初中数学12道数学几何压轴题

初中数学12道数学几何压轴题中考数学重难点题型-12道几何探究题解析考点1三角形几何探究L如果三角形的两个内角口与口满足+p= 那么我们称这样的三角形为“准互余三角形1(I)若△ABC是“准互余三角形％ZC>90°tZA=60\MZB=15d;(2)如图1.在RtZSABC中1/ACB=90。，AC=4,BC=5,若AD是/BAC的平分线，不难证明GARD是“准互余三角形;试问在边BC上是否存在点E(异于点D),使得AABE也是，淮互余三用形”？若存在，请求出BE的长；若不存在,请说明理由.(3)如图2,在四边形ABCD中.AB=7!CD=12,BD±CD1ZABD=2ZBCDt且也AEC是“准互余三角形”，求对角线AC的长8乙 1)__T1 月 c图1 图2解二(I)：△ABC是“准互余三角开打，ZC>90D,NA=60>\2/B+/A=9。口,解得』B=15t(2)如答图1,在RtZSABC中，VZB+ZBAC=90\ZBAC=2ZBAD,/.ZB+2/HAD=9O)/.△ABD是“准互余三角形”.:△ABE也是“准互余三角形”，,只有2NB+NBAE=90°.;ZB+ZBAE+ZEAC=90°,AZCAE=ZB.VZC=ZC=90°,/.△CAE<^ACBA,ACA2=CECB,(3)如答图2,将ABCD沿BC翻折得到ABCF,r.CF=CD=12,ZBCF=ZBCD,ZCBF=ZCBD.VZABD=2ZBCD,ZBCD+ZCBD=90°,/.ZABD+ZDBC+ZCBF=180°,・••点A,B,F共线，・♦・ZA+ZACF=90°,A2ZACB4-ZCAB^O%・♦・只有2/BAC+ZACB=90°,Z.ZFCB=ZFAC.VZF=ZF,AAFCB^AFAC,.\CF2=FBFA,设FB=x,则有x(x+7)=122,Ax=9或x=—16(舍去)，「・AF=7+9=I6,在RtZXACF中，AC=AF2+CF2=1624-122=20.2.将一副三角尺按图1摆放，等腰直角三角尺的直角边DF恰好垂直平分AB,

与AC相交于点G,BC=23cm.(1)求GC的长；(2)如图2,将4DEF绕点D顺时针旋转，使直角边DF经过点C,另一直角边DE与AC相交于点H,分别过H,C作AB的垂线，垂足分别为M,N,通过观察，猜想MD与ND的数量关系，并验证你的猜想.(3)在(2)(3)在(2)的条件下，将4DEF沿DB方向平移得到△DEF,当恰好经过(1)中的点G时，请直接写出DD，的长度.解：(1)在RtZXABC中，VBC=23,ZB=60°,AAC=BCtan60°=6,AB=2BC=43,AD在Rt^ADG中，AG==4,cos30°ACG=AC-AG=6-4=2.(2)结论：DM+DN=23.理由：VHM±AB,CN±AB,••ZAMH=ZDMH=ZCNB=ZCND=90°.VZA+ZB=90°,ZB+ZBCN=90°,AZA=ZBCN,AAAHM^ACBN,•AM=HM(pAZA=ZBCN,AAAHM^ACBN,•AM=HM(p•«-BN由①②可得AMBN=DNDM,，DM=BN,AMDN.DM+AM=BN+DN.AD=BD•AM—DN'a<AM-DNBVAD=BD,AAM=DN,••DM+DN=AM+DM=AD=23.第2题答图(3)如答图，作GK〃DE交AB于K.在AAGK中，AG=GK=4,ZA=ZGKD=30°,作GH_LAB于H.则AH=AGcos30o=23,可得AK=2AH=43,此时K与B重合.・・DD'=DB=23.考点2四边形几何探究3.我们定义：有一组邻角相等且对角线相等的凸四边形叫做邻对等四边形.概念理解(1)我们所学过的特殊四边形中的邻对等四边形是矩形或正方形；性质探究(2)如图1,在邻对等四边形ABCD中，ZABC=ZDCB,AC=DB,AB>CD,求证:NBAC与NCDB互补;

