高中物理求极值问题的研究 论文

高中物理求极值问题的研究摘要：本文系统归纳总结了高中物理中求极值的几种方法，主要包括运用数学方法中函数

图象、辅助角公式、基本不等式等方法求极值，以及运用临界值法求极值，还有运用动态分析法求极值等。

关键词：求极值、数学、函数图像、辅助角公式、基本不等式、临界值、动态分析、平抛运动、磁场、板块模型、电磁感应。

高中物理中求极值是一种常见的题型，学生在学习物理的过程中，在很多章节都会遇到这类问题。由于求极值的形式和方法都比较多，所以学生在处理这类问题时普遍感

到难度大，甚至不知所措直接放弃。出现这种状况的主要原因是由于我们通常只是孤立地思考各种求极值问题，并没有认真归纳它们的种类，也没有比较它们的区别与共性，

更没有总结解决这类问题的具体方法和解题技巧。本人在教学过程中认真总结了高中物理中求极值的各种方法，并提炼出了最主要的几种形式。现把处理这些问题的基本思路

和方法技巧总结出来供大家参考，希望对大家能有所帮助，不到之处还请多批评指正。一、运用数学方法求极值：

运用数学知识解决物理问题是物理中常用的方法。数学作为一门基础性学科，在生产、生活以及科学研究上都发挥着非常重要的作用。随着近几年大国之间激烈的科技竞

争，我国推出了强基计划，其中加强对数学的基础理论研究就是重要的一部分。学生在学习物理的过程中要善于运用数学方法解决物理问题，在近几年高考物理试卷中也加强

了对运用数学方法解题能力的考查。其中运用数学中的函数图像、辅助角公式以及基本不等式等方法求极值就是几种常见的解题方式，学生需要熟练地掌握并运用这几种方

法。下面我们通过几道例题来感受一下这几种方法的应用。例题

1、（2017·全国卷Ⅱ）如图

1

所示，半圆形光滑轨道固定

在水平地面上，半圆的直径与地面垂直，一小物块以速度

v

从轨道下端滑入轨道，并从轨道上端水平飞出，小物块落地点到轨

道下端的距离与轨道半径有关，此距离最大时，对应的轨道半径为(重力加速度为

g)(ꢀ

ꢀ)

222vvvA．

B．C．

4g16g

8g12

2vD．

2g1122解析：设物块滑到轨道最高点时的速度为v，根据动能定理有

mv

mv

2mgR

,

222可得

v

v

4gR

。随后物块从轨道最高点做平抛运动，由竖直方向上做自由落体运

14R

2动有

2R

gt

，可得

t

。再根据水平方向上做匀速直线运动得水平射程

2g22x

vt

16R

4v

R

。根据方程

y

16R

4v

22R的函数图象开口向下，所以当自

gg2v42vg变量R

时，因变量

y

取最大值，此时水平射程最大。(16)8g

2例题2、（2021年皖北协作区联考）物块在轻绳的拉力下沿倾角为30的固定斜面向上匀

速运动，轻绳与斜面平行，已知物块与斜面之间的动摩擦因数为

3

3，重力加速度取2g

10m

/

s

。若轻绳能承受的最大张力为

1500N，则物块的质量最大为（

）

A.150kgB.100

3kg

C.200kgD.2003kg

解析：学生在简单地认为拉力沿平行斜面向上的情况下，很容易错选成A选项。而实际上由于题目中并没有指明拉力的具体方向，所以拉力应如图2所示，且

~90范围内变化。这样物块在上滑过程中受力情况应如图

3所示，在夹角可以在

轴方向上有0yF

F

sin

mg

cos，可得：

F

mg

cosF

sin，而物块质量的最大值应出现在

NN其恰

好

匀

速

上

滑

的

过

程

中

。

所

以

在

x

轴

方

向

上

有

F

cos

mg

sin

f

，又

因

为

f

F

最,

终

可得

F

cos

mg

sin(mg

cosF

sin)

，

推

导后

有N22

m

F(cos

sin)

。

运

用数学辅助角公式的方法可变式

为g(sincos)

122F

1(

cossin)

21

1m

m，由

此公式可得质量的最大

值

g(sincos)F

1

1003kg。g(sincos)

