安徽省淮南市高三下学期二模数学（理）试题

2022届安徽省淮南市高三下学期二模数学（理）试题一、单选题1．已知集合，，则A． B． C． D．【答案】D【解析】解出集合、中的不等式即可【详解】易得，，所以，故选：D.【点睛】本题考查的是集合的运算及指数不等式的解法，较简单.2．己知复数z满足（i为虚数单位），则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用复数的除法法则求解出复数z，从而求出复数【详解】由题意得：，所以故选：A3．1947年，生物学家MaxKleiber发表了一篇题为《bodysizeandmetabolicrate》的论文，在论文中提出了一个克莱伯定律：对于哺乳动物，其基础代谢率与体重的次幂成正比，即，其中F为基础代谢率，M为体重．若某哺乳动物经过一段时间生长，其体重为原来的10倍，则基础代谢率为原来的（参考数据：）（

）【答案】C【分析】利用幂的运算性质去求解即可解决【详解】设该哺乳动物原体重为、基础代谢率为，则，经过一段时间生长，其体重为，基础代谢率为，则则，则故选：C4．已知等差数列的前n项和为，若，则（

）A．8 B．12 C．14 D．20【答案】D【分析】依据等差数列的性质去求的值【详解】等差数列的前n项和为，，则，，，构成首项为2，公差为2的等差数列则+()+()+()=2+4+6+8=20故选：D5．盒中装有形状大小相同的球6个，其中红球3个，编号为1、2、3，蓝球3个，编号为4、5、6，从中取2球，则两球颜色不同，且编号之和不小于7的概率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】依据古典概型去求两球颜色不同，且编号之和不小于7的概率【详解】记“从盒中取2球，两球颜色不同，且编号之和不小于7”为事件A则故选：B6．已知，则（

）A． B． C．或 D．0或【答案】A【分析】根据同角三角函数关系求出，，凑角法求出或，舍去不合题意的解，得到答案.【详解】因为，所以，因为，所以，因为，所以当时，，因为，所以，故满足题意，当时，因为，故不合题意，舍去；故选：A7．抛物线的焦点为F，准线为l，过点F作倾斜角为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，，垂足为K，若的面积是，则p的值为（

）A．1 B．2 C． D．3【答案】B【分析】根据抛物线的定义，结合条件，可得的形状，进而可得三角形的边长，进而可得.【详解】根据抛物线的定义可知，，又，，故是等边三角形，又的面积是，故可得，故.故选：B.8．函数（其中）的图象如图所示，下列4个命题中错误的是（

）A．向左平移个单位长度后图象关于y轴对称B．向右平移个单位长度后的图象关于坐标原点对称C．是它的一个对称中心D．单调递减区间是【答案】D【分析】根据图象求得解析式，然后结合三角函数图象变换、三角函数的对称性、单调性对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】根据图象可知，，，，根据的图象可知，所以，.A选项，根据图象可知，关于直线对称，所以向左平移个单位长度后图象关于y轴对称，A选项命题正确.B选项，向右平移个单位长度后得，图象关于原点对称，B选项命题正确.C选项，，所以是的一个对称中心，C选项命题正确.D选项，，所以的减区间为，D选项命题错误.故选：D9．对任意的，函数满足．若函数在区间上既有最大值又有最小值，则函数的最大值与最小值之和为（

）A．0 B．2 C．4 D．8【答案】C【分析】结合函数的奇偶性求得正确答案.【详解】依题意对任意的，函数满足，，所以函数为奇函数，，令（），，所以为奇函数，所以区间上的最大值与最小值之和为，所以，所以函数的最大值与最小值之和.故选：C10．从双曲线的左焦点引圆的切线，切点为T，延长交双曲线右支于P点，M为线段的中点，O为坐标原点，若，则双曲线的离心率为（

）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】先求得的关系，再去求双曲线的离心率【详解】设双曲线的右焦点，连接,则△中，,，则由直线与圆相切，可得又双曲线中，则又，则，整理得两边平方整理得，则双曲线的离心率故选：B11．正方体的棱长为1，点E，F，G分别为，、中点，现有下列4个命题：①直线与直线垂直；②直线与平面平行；③点C与点G到平面的距离相等；④平面截正方体所得的截面面积为．其中正确的是（