拓展应用(3)如图2,在四边形ABCD中，ZBCD=2ZB,AC=BC=5,AB=6,CD=4.在BC的延长线上是否存在一点E,使得四边形ABED为邻对等四边形？如果存在，求出DE的长；如果不存在，说明理由.(1)解：矩形或正方形.(2)证明：如答图1,延长CD至E,使CE=BA,连接BE.fAB=EC,在aABC和AECB中，|/aBC=NECB,IBC=CB,/.△ABC^AECB(SAS),ABE=CA,ZBAC=ZE.VAC=DB,・・・BD=BE,AZBDE=ZE,••・ZCDB4-ZBDE=NCDB+ZE=ZBAC+ZCDB=180°,即ZBAC与ZCDB互补.(3)解：存在这样一点E,使得四边形ABED为邻对等四边形，如答图2,在BC的延长线上取一点E,使得CE=CD=4,连接DE,AE,BD,则四边形ABED

为邻对等四边形.理由如下:VCE=CD,.\ZCDE=ZCED.VZBCD=2ZABC,AZABC=ZDEB,AZACE=ZBCD.AC=BC,在AACE和ABCD中，/ACE=NBCD,CE=CD,/.△ACE^ABCD(SAS),ABD=AE,四边形ABED为邻对等四边形.,:ZCBA=ZCAB=ZCDE=ZCED,/.△ABC^ADEC,-AB_6_DE_DE.„_24••~- a••UC/ .BC5CE4 54,将矩形ABCD绕点A顺时针旋转a(0。VaV360。)，得到矩形AEFG.CL备用图(1)如图，当点E在BD上时.求证：FD=CD；(2)当a为何值时，GC=GB?画出图形，并说明理由.解：(1)由旋转可得，AE=AB,ZAEF=ZABC=ZDAB=90°,EF=BC=AD,/.ZAEB=ZABE.:ZABE+ZEDA=90°=NAEB+NDEF,・•・NEDA=NDEEVDE=ED,.*.△AED^AFDE(SAS),/.DF=AE,VAE=AB=CD,ACD=DF.(2)当GB=GC时，点G在BC的垂直平分线上，分两种情况讨论：①当点G在AD右侧时，如答图1,取BC的中点H,连接GH交AD于M,VGC=GB,AGHIBC,上四边形ABHM是矩形，.\AM=BH=1AD=1AG,2 2.二GM垂直平分AD,・・・GD=GA=DA,•••△ADG是等边三角形，，NDAG=60。，・••旋转角a=60。；图1 图2②当点G在AD左侧时，如答图2,同理可得4ADG是等边三角形，・・・NDAG=60°,丁・旋转角a=360。-60。=300°.综上，a为60。或300。时,GC=GB.5.如图1,边长为4的正方形ABCD中，点E在AB边上(不与点A,B重合),

