(用)含绝对值不等式的解法

(用)含绝对值不等式的解法12021/7/14星期三第一页，编辑于星期日：八点十五分。第1页，共68页。复习回顾：2.绝对值的意义：1.不等式的性质：第二页，编辑于星期日：八点十五分。第2页，共68页。第三页，编辑于星期日：八点十五分。第3页，共68页。202第四页，编辑于星期日：八点十五分。第4页，共68页。202第五页，编辑于星期日：八点十五分。第5页，共68页。220202第六页，编辑于星期日：八点十五分。第6页，共68页。220202第七页，编辑于星期日：八点十五分。第7页，共68页。022220202第八页，编辑于星期日：八点十五分。第8页，共68页。022220202第九页，编辑于星期日：八点十五分。第9页，共68页。问：为什么要加上a>0这个条件呢？如果a<0呢？a=0呢？题型一第十页，编辑于星期日：八点十五分。第10页，共68页。结论：第十一页，编辑于星期日：八点十五分。第11页，共68页。结论：第十二页，编辑于星期日：八点十五分。第12页，共68页。结论：第十三页，编辑于星期日：八点十五分。第13页，共68页。结论：第十四页，编辑于星期日：八点十五分。第14页，共68页。结论：第十五页，编辑于星期日：八点十五分。第15页，共68页。例题分析例1第十六页，编辑于星期日：八点十五分。第16页，共68页。题型二第十七页，编辑于星期日：八点十五分。第17页，共68页。题型二[例2]第十八页，编辑于星期日：八点十五分。第18页，共68页。类形去掉绝对值符号后解的含义区别|ax+b|<cc<ax+b<c{x|ax+b>c}∩{x|ax+b<c}|ax+b|>cax+b<c或ax+b>c{x|ax+b<c}∪{x|ax+b>c}第十九页，编辑于星期日：八点十五分。第19页，共68页。第二十页，编辑于星期日：八点十五分。第20页，共68页。【典例训练】1.不等式｜2x-3｜＞2的解集是______.2.不等式｜x2+3x-8｜＜10的解集是_______.第二十一页，编辑于星期日：八点十五分。第21页，共68页。【解析】1.由｜2x-3｜＞2得2x-3＞2或2x-3＜-2,解得x＞或x＜,故原不等式的解集是{x｜x＞或x＜}.答案：{x｜x＞或x＜}2.原不等式等价于-10＜x2+3x-8＜10,即⇒∴原不等式的解集是(-6,-2)∪(-1,3)答案：(-6,-2)∪(-1,3)第二十二页，编辑于星期日：八点十五分。第22页，共68页。【变式1】若把题1中不等式的左边改为>2呢？【解析】原不等式等价于答案：第二十三页，编辑于星期日：八点十五分。第23页，共68页。【变式2】解不等式2≤｜x-2｜≤4.【解析】原不等式等价于⇒⇒⇒-2≤x≤0或4≤x≤6.∴原不等式的解集为{x｜-2≤x≤0或4≤x≤6}.第二十四页，编辑于星期日：八点十五分。第24页，共68页。【典例训练】1.解不等式|x+1|+|x-1|≥3；第二十五页，编辑于星期日：八点十五分。第25页，共68页。【解析】1.方法一:如图,设数轴上与-1,1对应的点分别为A,B,（1）A,B两点间的距离为2,因此区间［-1,1］上的数都不是不等式的解.（2）设在A点左侧有一点A1到A,B两点的距离和为3,A1对应数轴上的x.所以-1-x+1-x=3,得x=-.（3）同理设B点右侧有一点B1到A,B两点的距离和为3，B1对应数轴上的x,所以x-1+x-(-1)=3.所以x=.第二十六页，编辑于星期日：八点十五分。第26页，共68页。从数轴上可看到，点A1，B1之间的点到A，B的距离之和都小于3；点A1的左边或点B1的右边的任何点到A，B的距离之和都大于3，所以原不等式的解集是(-∞,-］∪［,+∞).第二十七页，编辑于星期日：八点十五分。第27页，共68页。【方法二】（1）当x≤-1时,原不等式可以化为-(x+1)-(x-1)≥3,解得x≤-.（2）当-1＜x＜1时,原不等式可以化为x+1-(x-1)≥3,即2≥3.不成立,无解.（3）当x≥1时,原不等式可以化为x+1+x-1≥3.所以x≥.综上,可知原不等式的解集为{x|x≤-或x≥}第二十八页，编辑于星期日：八点十五分。第28页，共68页。方法三:将原不等式转化为|x+1|+|x-1|-3≥0.构造函数y=|x+1|+|x-1|-3,即-2x-3，x≤-1,y=-1，-1<x<1,2x-3，x≥1.作出函数的图象(如图).

