拉普拉斯变换的应用及综合举例(共26张PPT)

§9.4Laplace

变换的应用及综合举例三、利用

Matlab

实现

Laplace

变换一、求解常微分方程(组)二、综合举例*第1页，共26页。一、求解常微分方程(组)步骤得到象函数求解微分方程(组)象函数的代数方程(组)Laplace正变换微分方程(组)的解Laplace逆变换(1)将微分方程(组)化为象函数的代数方程(组)；(2)求解代数方程得到象函数；(3)求

Laplace

逆变换得到微分方程(组)的解。工具第2页，共26页。对方程两边取

Laplace

变换，有(2)求

Laplace

逆变换，得

解(1)令代入初值即得P218例9.6

第3页，共26页。对方程两边取

Laplace

变换，并代入初值得(2)求

Laplace

逆变换，得

解(1)令求解此方程得第4页，共26页。对方程组两边取

Laplace

变换，并代入初值得解(1)令求解得整理得P229例9.19第5页，共26页。解(1)令求解得(2)求

Laplace

逆变换，得第6页，共26页。对方程组两边取

Laplace

变换，并代入初值得解(1)令求解得(2)求

Laplace

逆变换，得第7页，共26页。如图，解由于利用线性性质及延迟性质有11函数可写为二、综合举例P231例9.21第8页，共26页。对方程两边取

Laplace

变换，并代入初值有解(1)令(2)求

Laplace

逆变换，得

第9页，共26页。对方程两边取

Laplace

变换有(2)求

Laplace

逆变换，得

解(1)令第10页，共26页。对方程两边取Laplace变换，并代入初值得利用线性性质及延迟性质有symst;(1)F=laplace(f)clear;对方程组两边取Laplace变换，并代入初值得symss;位置处开始运动，其中，exp为指数函数。(2)求Laplace逆变换，得Matlab程序由Kirchhoff定律知，(2)求Laplace逆变换，得整理得对方程组两边取

Laplace

变换，并代入初值得解(1)令求解得第11页，共26页。解(1)令求解得(2)求

Laplace

逆变换，得第12页，共26页。对方程组两边取

Laplace

变换，并代入初值得解(1)令第13页，共26页。解(1)令(2)求

Laplace

逆变换，得第14页，共26页。(2)令(3)求

Laplace

逆变换，得解(1)由于因此原方程为在方程两边取

Laplace

变换得P232例9.24(跳过?)第15页，共26页。求

Laplace

逆变换，得物体的运动方程为根据

Newton

定律有解设物体的运动方程为在方程两边取

Laplace

变换得令P230例9.20

第16页，共26页。求解此方程得求Laplace逆变换，得设有如图所示的

R

和

L

串联电路，在时刻接到直流例KELR电势

E

上，求电流由

Kirchhoff定律知，解满足方程在方程两边取

Laplace

变换得令P233例9.25第17页，共26页。解(1)由

Newton

定律及

Hooke

定律有即物体运动的微分方程为位置处开始运动，的外力为。例质量为

m

的物体挂在弹簧系数为

k的弹簧一端(如图)若物体自静止平衡求该物体的运动规律，作用在物体上(跳过?)第18页，共26页。的外力为。位置处开始运动，对方程组两边取Laplace变换，并代入初值得求函数的Laplace变换。对方程组两边取Laplace变换，并代入初值得对方程两边取Laplace变换，并代入初值有Matlab程序在方程两边取Laplace变换得对方程两边取Laplace变换，并代入初值得Matlab程序symss;对方程组两边取Laplace变换，并代入初值得设物体的运动方程为(2)求Laplace逆变换，得设有如图所示的R和L串联电路，在时刻接到直流解(1)对方程组两边取

Laplace

变换，并代入初值得(2)令记有当具体给出时，即可以求的运动方程并利用卷积定理有(3)由第19页，共26页。解利用卷积定理有当具体给出时，即可以求的运动方程(3)由此时可见，在冲击力的作用下，运动为正弦振动，振幅为角频率为称为该系统的自然频率或固有频率。设物体在

时受到冲击力例如A

为常数。第20页，共26页。在数学软件

Matlab

的符号演算工具箱中，提供了专用函数来进行

Laplace

变换与

Laplace

逆变换。(1)F

=

laplace

(

f

)对函数

f(

t

)

进行Laplace变换，三、利用

Matlab

实现

Laplace

变换*对并返回结果

F

(

s

)。

(2)f

=

ilaplace

(

F

)对函数

F

(

s

)

进行Laplace逆变换，对并返回结果

f

(

t

)。

补

(跳过?)第21页，共26页。解Matlab

程序clear;symst;f=t*exp(-3*t)*sin(2*t);

F=laplace(f)；F=4/((s+3)^2+4)^2*(s+3)输出求函数的

Laplace

变换。例即第22页，共26页。解Matlab

程序clear;symst;f=sin(t)/t;F=laplace(f);其中，atan

为反正切函数。F=atan(1/s)输出求函数的

Laplace

变换。例即第23页，共26页。解Matlab

程序clear;symss;F=(s^2+2*s+1)/(s^2-2*s+5)/(s-3);

f=ilaplace(F);其中，exp为指数函数。f=2*exp(3*t)-exp(t)*cos(2*t)+exp(t)*sin(2*t)输出求函数的

Laplace

逆变换。例即第24页，共26页。解Matlab

程序clear;symss;F=