点F在BC边上(不与点B,C重合).第一次操作：将线段EF绕点F顺时针旋转，当点E落在正方形上时，记为点G；第二次操作：将线段FG绕点G顺时针旋转，当点F落在正方形上时，记为点H；依此操作下去...(1)图2中的4EFD是经过两次操作后得到的，其形状为等边三角形,求此时线段EF的长；(2)若经过三次操作可得到四边形EFGH.①请判断四边形EFGH的形状为正方形,此时AE与BF的数量关系是AE=BF；②以①中的结论为前提，设AE的长为x,四边形EFGH的面积为y,求y与x的函数关系式及面积y的取值范围.则4DEF为等边三角形.解：(1)则4DEF为等边三角形.解：(1)如题图2,由旋转性质可知EF=DF=DE,一 ，AD=CD,在RtAADE和RtZXCDF中，DE=DF,RtAADE^RtACDF(HL).，AE=CF.设AE=CF=x,贝l]BE=BF=4—x•••△BEF为等腰直角三角形.AEF=2BF=2(4-x).・・・DE=DF=EF=2(4—x).在RtZiADE中，由勾股定理得AE?+AD2=DE2,即x?+42=[2(4-x)]2,解得刈=8—43,X2=8+43(舍去).・・・EF=2(4-x)=46-42.△DEF的形状为等边三角形，EF的长为46-42.图1第5题答图(2)①四边形EFGH的形状为正方形，此时AE=BF.理由如下：依题意画出图形，如答图所示，连接EG,FH,作HNJ_BC于N,GM_LAB于M.由旋转性质可知，EF=FG=GH=HE,・•・四边形EFGH是菱形，由AEGM名△FHN,可知EG=FH,・•・四边形EFGH的形状为正方形，JZHEF=90°.VZ1+Z2=9O°,N2+N3=90。，/.Z1=Z3,VZ3+Z4=90°,Z2+Z3=90°,/.Z2=Z4.Z1=Z3,在AAEH和ABFE中，EH=EF,Z2=Z4,.,.△AEH^ABFE(ASA),AAE=BF.②利用①中结论，易证ABFE,ACGF,ADHG均为全等三角形,ABF=CG=DH=AE=x,AH=BE=CF=DG=4—x.

/.y=s正方彩abcd—4s△aeii=4x4—(4—x)=2x?—8x+16,/.y=2x2—8x+16(0<x<4).Vy=2x2-8x4-16=2(x-2)2+8,・••当x=2时，y取得最小值8;当x=0或4时，y=16.一•y的取值范围为把y〈16.6,提出问题如图，已知在矩形ABCD中，AB=2,BC=3,点P是线段AD边上的一动点（不与端点A,D重合），连接PC,过点P作PE_LPC交AB于点E,在点P的运动过程中，图中各角和线段之间是否存在某种关系和规律？特殊求解当点E为AB的中点，且AP>AE时，求证：PE=PC.深入探究当点P在AD上运动时，对应的点E也随之在AB上运动，求整个运动过程中BE的取值范围.备用图备用图解：特殊求解VPE±PC,，NAPE+NDPC=90°.VZD=90°,AZDPC+ZDCP=90°.AZAPE=ZDCP.VZA=ZD=90°,APAF/.△APE^ADCT,A=DCDP设AP=x,则有DP=3—x.而AE=BE=1,/.x(3—x)=2xl,解得Xi=2,X2=l.VAP>AE,AAP=2,AE=PD=1,.,.△APE^ADCP,・・・PE=PC.深入探究设AP=x,AE=y,由APDP=AEDC,可得x(3—x)=2y.，y=1x(3—乂)=-1+\=-&—++9TOC\o"1-5"\h\z)2 2 2 2 2 8a o•••在0<x<3范围内，当乂=，时，y最大=q.2 8•・•当AE=y取得最大值时，BE取得最小值为2—887ABE的取值范围为：SBEV2.O7.已知RtZSOAB,ZOAB=90°,ZABO=30°,斜边0B=4,将RtZsOAB绕点O顺时针旋转60。,如图1,连接BC.(I)填空：ZOBC=60°;(2)如图1,连接AC,作OPJLAC,垂足为P,求0P的长度；(3)如图2,点M,N同时从点O出发，在aOCB边上运动，M沿O-C—B路径匀速运动，N沿O-B-C路径匀速运动，当两点相遇时运动停止，已知点M的运动速度为L5单位/秒，点N的运动速度为1单位/秒，设运动时间为x秒,△OMN的面积为y,求当x为何值时y取得最大值.最大值为多少？OAOAO图I 图2 备用图解：⑴由旋转性质可知OB=OC,ZBOC=60°,(2)如答图1中，V0B=4,/ABO=30。，AOA='08=2,AB=3OA=23,・・・Smoc=：OA.AB=22x23=23.VABOC是等边三角形，AZOBC=60°,ZABC=ZABO+ZOBC=90°,AAC=AB2+BC2=2\r(3)2+42=27,