第二十九页，编辑于星期日：八点十五分。第29页，共68页。函数的零点是-,,从图象可知当x≤-或x≥时,y≥0.即|x+1|+|x-1|-3≥0.所以原不等式的解集为(-∞,-］∪［,+∞).第三十页，编辑于星期日：八点十五分。第30页，共68页。【典例训练】1.不等式｜2x-3｜＜3x+1的解集是_________.2.解关于x的不等式｜logaax2｜＜｜logax｜+2.

第三十一页，编辑于星期日：八点十五分。第31页，共68页。(一)形如|f(x)|<a,|f(x)|>a(a∈R)型不等式解法：等价转化法，①当a>0时，|f(x)|<a⇒-a<f(x)<a.|f(x)|>a⇔f(x)>a或f(x)<-a.

②当a=0时，|f(x)|<a无解.|f(x)|>a⇔f(x)≠0.③当a<0时，|f(x)|<a无解.|f(x)|>a⇔f(x)有意义.常见题型解法归类第三十二页，编辑于星期日：八点十五分。第32页，共68页。

(二)|x-a|+|x-b|≥c和|x-a|+|x-b|≤c型不等式的解法(1)利用绝对值不等式的几何意义求解.(2)以绝对值的零点为分界点,将数轴分为几个区间,利用“零点分段讨论”求解.(3)通过构造函数，利用函数的图象求解.第三十三页，编辑于星期日：八点十五分。第33页，共68页。(三)形如|f(x)|<g(x),|f(x)|>g(x)型不等式解法:等价转化法，即①|f(x)|<g(x)⇔-g(x)<f(x)<g(x),②|f(x)|>g(x)⇔f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)(其中g(x)可正也可负).若此类问题用分类讨论法来解决，就显得较复杂.第三十四页，编辑于星期日：八点十五分。第34页，共68页。(四)形如a<|f(x)|<b(b>a>0)型不等式解法：等价转化法，即a<|f(x)|<b(0<a<b)⇔a<f(x)<b或-b<f(x)<-a.(五)形如|f(x)|<f(x),|f(x)|>f(x)型不等式解法：绝对值的定义，即|f(x)|<f(x)⇔x∈，|f(x)|>f(x)⇔f(x)<0.第三十五页，编辑于星期日：八点十五分。第35页，共68页。【熟能生巧】1.解不等式|x|+|x-3|≤5.第三十六页，编辑于星期日：八点十五分。第36页，共68页。.方法一几何意义：是数轴上到0和3两点的距离之和不超过5的x的范围,结合数轴易得出-1≤x≤4,所以原不等式的解集为［-1,4］.第三十七页，编辑于星期日：八点十五分。第37页，共68页。方法二:原不等式|x|+|x-3|≤5可等价转化为或或解不等式组得-1≤x≤4.所以原不等式的解集为{x|-1≤x≤4}.第三十八页，编辑于星期日：八点十五分。第38页，共68页。【思考】求解此类不等式的关键是什么？提示：关键是理解绝对值的几何意义.第三十九页，编辑于星期日：八点十五分。第39页，共68页。【变式训练】解不等式：｜3x-5｜-｜x+2｜＜4.【解析】（1）当x≤-2时，不等式可化为5-3x+x+2＜4,解得x＞