例题3、如图4所示，将一小球（可视为质点）在距离地面一定高度处水平抛出，小球最后落到与抛出点水平

相距x的P点现。调节抛出点的高度使，该小球仍落到P点，若要小球落到P点的速率最小，则抛出点距离地面的高度

为多少（不计空气阻力）（）A．2x

B．xC．x

D．x242y解析：设小球某次平抛运动的抛出点距地面的高度为

h，则落地时竖直分速度由v

2gh

得

x2h

gv

2gh

，同时落地时水平分速度v

，而t

，所以vxx，所以落地时

yxtg2h

22gx

gx2x2y的末速度

v

v

v

2gh

。由数学基本不等式可知当

2gh2h

时v值最

2hx小，即h

。

2二、运用临界值法求极值：

运用临界值法求极值也是物理中一种常见的方法。在高中物理中用这种方法求极值的情况很多，例如在追及相遇问题中，为了避免两车发生相撞，通常会研究汽车的初速

度、刹车的加速度以及开始时两车间的距离等需要满足的条件问题。还比如在板块模型和传送带模型中，为了保证物块在木板或传送带上不发生相对滑动，或者不冲出木板或

传送带，通常会研究外力F的大小或物块初速度的大小等需要满足的条件问题。还有带电粒子在有界磁场中运动的问题中，为了让粒子不射出磁场区域，通常会研究粒子进入

磁场的初速度范围、磁感应强度

B需满足的条件以及粒子在磁场中运动时间的长短等问题。在分析处理这类问题时，要抓住变化过程中“刚好”、“恰好”等关键的临界状态，

从而将一个变化的范围问题转变成一个确定的定值问题，同时还要充分挖掘和利用临界32

状态下所特有的条件，最终运用相应的物理知识和物理规律求出临界值。通过临界值法我们不仅能够找到为了满足某个条件，某个物理量所具有的极值，也能得到它所需要满

足的范围。下面我们通过几道例题来感受一下这几种方法的应用。例题

4、

如图

5

所

示，在笔直的公路上前后有甲、乙两辆汽车分别

以

v甲

10m

/

s、v

18m

/

s

的速度匀速行驶。当甲、乙两车相距为

x

36m

时，为避免相乙撞乙车以某一加速度开始做匀减速直线运动。试通过计算求解为使两车不相撞乙车刹车

加速度的最小值amin?解析：以乙车刹车时为计时零点，则两者的v

t

图象如图

6

所示。由此图可知t0

后乙车

的速度将小于甲车，因此t0时刻若两车仍没有相撞，此后便不会再发生碰撞。所以所求最小加速度a

应出现在t0

时刻乙车刚好追上甲车（即恰好没有相撞）的这种临界状态

min下。此中情况两车在t0

时间内对应的位移差

x

-

x

x

，也可用图

6

中阴影图形面积表

乙甲1v

-

v

82，最终解得amin

m

/

s

。

9乙甲

示位移差。所以有

(v

-

v

）t

x

，又因t0

乙甲

02amin

例题

5、（2021

年全国乙卷）水平地面上有一质量

m

为的长木板，木板的左端上有一质1量为

m

的物块，如图

7（a）所示。用水平向右的拉力

F

作用在物块上，F

随时间

t

的

2变化关系如图

7（b）所示，其中

F

、F

分别为

t

、t

时刻

F

的大小。木板的加速度

a1

1212随时间t的变化关系如图7（c）所示。已知木板与地面间的动摩擦因数为

，物块与木1板间的动摩擦因数为

2

，假设最大静摩擦力均与相应的滑动摩擦力相等，重力加速度大

小为

g，则（

）A．

F

m

g

m

(m

m2

)1B．

F

(

)g21

1112m1

42

m

m2

1C．2

＞D．在0~t1时间段物块与木板加速度相等

1m1

解析：本题中的选项

B

也可以运用临界值法加以解决。通过图

7（c）可知t

时刻

m1开1始滑动，且在t

~

t

时间段内m

和m1

保持相对静止地一起向右加速运动。通过整体法可

122F

(m

m

)g

F121得此阶段其共同加速度

a

g

。设此阶段

m

对

m1

的静12

共mm

mm2121摩擦力大小为

f

，再通过隔离法对

m1

研究有

f

(m

m

)g

m

a

，进一步推导得

1211共

mF1f

m

g

。由上面公式可知在该段过程中随着拉力

F

的不断增大，m

对m1

212mm

12的静摩擦力

f

也将不断增大。当

f

增大到最大静摩擦力时两者将恰好出现相对滑动，而

mF12这个临界点就对应图中的

t2

时刻，所以有

m

g

fmax

m

g

，最终解得

2221mm

12m

(m

m2

)

