只能求出结果：目前四页\总数四十页\编于十二点例3图示水坝，试写出其边界条件。左侧面：由应力边界条件公式，有右侧面：目前五页\总数四十页\编于十二点例4图示薄板，在y方向受均匀拉力作用，证明在板中间突出部分的尖点A处无应力存在。解：——平面应力问题，在AC、AB边界上无面力作用。即AB边界：由应力边界条件公式，有（1）AC边界：代入应力边界条件公式，有（2）∵A点同处于AB和AC的边界，∴满足式（1）和（2），解得∴A点处无应力作用目前六页\总数四十页\编于十二点目前七页\总数四十页\编于十二点静力等效圣维南原理及其应用§2-8圣维南原理2023/5/14ZS目前八页\总数四十页\编于十二点为什么要用圣维南原理？如何应用圣维南原理？圣维南原理中主矩的方向是如何定义的？圣维南原理中主矩是对那个点取矩？圣维南原理中边界的面力和应力的关系？什么是主要边界？什么是次要边界？为什么正应力对中心点取矩不为零？目前九页\总数四十页\编于十二点问题的提出：PPP

求解弹性力学问题时，使应力分量、形变分量、位移分量完全满足8个基本方程相对容易，但要使边界条件完全满足，往往很困难。

如图所示，其力的作用点处的边界条件无法列写。1.、静力等效的概念

两个力系，若它们的主矢量、主矩相等，则两个力系为静力等效力系。

这种等效只是从平衡的观点而言的，对刚体来而言完全正确，但对变形体而言一般是不等效的。目前十页\总数四十页\编于十二点2.、圣维南原理(Saint-VenantPrinciple)原理：若把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力，则近处的应力分布将有显著改变，而远处所受的影响可忽略不计。PPPP/2P/2目前十一页\总数四十页\编于十二点目前十二页\总数四十页\编于十二点目前十三页\总数四十页\编于十二点3.、圣维南原理的应用(1)对复杂的力边界，用静力等效的分布面力代替。(2)有些位移边界不易满足时，也可用静力等效的分布面力代替。注意事项：(1)必须满足静力等效条件；(2)只能在次要边界上用圣维南原理，在主要边界上不能使用。如：AB主要边界P次要边界目前十四页\总数四十页\编于十二点例7课堂练习与讨论2023/5/14ZS目前十五页\总数四十页\编于十二点例7图示矩形截面水坝，其右侧受静水压力，顶部受集中力作用。试写出水坝的应力边界条件。左侧面：代入应力边界条件公式右侧面：代入应力边界条件公式，有上端面：为次要边界，可由圣维南原理求解。y方向力等效：对O点的力矩等效：x方向力等效：注意：必须按正向假设！目前十六页\总数四十页\编于十二点xy上端面：（方法2）取图示微元体，可见，与前面结果相同。注意：必须按正向假设！由微元体的平衡求得，目前十七页\总数四十页\编于十二点例9图示矩形截面悬臂梁，在自由端受集中力P作用，不计体力。试根据材料力学公式，写出弯曲应力和剪应力的表达式，并取挤压应力=0，然后说明这些表达式是否代表正确解。解材料力学解答：式（a）满足平衡方程和相容方程？（a）式（a）是否满足边界条件？代入平衡微分方程：（2-2）显然，平衡微分方程满足。目前十八页\总数四十页\编于十二点式（a）满足相容方程。再验证，式（a）是否满足边界条件？——满足——满足——近似满足近似满足结论：式（a）为正确解代入相容方程：上、下侧边界：右侧边界：左侧边界：目前十九页\总数四十页\编于十二点圆孔应力集中：应力集中程度§4-9圆孔的孔边应力集中2023/5/14ZS目前二十页\总数四十页\编于十二点ZS《RockMassMechanics》1.孔边应力集中概念

由于弹性体中存在小孔，使得孔边的应力远大于无孔时的应力，也远大于距孔稍远处的应力。称为孔边的应力集中。应力集中系数：与孔的形状有关，是局部现象；与孔的大小几乎无关。（圆孔为最小，其它形状较大）2.孔边应力集中问题的求解（1）问题：

带有圆孔的无限大板（B>>a），圆孔半径为a，在无限远处受有均匀拉应力

q作用。求：孔边附近的应力。目前二十一页\总数四十页\编于十二点ZS《RockMassMechanics》（2）问题的求解

问题分析坐标系：就外边界（直线），宜用直角坐标；就内边界（圆孔），宜用极坐标。A

取一半径为r=b(b>>a），在其上取一点A的应力：OxybAArA由应力转换公式：原问题转化为：无限大圆板中间开有一圆孔的新问题。b目前二十二页\总数四十页\编于十二点ZS《RockMassMechanics》新问题的边界条件可表示为：xyba内边界外边界（a）问题1（b）（c）baba问题2将外边界条件（a）分解为两部分：目前二十三页\总数四十页\编于十二点ZS《RockMassMechanics》问题1ba

