河南省焦作市高三5月第三次模拟考试理科数学试题

焦作市普通高中2021-2022学年高三年级第三次模拟考试理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（）A． B． C． D．2．已知复数的实部为1，且，则（）A． B．2 C． D．43．已知，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知数列是等差数列，，是方程的两根，则数列的前20项和为（）A． B． C．15 D．305．已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列条件不能推出的是（）A．，， B．，，C．，， D．，，6．某高科技公司为加强自主研发能力，研发费用逐年增加，统计最近6年的研发费用（单位：元）与年份编号得到样本数据，令，并将绘制成下面的散点图．若用方程对与的关系进行拟合，则（）A．， B．， C．， D．，7．小张接到4项工作，要在下周一、周二、周三这3天中完成，每天至少完成1项，且周一只能完成其中1项工作，则不同的安排方式有（）A．12种 B．18种 C．24种 D．36种8．已知数列满足，则（）A． B． C． D．9．将函数的图像向左平移个单位长度后得到函数的图像，若与的图象关于轴对称，则（）A． B． C． D．10．已知，分别是双曲线的左、右焦点，点A，B在上，若（为坐标原点），，则的面积为（）A．16 B．24 C．32 D．3611．在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．如图，在“阳马””中，底面，，A是棱的中点，点是棱上的动点，则当的周长最小时，三棱锥外接球的表面积为（）A． B． C． D．12．设，，，则（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数，若，则实数______．14．已知，是单位向量，若，则，的夹角为______．15．已知是定义在上的奇函数，其图象关于点对称，当时，，若方程的所有根的和为6，则实数的取值范围是______．16．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与交于A，B两点，满足且，则______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步聚．第题为必考题，每个试题軍生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，求．18．（12分）如图1，在矩形中，点E在边上，，将沿进行翻折，翻折后D点到达P点位置，且满足平面平面，如图2．（Ⅰ）若点F在棱上，且平面，求；（Ⅱ）求二面角的正弦值19．（12分）为了鼓励师生积极参与体育运动，某校举办运动会并设置了丰厚的奖励，甲同学报名参加了羽毛球和长跑比赛．甲在羽毛球比赛中顺利晋级到了决赛，决赛采用“五局三胜制”，先获胜三局的选手即获得冠军，甲在每局中获胜的概率均为，各局胜负相互独立．（Ⅰ）求甲获得羽毛球比赛冠军的概率（Ⅱ）长跑比赛紧接在羽毛球决赛后进行，由于连续比赛，体力受到影响，若羽毛球决赛局打3就结束，则甲在长跑比赛中有的概率跑进前十名，若羽毛球决赛局数大于3，则甲在长跑比赛中不可能跑进前十名．已知羽毛球比赛冠军奖金是300元，亚军奖金是100元，长跑比赛跑进前十名就获得100元奖金，没有其他奖项，求甲在这两项比赛中获得的奖金总额X（单位：元）的分布列．20．（12分）已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于点，且．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）过点作抛物线的两条互相垂直的弦，，设弦，的中点分别为P，Q，求的最小值．21．（12分）已知函数．（Ⅰ）当时，求在区间上的最值；（Ⅱ）若当时，不等式恒成立，求的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．［选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在极坐标系中，已知直线和曲线，以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立直角坐标系．（Ⅰ）求与的直角坐标方程；（Ⅱ）若与交于A，B两点，且点，求的值．23．［选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数．（Ⅰ）求不等式的解集；（Ⅱ）若对任意，不等式恒成立，求实数m的取值范围．焦作市普通高中2021-2022学年高三年级第三次模拟考试理科数学·答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．1．答案B命题意图本题考查集合的表示与运算．解析因为，，故．