21F

(

)g

。21

2m1

例题6、（2020年全国Ⅰ卷）一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图8中虚线所示，ab为半圆，ac、bd与直径ab共线，ac间的距离等于半圆的

半径。一束质量为m、电荷量为q（q＞0）的粒子，在纸面内从c点垂直于ac射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用，在磁场中运动时间最长的粒子，其

运动时间为（）7m

5m4qB

4m3qB

3m2qB

A．B．

C．D．

6qB

52

解析：随着粒子入射速度不断增大，粒子射出位置从半圆顶端向下移动,轨迹圆心角从π逐渐增大。当

ce

与半圆

ab

恰好相切时,轨迹圆心角最大,此时轨迹半径

rR,如图

9

所示,

4则此

时

轨

迹

对

应

的

最

大

圆

心

角

,所

以

粒

子

运

动

的

最

长

时

间

334p

T

=

32p

q2pm

=4p

m

,故选项C正确。qB3qB

t=´2p

三、运用动态分析法求极值：在物理问题中往往会出现多个量之间相互关联的情况，当某一个量发生改变

时，可能会形成连锁反应，导致各个量发生一连串的变化。在解决这类问题时，我们需要在理清各量之间关系的基础上，运用逻辑推理的方式分析出最终稳定状态所具有的特

点，并运用这些特点求出相应物理量的极值，这种题型能够很好的考查学生对知识点的掌握情况以及学生的逻辑思维能力。在高中物理中涉及动态分析求极值的例子很多，比

如汽车启动类问题、带电体在磁场中运动的问题、电磁感应中导轨类问题等。尤其是导轨类问题是高中物理教学内容中的一个重点知识，它综合性大、逻辑性强，通常还会围

绕牛顿第二定律、恒定电流、能量转化与守恒以及动量等相关知识展开考查，而运用动态分析的方法分析导体棒在导轨上的运动情况往往是解决这类问题的基础和关键。下面

我们通过几道例题来感受一下这种方法的应用。例题7、某汽车发动机的额定功率为60kW，汽车的质量为5t。若该汽车在水平路面上

保持额定功率不变从静止开始启动，求汽车所能达到的最大速度v

?

（已知汽车行驶m2过程中所受阻力恒为车重的

0.1

倍，g=10m/s

）

解析：如图为汽车启动过程中其在水平方向上的受力情况，由牛顿第二定律得汽车的加p

f

F

fv速度a

，又因

P

Fv

得a

。由此公式通过动态分析知，随着汽车的速度

mm62

不断增大，其加速度不断减小，直到加速度减为零后汽车开始做匀速直线运动，其vt图象如图11所示。所以汽车的最大速度出现在牵引力减小到等于阻力时，即

PPP

F

v

fv

，最终求得vm

12m/s。min

mmf0.1mg

例题8、如图12所示，一个

U形导体框架，其宽度L1m，框架平面与水平面的夹角30，其电阻可忽略不计，设匀强磁场与U形框架的平面垂直。匀强磁场的磁感应

强度

B

0.2T

。有一质量m

0.5kg

的导体棒

AB，其有效电阻

R

0.1

，跨接在

U

形框

架上，并且能无摩擦地滑动。求：导体棒AB由静止释放，其在导轨上滑动的最大速度vm

解析：导体棒在导轨上下滑过程中切割磁感线产生感应电流，其受力情况如图13所示，22mg

sin

B

L

v

根据牛顿第二定律得加速度

a

Gx

F安R。由公式可知随着速度

v逐mm渐增大，导棒的加速度

a逐渐减小，因此导棒做加速度逐渐减小的加速运动，直到加速度减为零后进入稳定状态以最大速度vm

做匀速直线运动，其v

t

图象如图

14

所示。从

22mg

sin

B

L

，即v

mgRsin

6.25m

/

sm22

BL而有

vm0R例题9、如图15所示，方向垂直纸面向里、磁感应强度B=0.5T的匀强磁场中，固定一

72

4个倾角

37的绝缘光滑斜面。一个质量

m=0.1g、带电荷量

q

4

10

C

的小滑块由

2静止沿斜面滑下，小滑块滑至某一位置时将离开斜面。已知sin370.6

，

g取10m

/

s

。

求物块在斜面上下滑的最大位移

x

?m解析：带电滑块在下滑的过程中其受力情况如图15所示，滑块在沿斜面下滑过程中