高一第1讲 集合的概念与表示（学生版）

第1讲集合的概念与表示一．知识精讲知识点一：集合的概念一般地，某些的对象组合在一起就成为一个集合（set），简称“集”．一般用大括号表示集合，如：我们学校的篮球队．知识点二：常见集合及其记法（1）自然数集（非负整数集）：全体非负整数的集合，记作． （2）正整数集：自然数集内排除0的集合，记作． （3）有理数集：全体有理数的集合，记作． （4）实数集：全体实数的集合，记作． （5）整数集：全体整数的集合，记作．知识点三：集合与元素的关系 我们把集合中的每个对象叫做这个集合的元素．集合中的元素常用小写的拉丁字母表示，而集合则用大写的拉丁字母表示． （1）属于：如果是集合的元素，就说属于，记作 （2）不属于：如果不是集合的元素，就说不属于，记作注意：与不同：表示一个，表示一个，该集合只有一个元素．知识点四：集合中元素的特性 （1）确定性：是指集合中的元素是确定的，即任何一个元素都能明确它某个集合的元素，二者必居其一，它是判断一组对象是否形成集合的标准，如“高个子同学”，“高个子”便是一个含混不清的概念，具有相对性，没有统一的标准，不确定． （2）互异性：是指给定一个集合的元素中，都是不同的，因而在同一个集合中，不能重复出现同一个元素． （3）无序性：是指集合与其中元素的无关,只要构成这两个集合的元素一样，就称这两个集合相等．知识点五：集合的分类（按集合中元素的个数可分为以下几类） （1）有限集：含有个元素的集合，如：中国古代的四大发明组成的集合； （2）无限集：含有个元素的集合，如:所有自然数组成的集合； （3）空集：的集合，用表示，如：方程的解构成的集合．知识点六：集合的表示方法（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法．如：由方程的所有解组成的集合可以表示为． （2）描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法．格式：．如：所有的直角三角形的集合可以表示为是直角三角形；；． （3）图示法（维恩图）：用一条封闭曲线的内部表示一个集合的方法．二．经典例题题型一：集合的概念【例1】判断下列对象能否组成集合：①高一（1）班成绩较好的同学；②2022年度诺贝尔经济学奖获得者；③立方接近0的正数；④2022运动会比赛项目；题型二：集合中元素的特征【例2】若，求实数的值．【变式】集合中的不能取的值有个．【例3】已知，且，试求的值．【变式】已知，若，则________．题型三：集合的表示方法【例4】下面三个集合：①，②，③．问：（1）它们是不是相同的集合？（2）它们的各自的含义是什么？【变式】设为非零实数，则的所有值组成的集合为（）A． B． C． D．题型四：集合与元素的关系【例5】设集合,（1）试判断元素1和2与集合的关系；（2）用列举法表示集合．【变式】设集合,用列举法表示集合．【例6】若数集满足：若，则．求证：（1）若，则中另有两个元素；（2）集合不可能是单元素集；（3）集合中至少有三个不同的元素．【变式】已知集合的元素全为实数，且满足：若，则．（1）若，求出中其它所有元素；（2）0是不是集合中的元素？请你设计一个实数，再求出中的所有元素？（3）根据（1）（2），你能得出什么结论．题型五：集合中的新定义问题【例7】已知，定义集合间的运算且，则等于（）． A． B． C．D．【变式】集合由正整数的平方组成，即，若对某集合中的任意两个元素进行某种运算，运算结果仍在此集合中，则称此集合对该运算是封闭的，对下列集合运算封闭的是（）A．加法 B．减法C．乘法 D．除法题型六：综合应用【例8】已知集合，集合，当时，求集合．【例9】已知集合． （1）若是空集，求的取值范围； （2）若中只有一个元素，求的值，并把这个元素写出来； （3）若中至多只有一个元素，求的取值范围．【例10】集合,（1）若，问：是否有使成立？（2）对于任意是否一定有且？证明你的结论．【拓展】已知集合．是否存在实数，使得集合中所有整数的元素和为28？若存在，求出，若不存在,请说明理由．

课后作业一．基础过关1．下列各条件：①充分接近的实数的全体；②大于0小于20的自然数的全体；③实数中不是有理数的所有数；④数轴上到原点的距离大于2的点的全体．其中能确定一个集合的是（） A．①②③ B．①②④ C．②③④D．①③④2．用符号或填空：6．3．下列各组集合表示同一集合的为（）A．B．C．D．4．集合．5．集合，集合，且，则有（） A．B．C．D．二．延伸拓展6．设，则集合中所有元素之和为．7．对任意两个正整数，定义某种运算（用表示运算符