2．答案C命题意图本题考查复数的基本运算．解析设，则，，由题意，所以，所以3．答案A命题意图本题考查基本不等式的应用以及充分、必要条件的判断．解析根据基本不等式得，若，则．反过来，若，，满足，而，所以“”是“”的充分不必要条件．4．答案D命题意图本题考查等差数列的性质．解析，是方程的两根，所以，又是等差数列，所以其前20项和为．5．答案C命题意图本题考查空间位置关系的推理．解析根据C选项中的条件，平面，的关系无法确定．6．答案A命题意图本题考查回归分析的应用．解析因为，令，则与的回归方程为．根据散点图可知与正相关，所以．简单画出回归直线，可知回归直线的纵截距大于0，即，所以．7．答案C命题意图本题考查排列与组合的应用．解析先从4项工作中选1项安排在周一完成，再从剩下的工作中选2项安排在周二或周三，所以不同的安排方式有种．8．答案C命题意图本题考查数列的运算性质以及等比数列求和．解析因为，所以当时，，两式相减得，所以，又也适合该式，故．所以．9．答案B命题意图本题考查三角函数的图象与性质．解析由题意知，因为与的图象关于轴对称，所以，即，则或，．前面一种情况不能恒成立，后面一种情况令，得．10．答案B命题意图本题考查双曲线的性质．解析由，可知A，，B三点共线，且A，B两点都在双曲线的左支上，不妨设点在第二象限，由条件知，，所以，所以．设，则．在中，，即，解得．设，则．在中，，即，解得．所以．11．答案D命题意图本题考查多面体与球的有关计算．解析因为固定，所以要使的周长最小，只需最小．如图，将四棱雉的侧面沿展开，使得与矩形在同一个平面内，当P，E，F三点共线时，取得最小值．易得，，，．设的外接圆半径为，则．设三棱锥外接球的半径为，则，所以三棱锥外接球的表面积．12．答案A命题意图本题考查函数与导数、不等式的综合运用．解析因为，所以．设，则，令，则．当时，，，，所以，所以当时，，从而，因此，即．综上可得．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．答案命题意图本题考查分段函数．解析当时，由得，此方程无实数解；当时，由得，解得．14．答案命题意图本题考查平面向量的运算性质．解析设，的夹角为，因为，所以，所以，所以．15．答案命题意图本题考查函数的性质，图象的交点问题．解析方程的根转化为和的图象的公共点的横坐标，因为两个图象均关于点对称，要使所有根的和为6，则两个图象有且只有3个公共点．作出和的图象如图所示．当时，只需直线与圆相离，可得；当时，只需直线与圆相切，可得．故k的取值范围是．16．答案命题意图本题考查椭圆的性质．解析因为，，所以，．设，根据椭圆定义可得，所以．因为，所以，所以，即，解得．所以，则，，所以．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．命题意图本题考查正弦定理和三角恒等变换的应用．解析（Ⅰ）由条件及正弦定理得，因为，所以，所以，所以．因为，所以，所以．（Ⅱ）因为，，由正弦定理得，即，整理可得．由已知可得，所以，即，所以．18．命题意图本题考查线面平行的性质以及空间向量的应用．解析（Ⅰ）如图，在上取点，使得，连接，，则．因为平面，平面平面，所以，所以四边形是平行四边形，所以．又因为，所以．（Ⅱ）在平面内，过作，垂足为．以为坐标原点，，所在直线为x，y轴建立空间直角坐标系，如图所示．设，则，，，，所以，，．设平面的法向量为，则，即，令，则．设平面的法向量为，则，即，令，则．所以，设二面角的大小为，所以．19．命题意图本题考查相互独立事件的概率计算，随机变量的分布列．解析（Ⅰ）甲获得羽毛球比赛冠军有3种情况：①甲连胜3局，概率为；②前3局甲输1局，第4局甲胜，概率为；③前4局甲输2局，第5局甲胜，概率为．所以甲获得羽毛球比赛冠军的概率为．（Ⅱ）①羽毛球打3局获胜，长跑获奖，此时，概率为；②羽毛球打3局获胜，长跑末获奖，此时，概率为；③羽毛球打3局失败，长跑获奖，此时，概率为；④羽毛球打3局失败，长跑末获奖，此时，概率为；⑤羽毛球打4局或5局获胜，此时，概率为；⑥羽毛球打4局或5局失败，此时，概率为．所以，，，．即的分布列为X100200300400P20．命题意图本题考查抛物线的性质，抛物线与直线的位置关系．解析（Ⅰ）依题意，设．由抛物线的定义得，解得，因为在抛物线上，所以，所以，解得．故抛物线的方程为．（Ⅱ）由题意可知，直线的斜率存在，且不为0．设直线的方程为，，．联立，整理得，则，从而．因为是弦的中点，所以，同理可得．则，当且仅当且，即时等号成立，故的最小值为8．21．命题意图本题考查利用导数研究函数性质解析（Ⅰ）时，，所以．当时，，单调递减，当时，，单调递增，又，，，所以在上的最小值为，最大值为．（Ⅱ）由当时，不等式恒成立，可得恒成立．设，则．而，令，，故，则，若，则（不恒为零），即在区间上单调递减．所以当时，，符合题意．若，则，因为的图象是不间断的，故存在，使得，总有，在区间上单调递增，故，总有，这与题设矛盾．综上，实数的取值范围是．22．命题意图本题考查方程的互化以及参数方程的应用．解析（Ⅰ）对于，由可得，整理得，