.op=2SA-=43=221第7题答图2(3)0当OVx1时，M在OC上运动，N在.op=2SA-=43=221第7题答图2且交OC于点E.如答图2,q则NE=ON,sin600=；x,TOC\o"1-5"\h\z1 1 3ASaomn=<OMNE=>1.5xx:x,2 2 2•♦.y=3Jx2,,当*=:时，y有最大值，最大值为8」.8 3 3nM-飞A算②当?VxS4时，M在BC上运动，作MH1OB于H.则BM=8-1.5x,歹0W7题答图3N在OB上运动.如答图3,MH=BMsin60°=：(8-

Ay=IxONxMH=-3\2+23x.TOC\o"1-5"\h\z,2 8当x/时，y取得最大值，最大值为83J J第7题答图4③当4Vxa.8时，M,N都在BC上运动，作OG_LBC于G.如答图4,MN=12-2.5x,0G=AB=23,/.y=1MN0G=123-53x,2 2当x=4时，y有最大值，最大值为23.综上所述，y有最大值，最大值为'J.8在菱形ABCD中，NABC=60。，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边AAPE,点E的位置随着点P的位置变化而变化.(1)如图1,当点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE,BP与CE的数量关系是PB=EC,CE与AD的位置关系是CLLAD；(2)当点E在菱形ABCD外部时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请予以证明;若不成立，请说明理由(选择图2,图3中的一种情况予以证明或说理)；(3)如图4,当点P在线段BD的延长线上时，连接BE.若AB=23,BE=219,求四边形ADPE的面积.

第8题答图1P第8题答图1P解：⑴结论：PB=EC,CE1AD.理由：如答图1中，连接AC.:四边形ABCD是菱形，ZABC=60°,AAABC,4ACD都是等边三角形,ZABD=ZCBD=30°.「△APE是等边三角形,AAB=AC,AP=AE,ZBAC=ZPAE=60°,AABAP^ACAE,ABP=CE,ZABP=ZACE=30°,延长CE交AD于H,VZCAH=60°,AZCAH+ZACH=90°JZ.ZAHC=90%BPCE1AD.(2)结论仍然成立.理由：如答图2,连接AC交BD于0,设CE交AD于H.•・•四边形ABCD是菱形，ZABC=60°,AAABC,ZXACD都是等边三角形,ZABD=ZCBD=30°.:△APE是等边三角形，AAB=AC,AP=AE,ZBAC=ZPAE=60°,.'.△BAP^ACAE,.\BP=CE,ZABP=ZACE=30°,VZCAH=60°,.,.ZCAH+ZACH=90°,/.ZAHC=90°,EPCE1AD.图4第8题答图3(3)如答图3,连接AC交BD于点O,连接CE交AD于点H,由(2)可知EC_LAD,CE=BP,在菱形ABCD中，AD/7BC,AECIBC.VBC=AB=23,BE=219,・•.在RtZXBCE中，EC= 2\r(19)2-2\r(3)2=8,ABP=CE=8.〈AC与BD是菱形的对角线，AZABD=，ZABC=30°,AC±BD,2.\BD=2BO=2ABcos300=6,.•.OA=IAB=3,DP=BP-BD=8-6=2,2，0P=0D+DP=5,在RtZXAOP中，AP=AO24-OP2=27,i i i a•••S四边形adpe=S/adp+S^aep=DP・AO+JAP2=x2x3+Jx(27)2=83.2 4 2 4考点3三角形、四边形混合几何探究9.我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”，例如图1,图2,图3中，AF,BE是aABC的中线，AF1BE,垂足为P,像AABC这样的三角形均称为“中垂三角形"，设BC=a,AC=b,AB=c.特例探索(1)如图1,当NABE=45。，c=2\5时，a=25,b=21如图2,当NABE=30。，c=4时，a=213,b=21归纳证明(2)请你观察⑴中的计算结果，猜想a?,b)c?三者之间的关系，用等式表示出来,并利用图3证明你发现的关系式.拓展应用(3)如图4,在dABCD中，点E,F,G分别是AD,BC,CD的中点，BE1EG,AD=23，AB=3,求AF的长.jg：(1)VAF±BE,ZABE=45°,也，AP=BP=~AB=2.2VAF,BE是AABC的中线，二•EF〃AB,EF=!aB=3,2/.ZPFE=ZPEF=45°,/.PE=PF=1.在RtAFPB和RtAPEA中，AE=BF=\"l2+22=-V5,AAC=BC=2^,.・・a=b=2、6.如答图I,连接EF.同理可得EF='x4=2.7VEF/7AB,.\APEF^APBA,,PF=PE=EF=1<eAp-pB_AB-2在RtZXABP中，AB=4,ZABP=30°,AAP=2,PB=2\3,.e.PF=l,PE=\3.在RtAAPE和RtABPF中，AE=®BF=\厄,