,与x≤-2矛盾；（2）当-2＜x＜

时，不等式可化为5-3x-x-2＜4,解得x＞-

,故-

＜x＜

为不等式的解集；（3）当≤x时，不等式可化为3x-5-x-2＜4,解得x＜,故≤x＜也为不等式的解集.综上，原不等式的解集为{x｜-＜x＜}.第四十页，编辑于星期日：八点十五分。第40页，共68页。【解析】1.解题流程.答案：(，+∞)审题转化|2x-3|<3x+1由题意知3x+1>0,原不等式转化为-(3x+1)<2x-3<3x+1求解结论

以上不等式等价于第四十一页，编辑于星期日：八点十五分。第41页，共68页。2.原不等式可化为｜1+2logax｜＜｜logax｜+2，两边平方得4(logax)2+4logax+1＜(logax)2+4｜logax｜+4，由定义去掉绝对值符号可得：(1)⇒0≤logax＜1.(2)⇒-3＜logax＜0,综上(1)(2)可知-3＜logax＜1,故当a＞1时，原不等式的解集为{x｜a-3＜x＜a}；当0＜a＜1时，原不等式的解集为{x｜a＜x＜a-3}.第四十二页，编辑于星期日：八点十五分。第42页，共68页。【思考】解答题2的易错点是什么？提示：易错点是忽略分类讨论而导致错解.第四十三页，编辑于星期日：八点十五分。第43页，共68页。【变式训练】解不等式｜x-x2-2｜＞x2-3x-4.【解析】∵｜x-x2-2｜=｜x2-x+2｜,而x2-x+2=(x-)2+＞0,∴｜x-x2-2｜=｜x2-x+2｜=x2-x+2,故原不等式等价于x2-x+2＞x2-3x-4,∴x＞-3,故原不等式的解集为{x｜x＞-3}.

第四十四页，编辑于星期日：八点十五分。第44页，共68页。含参数的绝对值不等式的解法【技法点拨】含参数的不等式问题分类及解题策略

(1)一类要对参数进行讨论，另一类对参数并没有进行讨论，而是去绝对值时对变量进行讨论，得到两个不等式组，最后把两不等式组的解集合并，即得该不等式的解集.第四十五页，编辑于星期日：八点十五分。第45页，共68页。(2)解绝对值不等式的基本思想是想方设法，去掉绝对值符号，去绝对值符号的常用手段有以下几种：①形如｜f(x)｜≤g(x)或｜f(x)｜>g(x)的求解方法:(ⅰ)根据实数的绝对值的意义分类讨论，即|a|=；a(a≥0)-a(a<0)第四十六页，编辑于星期日：八点十五分。第46页，共68页。(ⅱ)根据公式:|x|<a⇔-a<x<a(a∈R且a>0)；｜f(x)｜<g(x)⇔-g(x)<f(x)<g(x)；|x|>a⇔x>a或x<-a(a∈R且a≥0)；｜f(x)｜>g(x)⇔f(x)>g(x)或f(x)<-g(x).(ⅲ)根据|a|2=a2(a∈R)，若不等式两边非负,可在不等式两边同时平方,如｜f(x)｜≤｜g(x)｜⇔f2(x)≤g2(x).第四十七页，编辑于星期日：八点十五分。第47页，共68页。②若不等式中有两个或两个以上含有未知数的绝对值的项，一般用数形结合法(包括几何法、图象法)和区间讨论法.数形结合法是根据绝对值的意义在数轴上找对应满足题意的数，直接写出解集,或构造函数,画出图象,由图象直接写出未知数的取值范围,得出解集；区间讨论法是先求出每个含绝对值符号的代数式等于零的未知数的值，将这些值依次标在数轴上，这样数轴被分成若干个区间，这若干个区间内的不等式的解集的并集即为原不等式的解集.分段讨论时，注意不要遗漏分段的端点.第四十八页，编辑于星期日：八点十五分。第48页，共68页。【典例训练】1.设函数f(x)=|x-1|+|x-a|,如果对任意x∈R,f(x)≥2,则a的取值范围是_____.2.(2011·新课标全国高考)设函数f(x)=|x-a|+3x,其中a>0.(1)当a=1时，求不等式f(x)≥3x+2的解集；(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤-1}，求a的值.第四十九页，编辑于星期日：八点十五分。第49页，共68页。【解析】1.若a=1,则f(x)=2|x-1|,不满足题设条件.若a<1,则f(x)=-2x+a+1,x≤a