问题1的解：内边界外边界（b）

该问题为轴对称问题，其解为

当b>>a时，有（d）目前二十四页\总数四十页\编于十二点ZS《RockMassMechanics》

问题2的解：ba问题2（非轴对称问题）内边界外边界（c）

由边界条件（c），可假设：为r的某一函数乘以；为r的某一函数乘以。

又由极坐标下的应力分量表达式：

可假设应力函数为：

将其代入相容方程：目前二十五页\总数四十页\编于十二点ZS《RockMassMechanics》

与前面类似，令：有

该方程的特征方程：特征根为：方程的解为：目前二十六页\总数四十页\编于十二点ZS《RockMassMechanics》ba问题2

相应的应力分量：

对上述应力分量应用边界条件（c）,有内边界外边界（c）

（e）目前二十七页\总数四十页\编于十二点ZS《RockMassMechanics》求解A、B、C、D，然后令a/b=0，得ba问题2代入应力分量式（e）,有

（f）目前二十八页\总数四十页\编于十二点ZS《RockMassMechanics》将问题1和问题2的解相加,得全解：

（4-17）讨论：（1）沿孔边，r=a，环向正应力：

（4-18）3q2qq0－q90°60°45°30°0°（2）沿y轴，θ=90°，环向正应力：1.04q1.07q1.22q3q4a3a2aarAb——齐尔西（G.Kirsch）解目前二十九页\总数四十页\编于十二点ZS《RockMassMechanics》（3）沿x轴，θ=0°，环向正应力：（4）若矩形薄板（或长柱）受双向拉应力q1、q2作用xyq1q2q2q1xyq1q1xyq2q2目前三十页\总数四十页\编于十二点ZS《RockMassMechanics》（4）若矩形薄板（或长柱）受双向拉应力q1、q2作用xyq1q2q2q1xyq1q1xyq2q2叠加后的应力：

（4-19）（5）任意形状薄板（或长柱）受面力

作用，在距边界较远处有一小孔。只要知道无孔的应力，就可计算孔边的应力，如：目前三十一页\总数四十页\编于十二点ZS《RockMassMechanics》（5）任意形状薄板（或长柱）受面力

作用，在距边界较远处有一小孔。只要知道无孔的应力，就可计算孔边的应力，如：45°目前三十二页\总数四十页\编于十二点网格划分的问题应力集中是在机械制造、航空航天、造船和建筑等工程应用领域中最常见的问题，指构件中应力分布不均在局部增高的现象。开有圆孔或切口的板条受拉时，在圆孔或切口附近的局部区域，应力将急剧增加，但在离开圆孔或切口稍远处，应力就迅速降低而趋于均匀。这种因杆件外形突然变化，而引起局部应力急剧增大的现象称为应力集中。各种材料对应力集中的敏感程度不同。用塑性材料制成的零件在静载荷作用下，可以不考虑应力集中的影响。（塑性材料有屈服阶段，当局部应力达到屈服极限时，该处材料可继续增长，而应力却不增加。如果外力继续增加，增加的力就有截面上尚未达到屈服极限的材料来承担，使截面上其他点的应力相继达到屈服极限。应力不均匀程度大大降低，也限制了最大应力值）目前三十三页\总数四十页\编于十二点脆性材料没有屈服阶段，一直领先，首先达到强度极限，产生断裂。所以要考虑应力集中对零件承载能力的削弱。但是零件承受周期性载荷或冲击载荷时，不论塑性材料还是脆性材料，应力集中对零件都会产生严重的影响。（以上内容来自材料力学）目前三十四页\总数四十页\编于十二点高人的见解：应力集中是指的在某一个区域内应力梯度较大，如果网格稀疏的话，就不会捕捉到梯度变化较大的应力。有应力集中未必会是应力奇异。比如二维平面单元中间开有园孔，另一端受拉伸集度载荷，这样园孔处有两部分会发生应力集中。但是应力并不是无穷，即不存在应力奇异。但是应力奇异的地方一定存在应力集中。应力奇异是modelling过程造成的。我们知道实际问题中，奇异点处的应力不可能是无穷的。目前三十五页\总数四十页\编于十二点应力奇异可以来自与很多因素，比如荷载，边界条件，边界的光滑性，材料系数的光滑性，等等。奇异点的存在导致有限元解的收敛速度很慢，尤其对于均匀划分的网格。有兴趣的可以试一下L形的平面问题，检查一下均匀划分网格情况下应变能的变化。使用局部细化或hp方法的原因是因为这两种方法能使有限元解较快的收敛。但是注意应力奇异点是不能够消除的。你的模型固定了，你的奇异点也固定了，通过计算是消除不掉的，计算是一个用估计解逼近一个真实解（精确解），精确解本身带有奇异点，怎么能够消除呢？所以尝试消除应力奇异点的做法是错误的。如果想消除应力奇异点，你的modelling过程就需要改变。比如二维平面单元，在某一节点处加集中力，那么此处就是一个奇异点。要消除它的话，可以把集中力变成集度线载荷加到一段长度很小的线上，奇异点就没有了。目前三十六页\总数四十页\编于十二点奇异点的定义就是在某一个点处导数无穷。举一个L形区域的平面问题，某一个边固定，在另外的任意边上加无穷小的集度荷载，我们会发现无论荷载多么小，角点处的应力都是无穷。这就是几何形状引起的奇异点。现在问题来了，一方面我们知道角点处的应力无穷，另一方面我们知道对于很小的荷载，角点处的应力不可能是无穷的。问题出在什么地方呢？目前三十七页\总数四十页\编于十二点首先数学模型都是建立在一些假设上的，比如对于一个二维平面问题，平衡方程为div(sigma)=f。这个平衡方程是怎么定义的呢？它是指在平面内（不包括边界）任取一点，这个点的邻域内的任意点都满足该平衡方程（邻域不接触边界）。从平衡方程中可以看出，我们是要求位移的二阶倒数是连续的，这个要求有的时候很强。因为说不定某处的二阶倒数根本不存在。对于L形区域问题，我们只知道区域内的位移的二阶倒数是存在的，连续的。角点在边界上，我们不知道二阶导数的情况