Aa=213,b=27.(2)猜想:a2+b2=5c2,证明如下：如答图2,连接EF.iSZABP=a,.*•AP=csina,PB=ccosa,由(1)同理可得PF=।PA=cs，na,PE=1pB=ccosa,2 2 2 2.*.AE2=AP24-PE2=c2sin2a+c2cOs2a,4BF2=PB2+PF2=c2cos2a+。飞巾.4TOC\o"1-5"\h\z/bg?.7Ic2cos2ac2sin2a.9 9•()-=c」siXa十,r=+lcosyi,2 4 '2， 4.a2-b2c2sin2a,2)2・2i_c2cos2a•十= 十c"cosf十bsirra十 ,44 4 4Aa2+b2=5c2.(3)如答图3,连接AC,EF交于点H,AC与BE交于点Q,设BE与AF的交点为p.•・•点E,G分别是AD,CD的中点，，EG〃AC.VBE1EG,ABEXAC.。四边形ABCD是平行四边形,AAD/7BC,AD=BC=25,AZEAH=ZFCH.VE,F分别是AD,BC的中点,AAE=1AD,BF=1BC,2 2.*.AE=BF=CF=IAD=5.2・・・AE〃BF,・••四边形ABFE是平行四边形，AEF=AB=3,AP=PF.ZEAH=ZFCH,在AAEH和中，，/aHE=/FHC,AE=CF,.•.△AEH^ACFH,AEH=FH,AEP,AH分别是4AFE的中线，由(2)的结论得AF2+EF2=5AE2,AAF2=5(5)2-EF2=16,・・.AF=4.或连接F与AB的中点M,证MF垂直BP,构造出“中垂三角形"，由AB=3,BC=：AD=5及(2)中的结论，直接可求AF.210.我们定义：如图1,在aABC中，把AB绕点A顺时针旋转a((TVaV180。)得到AB1把AC绕点A逆时针旋转［3得到AC,连接BC.当a+p=180。时，我们称△ABC是AABC的“旋补三角形”,2^8935BC上的中线AD叫做aABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”.特例感知(1)在图2,图3中，△AB，U是AABC的“旋补三角形"，AD是AABC的“旋补中线”.①如图2,当^ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD=：BC；②如图3,当NBAC=90。,BC=8时,则AD长为4.猜想论证(2)在图1中，当AABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明.拓展应用(3)如图4,在四边形ABCD,ZC=90°,ZD=150°,BC=12,CD=2\5,DA=6.在四边形内部是否存在点P,使APDC是APAB的“旋补三角形”？若存在，解：（1）①:△ABC是等边三角形，・・・AB=BC=AC=AB，=AC1'.・DB』DC',AAD1BV.VZBAC=60°,/BAC+NB'AC'=180。，・・・NB'AC'=I2O。，・・・/B'=NC'=30。，/.AD=1AB,=，BC.2 2②.・・/BAC=90。，ZBAC+ZB'AC=180°,AZB/AC=ZBAC=90°.VAB=AB\AC=AC\/.△BAC^AB/AC,,VBrD=DC;/.AD=BV=BC=4.2 2(2匿论：AD=，C证明如下：如答图1,延长AD到M,使得AD=DM,连接B，M,CW.VBfD=DC\AD=DM,・••四边形AC'MB，是平行四边形，・・.AC'=BM=AC.第10题答图1•••/BAC+NB'AC'=180。,/B'AC'+/AB'M=180。,AZBAC=ZMB,A.VAB=AB,,AABAC^AAB'M,ABC=AM,AAD=BC.⑶存在.理由：如答图2,延长AD交BC的延长线于M,作BE1AD于E,作线段BC的垂直平分线交BE于P,交BC于F,连接PA,PD,PC,作4PCD的中线PN,

