概率第一章到第三章知识点总结

千里之行，始于足下让知识带有温度。第第2页/共2页精品文档推荐概率第一章到第三章知识点总结第一讲随机大事及其概率

1.了解样本空间（基本领件空间）的概念，理解随机大事的概念，把握大事的关系及运算.

2?理解概率、条件概率的概念，把握概率的基本

性质，会计算古典型概率和几何型概率，把握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式，以及贝叶斯（Bayes）公式.

3.理解大事自立性的概念，把握用大事自立性举行概率计算；理解自立重复实验的概念，把握计算有关大事概率的办法■

主要内容与典型例题

一随机实验与随机大事

1.随机实验随机实验满足以下三个特点：

⑴实验的全部可能结果（不止一个）是确定的；

⑵每次实验会发生什么结果是无法事先预知的；

⑶实验可以在相同的条件下重复举行。但也有不少的随机实验不满足这个条件

2.样本点与样本空间实验的每一个可能结果称为样本点，用「表示。全部样本点组成的集合就是样

本空间，用门表示。

3.随机大事，基本领件，必定大事，不行能大事：样本空间的子集称为随机大事，简称大事,

用A，B,C等记之。由单个样本点构成的随机大事成为基本领件，样本空间门为必定大事，不含任何样本点的大事'称为不行能大事。

二大事的关系与运算

1.包含关系：大事A发生必导致大事B发生，记为A二B。

2.相等关系：若AB且BA。

n

3.并大事：A一B二｛A,B至少发生一个｝，A。

i=1

4.差大事：A-B二AB二｛A发生，B不发生｝

5.交大事：A'B二AB二｛A,B同时发生｝,

iJ

6.互斥大事：A和B不同时发生。

7.对立大事:A=｛A不发生｝,AA=i｝.

8.大事的运算律：

交换律：AB=BA,A"B=B-A；

结合律：ABC=(AB)C=A(B一C),

A~

B-

C=(A-B)-C=A-(B-C)；

分配律：(A一B)-C=AC一BC,(A-B)一C=(A一C)-(BC);

对偶律：AB=A'IB,A厂B=AB；

三大事的概率及其性质

1.定义:设随机实验的样本空间为'J，若对每个大事A，有且惟独一个实数P(A)与之对应,

并满足以下公理：

(1)(非负性)Q0(1兰iWn)。大事B满足

n

B=UBAi

则有

n

P(B)=迟P(Ai)P(BAi)。

i4

A,A2,…，An两两互斥，且P（A）A0（1。兰n），P（B）A0,事3.贝叶斯公式：设大事

件

B满足

n

B=UBAi

则有

P（A）P（B|A）

P（AB^。

送P（A）P（B|A）

7

其次讲随机变量及其分布

1.理解随机变量的概念，理解分布函数的概念及性质，会计算与随机变量相联系的大事的概率

2.理解离

散型随机变量及其概率分布的概念，把握0-1分布、二项分布、泊松(Poisson)分布及其应用.

3..理解延续型随机变量及其概率密度的概念，把握匀称分布、正态分布、指数分布及其应用■

4.会求随机变量函数的分布.

主要内容与典型例题

一随机变量及其分布函数、分布律与密度函数

1.随机变量对于给定的随机实验，“是其样本空间，若对；jr:.;:■■:,有且惟独一个实数XC)与

之对应，则称此定义在I、上的实值函数X为随机变量。

2.分布函数设X是一个随机变量，称函数

F(x)二P(X乞x)(-：：:::x：：■■■)

为随机变量的分布函数。

性质⑴0空F(x)乞1(-：：:::x0和Fg=

i0,other

0,

1-e「'x

x：

：0

f(x)才

记为X~E()。

6.正态分布密度函数为

1

_(x」

f(x)=|_e~2^(巴口都是常数，貯>0)

22

记作X~N(丄,二)。当」=0,二=1时，密度函数为

称X听从标准正态分布，记为X~N(0,1)。

性质①标准正态分布的密度函数为偶函数，所以有

G(-x)=1-G(x)，其中门(x)是

N(」M2)的分布函数。

2

X

②若X~N(J；「2)，则有

~N(0,1)，继而有b_#

不a_#

P(aXEb)二?->(

)-?■>()。

◎

a

三随机变量函数的分布

1.离散情形设离散型随机变量X的分布律为

XX1x

Xk

…P

P1

P2

-

p

k

…

则丫二g(X)的分布律为

Y=g（x）g（xj

gg）g（xQ…

P

P1

P2

-

p

k

…

其中g(xj、g(x2)、…、g(xQ、…具有各不相同的值。若g(x」的值中有相同的,

则应把那些相同的值分离合并，同时把对应的概率

pj相加。

2.延续情形设X的密度函数为fX(x),求丫二g(X)的密度函数的步骤为

⑴先求Y的分布函数：

Fy(y)二P(Y曲)二P(g(X)乞y)「曲)」fx(x)dx

X2

1—

f（X）

\*

⑵再求Y的密度函数：fY(y)=FY(y)。

第三讲多维随机变量及其分布

1.理解二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布，理解二维延续型随机变量的概率密度、边缘密度和条件密度，会求与二维随机变量相关大事的概率.