1-a,a<x<1,

2x-(a+1),x≥1⇒f(x)的最小值为1-a.若a>1,则f(x)=-2x+a+1,x≤1

a-1,1<x<a

2x-(a+1),x≥a⇒f(x)的最小值为a-1.第五十页，编辑于星期日：八点十五分。第50页，共68页。综上可知，所求a的取值范围是(-∞,-1］∪［3,+∞).答案：(-∞,-1］∪［3,+∞)2.(1)当a=1时,f(x)≥3x+2可化为|x-1|≥2.由此可得x≥3或x≤-1.故不等式f(x)≥3x+2的解集为{x|x≥3或x≤-1}.第五十一页，编辑于星期日：八点十五分。第51页，共68页。(2)由f(x)≤0得|x-a|+3x≤0,将此不等式化为不等式组或即或因为a>0,所以不等式组的解集为{x|x≤}.由题设可得=-1,故a=2.

第五十二页，编辑于星期日：八点十五分。第52页，共68页。【易错误区】绝对值不等式变形不等价致误

【典例】不等式｜x+2｜-｜2x-1｜≥1的解集是_________.【解题指导】第五十三页，编辑于星期日：八点十五分。第53页，共68页。(ⅱ)(ⅲ)∴(ⅰ)无解，(ⅱ)的解集为0≤x＜,(ⅲ)的解集为≤x≤2.综上(ⅰ),(ⅱ),(ⅲ)取并集②，得原不等式的解集为［0，2］.答案：［0，2］【解析】原不等式等价于

①(ⅰ)第五十四页，编辑于星期日：八点十五分。第54页，共68页。【阅卷人点拨】通过阅卷后分析，对解答本题的常见错误及解题启示总结如下：(此处的①②见解析过程)第五十五页，编辑于星期日：八点十五分。第55页，共68页。第五十六页，编辑于星期日：八点十五分。第56页，共68页。【即时训练】函数f(x)=｜2x+1｜-｜x-4｜的最小值是_____.【解析】令y=｜2x+1｜-｜x-4｜,则

-x-5,x≤-,y=3x-3,-＜x＜4,

x+5,x≥4.在一个坐标系中分别画出以上分段函数，由图象可知，当x=-时，y=｜2x+1｜-｜x-4｜取得最小值.答案：第五十七页，编辑于星期日：八点十五分。第57页，共68页。1.若集合M={x｜｜x|≤2},N={x｜x2-3x=0}，则M∩N=()(A){3}(B){0}(C){0,2}(D){0,3}【解析】选B.M={x｜-2≤x≤2},N={0,3},∴M∩N={0}.第五十八页，编辑于星期日：八点十五分。第58页，共68页。2.不等式|2x-log2x|<|2x|+|log2x|的解为()(A)1<x<2(B)0<x<1(C)x>1(D)x>2【解析】选C.由|a-b|≤|a|+|b|,其中等号成立的条件为：ab≤0,∴原不等式成立，即2x·log2x>0,∴x>1.第五十九页，编辑于星期日：八点十五分。第59页，共68页。3.