M/\C第10题答图2连接DF交PC于O.VZADC=150°,AZMDC=30°.在RtZXDCM中，CD=23,ZDCM=90°,ZMDC=30°,?.CM=2,DM=4,ZM=60°.在Rtz^BEM中，ZBEM=90°,BM=14,ZMBE=30°,AEM='bM=7,ADE=EM-DM=3.VAD=6,AAE=DE.VBE±AD,APA=PD,PB=PC.在Rtz^CDF中，CD=23,CF=6,AtanZCDF=3,/.ZCDF=60°=ZCPF,易证△FCPgZXCFD,・・・CD=PF「・・CD〃PF.••・四边形CDPF是矩形，・•・NCDP=90。，ZADP=ZADC-ZCDP=60°,.二△ADP是等边三角形，・・・NADP=60。.丁ZBPF=ZCPF=60°,JZBPC=120°,AZAPD+ZBPC=180°,

AAPDC是ZiPAB的“旋补三角形二在RtaPDN中，ZPDN=90°,PD=AD=6,DN=3,，PN=DN2+PD2=\r⑶叶6』39.考点4多边形几何探究11.【图形定义】如图，将正n边形绕点A顺时针旋转60。后，发现旋转前后两图形有另一交点0,连接AO,我们称AO为“叠弦”；再将“叠弦”AO所在的直线绕点A逆时针旋转60。后，交旋转前的图形于点P,连接PO,我们称NOAB为“叠弦角"，ZXAOP为“叠弦三角形、【探究证明】⑴请在图1和图2中选择其中一个证明：“叠弦三角形''(△AOP)是等边三角形.(2)如图2,求证：Z0AB=Z0AE/；【归纳猜想】(3)图I、图2中的“叠弦角”的度数分别为筌,242;(4)图n中，“叠弦三角形”是等边三角形(填,是'或"不是”)；⑸图n中，“叠弦角”的度数为飨二侬2.(用含n的式子表示)n

图3(〃=6)解：(1)・・•四边形ABCD是正方形,由旋转知，AD=AD\ZD=ZDz=90°,ZDAD'=ZOAP=60°,.*.ZDAP=ZD,AO,•••△APDg△AODgSA),AAP=AO.VZOAP=60°,•••△AOP是等边三角形；(2)如答图，作AM_LDE于M,作ANJ_CB于N.・・•五边形ABCDE是正五边形，由旋转知，AE=AE',NE=NE'=108。，ZEAE,=ZOAP=60°,/.ZEAP=ZE,AO.在RtZXAEM和RtZXABN中，NAEM=/ABN=72。，AE=AB,・•・RtAAEM^RtAABN(AAS),ZEAM=ZBAN,AM=AN.在RtZiAPM和Rt4AON中，AP=AO,AM=AN,/.RtAAPM^RtAAON(HL),AZPAM=ZOAN,・・・NPAE=NOAB,AZOAE*=ZOAB.(3)由(1)知，AAPD^AAOD",AZDAP=ZDrAO.- —]AD'=AB,在RtaADQ和Rtz^ABO中，Iao=ao