2.理解随机变量的自立性的概念，把握随机变量

互相自立的条件.

3.把握二维匀称分布，了解二维正态分布的概率密度，理解其中参数的概率意义.

4.会求两个随机变量容易函数的分布，会求多个互相自立随机变量容易函数的分布.

主要内容与典型例题

一二维随机变量及其分布函数

1.定义设实验E的样本空间为门，对于每一个样本点w门，都有确定的两个实数X(w)与

Y(w)之对应，称有序数对(X(w),Y(w))为二维随机变量(或二维随机向量)，简记为(X,Y)。并称X和Y是二维随机变量(X,Y)的两个重量。

2.分布函数设(X,Y)是二维随机变量，称二元函数

记为

F(x,y)=P{{X乞x}-{丫岂y}}二P{X乞x,Y岂y}，(-：：:::x,y：：：：)为二维随机变量(X,Y)的联合分布函数。

性质

⑴0辽F(x,y)乞1；且limF(x,y)=0；limF(x,y)=1；

x—jrbc

y)二y—?

对任一固定的x，limF(x,y)=0；

s

对任一固定的y,limF(x,y)=0；

x..

⑵F(x,y)关于x和y是单调不减的。

⑶F(x,y)关于x和y均为右延续函数。

X-bc

关于丫的边缘分布函数：FY(y)=limF(x,y)

x^-bc

4.自立性的判定X与Y自立=F(x,y)二Fx(x)FY(X)。

二二维离散型随机变量

1.定义假如二维随机变量

(X,Y)全部可能取值惟独有限多对或无穷可列多对，则称

(X,Y)为二维离散型随机变量。

2.联合分布律设二维离散型随机变量(X,Y)的全部可能取值为(为，yj),i,j二1,2,

且(X,Y)取各可能值得概率为

P{X=Xj,Y

=y

j}=p

j，i,j=

1,2

，

或写成表格形式：

则称⑴或⑵为(X,Y)的联合分布律。

性质①0乞pj空1,i,j=1,2，…；

②；二pj=1。

ij

閃

记成

3.X的边缘分布律：P{X二x]-apij

卩“(i=1,2，…)，

j壬

旳记成

丫的边缘分布律：P{Y=yj}=^Pij=P制(j=1,2/)。

i=1

4.自立性判定X与丫互相自立的充要条件是对一切i,j=1,2，…都有

P{X二洛,丫二yj}二P{X二人}P{Y=yj}.

三二维延续型随机变量

1.定义设F(x,y)为二维随机变量(X,Y)的联合分布函数，若存在一个非负可积的二元函

f(x,y)二fx(x)fY(y)

在f(x,y)、fX(x)、fY(y)的一切公共延续点上都成立。

四常见的二维分布

[1_

1.二维匀称分布联合密度函数为

f(x,y)二G的面积,(x,y'

G,

，其中G是

[0,

其它.

xoy平面上的某个区域，则称(X,Y)听从区域G上的匀称分布。

注在区域G上听从匀称分布的二维随机变量

(X,Y)，其取值可看作向平面G内随机地

投掷一点，而此点落入G内任何子区域内的概率与子区域的面积成正比，而与子区域的位置无关。

数f(x,y)，使得对于随意的实数

x、y，有

F(x,y)xy

二㈡二f(u,v)dudv。

则称(X,Y)为二维延续型随机变量

，称f(x,y)为(X,Y)的联合密度函数。

性质⑴f(x,y)_0；

f(x,y)dxdy=1；

设G是xoy平面上的区域，则(X,Y)落入区域G内的概率为

P{(X,Y)G}二f(x,y)dxdy。

G

在f(x,y)的延续点，有

2

:F(x,y):x.:y

=f(x,y)。

；：f(x,Y)dy，fY(y)

?口

(x,y)dx，

3.自立性判定X与丫互相自立的充要条件是

2.关于X的边缘密度函数:关于Y的边缘密度函数：

fx(X)二

2.二维正态分布联合密度为

(-：：:::x：：：：,-：：:：y：：■:：

),

其中叫，」2,二1,二2,「均为常数，且-10^2

0,|讣：1，则称(X,Y)听从二维正态

分布，记作(X,Y)~N(」1,?—2，打，')。

3.关于正态分布的结论

⑴设(X,Y)~Ne1』2，G2，；「；，‘)，则

2222

aXbY~N(a叫bj,a；「1bd2乃卜「1匕)；

且X和Y互相自立u::=0;但若仅仅有X~N(叫，打)，Y~Ne2f；)，则由卜-0不能推得X和Y互相自立；

⑵设(X,Y)~N(h宀，62,打，')，则X~N(r,G2)，Y~NCl2^f)；⑶设X和丫互相自立，且X~NCl1^12)，Y~N(」2,打)，a,b为常数，则

22(X,Y)~NL1』2,G卢2,0)

aXbY~N(a^bl2,a^12b^f)

22

X—已

特殊地，aXb~N(a=b,a=2)，

1

~N(0,1)。

a1

五两个随机变量函数的分布

1.离散情形

2.延续情形

设(X,Y)的联合密度为f(x,y)，求Z二g(X,Y)的密度函数