解数学问题美的原则

解数学问题美的原则第1页，共24页，2023年，2月20日，星期四解数学问题—对称性原则对称性给人一种圆满而匀称的美感与享受。数学中对立统一的概念、运算、命题、图形等在结构与形式的很多方面体现对称美。数学解题可以从对称美的角度出发，或分析式子的对称、或变换调整对称元素关系、或补形构造对称等等，这常能打开我们的解题思路、优化解题过程。虽然数学没有明显地提到善和美，但善和美也不能和数学完全分离。因为美的主要形式就是秩序、匀称和确定性，这些正是数学所研究的原则。——亚里士多德第2页，共24页，2023年，2月20日，星期四解数学问题—对称性原则例1、设有一直角QOP，试在OP边上求一点A，在OQ边上求一点B，在直角内求一点C，使BC+CA等于定长l，且使四边形ACBO的面积最大。

分析：从条件看，动点太多，难于直接确定点的位置。由命题“周长一定的凸边形中，以正边形的面积为最大”，但需要补形？？？第3页，共24页，2023年，2月20日，星期四解数学问题—对称性原则例1、设有一直角QOP，试在OP边上求一点A，在OQ边上求一点B，在直角内求一点C，使BC+CA等于定长l，且使四边形ACBO的面积最大。

第4页，共24页，2023年，2月20日，星期四解数学问题—对称性原则例2、若y=x2(0≤x≤1)与x=1，x轴围成的图形面积是1/3，那么y=x2与(0≤x≤1)围成的图形面积是多少？分析：不规则图形的面积，如何求？如何变成规则的？第5页，共24页，2023年，2月20日，星期四解数学问题—对称性原则例2、若y=x2(0≤x≤1)与x=1，x轴围成的图形面积是1/3，那么y=x2与(0≤x≤1)围成的图形面积是多少？

第6页，共24页，2023年，2月20日，星期四解数学问题—对称性原则例3、求y=cosx(0≤x≤2π)与y=1围成的图形面积分析：不规则图形的面积，如何求？如何变成规则的？第7页，共24页，2023年，2月20日，星期四到底是什么使我们感到一个解答，一个证明优美呢?那就是为了部分之间的和谐、对称，恰到好处的平衡。一句话，那就是井然有序，统一协调，从而使我们对整体以及细节都能有清楚的认识和理解，这正是产生伟大成果的征兆。——庞加莱解数学问题—和谐性原则对称是和谐美的一种表现之一。除了对称，和谐美有广泛含义，包括不同数学对象或同一对象的部分与整体所存在的内在统一规律。在数学解题中，可以从条件与结论的和谐，数、式、形的和谐、解题方法与思维策略的和谐等方面来探寻解题思路。和谐美的原则能够导向我们解题思路的自然流淌，迅速制定解题计划与策略。第8页，共24页，2023年，2月20日，星期四解数学问题—和谐性原则第9页，共24页，2023年，2月20日，星期四解数学问题—和谐性原则第10页，共24页，2023年，2月20日，星期四解数学问题—和谐性原则分析：表面上看，不等式两边一边是式，一边是数，风马牛不相及。仅考虑左边，可以将左边转化为柯西不等式来证明，但这需要化简技巧。从两边考虑，应该和谐共处，左边每个不等式应该能够化简到分子分母可以约掉的情况。第11页，共24页，2023年，2月20日，星期四解数学问题—和谐性原则第12页，共24页，2023年，2月20日，星期四解数学问题—和谐性原则分析：不等式左边是n个自然数的倒数之和，而右边是一个超越型的对数式，不属于“同类”，对求实数a的范围阻碍较大，和谐性原则告诉我们，得先化简左边的和式。第13页，共24页，2023年，2月20日，星期四没有一个极美的东西不是在匀称中有着某种奇特。美在于奇特而令人惊异。——培根解数学问题—奇异性原则数学中奇异是指数学理论延伸、或方法拓广、或和谐性遭到破坏后，而产生新奇或变异的理论与方法等。追求奇异是创新的导火线。但这种奇异美与前述的和谐美是相互对立而统一的关系，必须把它们结合起来，以能在新的高度达到更好的和谐与统一。在数学解题中，追求奇异美则导向方法的奇思妙想、结论的新颖奇特，使人感到“既在情理之中，又在意料之外”。第14页，共24页，2023年，2月20日，星期四解数学问题—奇异性原则据考证，勾股定理的发现超过4000年，它是改变人类50大科学定理之一，是世界上证明方法最多的定理，超过500多种。“无字证明或图说”(proofwithoutwords)的一种是最值得推崇的。例7、勾股定理的证明方法与推广。第15页，共24页，2023年，2月20日，星期四解数学问题—奇异性原则例7、勾股定理的证明方法与推广。stsin(α+β)=(scosα)(tsinβ)+(ssinα)(tcosβ)

第16页，共24页，2023年，2月20日，星期四解数学问题—奇异性原则例8、分析：两个等式中既含有代数式x3和4y3，又含有超越式sinx和sinxsiny，不和谐，需要通过参数ａ联系!第17页，共24页，2023年，2月20日，星期四在数学解题中，应以简单、自然为上。——单墫解数学问题—简单性原则简单性既是数学美的直观显现，又深刻反映数学的内在美。简单美不仅包括数学结果的简单，譬如数学符号的简单，而且也包括了获得数学结果的过程的简单，譬如思维过程，应该从简单开始。追求简单、明快是数学发现的重要因素之一。第18页，共24页，2023年，2月20日，星期四解数学问题—奇异性原则例9、求证：对任意实数a>1，b>1都有不等式分析：从不等式左边看，具有某种对偶，不妨构造对偶式。，

第19页，共24页，2023年，2月20日，星期四解数学问题—奇异性原则例9、求证：对任意实数a>1，b>1都有不等式，

第20页，共24页，2023年，2月20日，星期四解数学问题—简单性原则，

第21页，共24页，2023年，2月20日，星期四解数学问题—简单性原则，

第22页，共24页，2023年，2月20日，星期四你想学会游泳，你就必须下水，你想成为解题的能手，你就必须去解题。——波利亚寻找题解不能教会,而只能靠自己学会。——弗里德曼与大家共勉你想学会游