）A．①③ B．②③ C．②④ D．①④【答案】C【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法判断①③的正确性；画出平面截正方体所得的截面,由此判断②④的正确性.【详解】建立如图所示空间直角坐标系，，，，所以①错误.，设平面的法向量为，则，故可设.，所以到平面的距离为，，所以到平面的距离为，所以③错误.根据正方体的性质可知，四点共面，，所以平面截正方体所得的截面为等腰梯形，根据正方体的性质可知，由于平面，平面，所以平面，所以②正确.等腰梯形的高为，所以等腰梯形的面积为，④正确.所以正确的为②④.故选：C12．已知，若，则a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用同构构造，得到，结合的单调性，得到，构造，求出其最大值，得到a的取值范围.【详解】由题意得：，又因为，所以，，即，所以，设，则，，所以单调递增，所以，因为，所以，令，，则，当时，，当时，，故在处取得极大值，也是最大值，，故.故选：A【点睛】同构构造函数，求解参数取值范围问题，通常适用于方程或不等式同时出现了指数函数与对数函数，此时利用同构构造函数，往往会是解题的突破口.二、填空题13．已知实数x，y满足条件，若目标函数的最大值为6，则实数________．【答案】4【分析】依据线性规划去求实数的值【详解】画出不等式组表示的平面区域如下由，可得，由点在直线上，可得，则故答案为：414．3D打印又称增材制造，是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术为了培养青少年的创新意识和应用技能，某学校成立了3D打印社团，学生们设计了一种几何体，其三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为），如果这种打印原料的密度为，不考虑打印消耗，则制作该模型所需原料的质量约为_______g．（取3.14）【答案】【分析】先依据三视图去求该几何体的体积，再去求其质量【详解】该几何体下半部为底面半径为1高为1的圆柱，上半部为半径为1的球体的四分之一，则该几何体的体积为故制作该模型所需原料的质量故答案为：15．已知平面向量的夹角为，且，则的最大值为________．【答案】2【分析】对两边平方后得到，利用基本不等式求出.【详解】，两边平方得：，即，变形为，其中，当且仅当时等号成立，所以，解得：故答案为：216．中，为边上的中线，，则的取值范围是________．【答案】【分析】结合向量数量积的运算求得的关系式，设代入上述关系式，结合一元二次方程根的分布求得，也即的取值范围.【详解】设，为正数，依题意：中，为边上的中线，，，两边平方得，，①，设，代入①得，整理得②，此方程至少有个正根，首先，解得③，在三角形中，由余弦定理得恒成立，即恒成立，整理得恒成立，由于，当且仅当时等号成立，所以，结合③可得.对于方程②：若对称轴，方程②变为，符合题意.若对称轴，则方程②至少有一个正根，符合题意，若对称轴，要使方程②至少有一个正根，则需，解得.综上所述，也即的取值范围是.故答案为：【点睛】有关三角形中线长度问题的求解，可考虑利用向量运算来建立关系式.有关三角形边长的和、差的取值范围，可考虑余弦定理（或正弦定理），结合基本不等式（或三角函数的取值范围）等知识来求解.三、解答题17．已知数列满足：，对，都有．(1)设，求证：数列是等比数列；(2)设数列的前n项和为，求．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）利用变形得到，从而证明出结论；（2）求出，分组进行求和.【详解】(1)因为，所以．又，所以，化简得：．因为，所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列．(2)由（1）可得：，所以，所以．18．在某种产品的生产过程中，需对该产品的关键指标进行检测为保障产品质量，检验员在一天的生产中定期对生产线上生产的产品进行检测每次检测要从该产品的生产线上随机抽取20件进行检测，测量其关键指标数据．根据生产经验，可以认为这条产品生产线正常状态下生产的产品的关键指标数据服从正态分布，在检测中，如果有一次出现了关键指标数据在之外的产品，就认为这条生产线在这一天的生产过程出现了异常情况，需对本次的生产过程进行检查．(1)下面是检验员在一次抽取的20件产品的关键指标数据：经计算得．其中为抽取的第i件产品的关键指标数据，．用样本平均数作为的估计值，用样本标准差s作为的估计值，利用估计值判断是否需对本次的生产过程进行检查？(2)如果一天内共进行四次检测，若有连续两次出现生产过程检查，则需停止生产并对生产设备进行检修．试求一天中需对生产设备进行检修的概率（精确到0.001）．附：若随机变量X服从正态分布，则，，，，．【答案】(1)需对本次的生产过程进行检查【分析】（1）根据用样本平均数作为的估计值，用样本标准差s作为的估计值，可观察数列有无在区间外的，可得答案;（2）求出在一次检测中，发现需要对本次的生产过程进行检查的概率，即可求得在一天的四次检测中，有连续两次需对生产过程进行检查的概率.【详解】(1)由，得的估计值为的估计值为，则为，之外，因此需对本次的生产过程进行检查．(2)设“在一次检测中，发现需要对本次的生产过程进行检查”为事件A，则；如果在一天中，需停止生产并对生产设备进行检修，则在一天的四次检测中，有连续两次需对生产过程进行检查，故概率为故一天中需对生产设备进行检修的概率为0.007．19．如图①，四边形是等腰梯形，，E是的中点，将沿折起，构成如图②所示的四棱锥．(1)设M是的中点，在线段是否存在一点N，使得平面？如果存在，求出点N的位置；如果不存在，请说明理由．(2)如果平面平面，求平面与平面所成锐二面角的大小．【答案】(1)存在，点N为线段的中点(2)【分析】（1）作出辅助线，证明面面平行，进而证明线面平行；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解二面角.【详解】(1)存在，点N为线段的中点如图，连接、，交于点P，连接MP,MN,NP.由题设可知四边形是菱形，所以点P是线段的中点．因为M是的中点，N是线段的中点，所以，，因为平面，平面，所以平面平面．因为，所以平面//平面．又平面，所以平面．(2)取的中点O，连接、．由题设可知是等边三角形，所以．因为平面平面平面，所以平面．因为，所以是等边三角形，所以．分别以射线、、为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，由，易得．所以，．设平面的一个法向量为，则，得，取，所以．设平面与平面所成锐二面角为，因为平面的一个法向量为，所以，所以．故平面与平面所成锐二面角的大小为．20．已知椭圆经过点，左焦点为F，．(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点作直线l交椭圆C于A、B两点，过点F且垂直于x轴的直线交直线l于点E，记，求证：．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）待定系数法去求椭圆C的标准方程；（2）设出直线l的方程，与椭圆C的标准方程联立，利用设而不求的方法去证明【详解】(1)设点，由题意得解之得．所以椭圆C的标准方程为；(2)设直线l的方程为）（斜率k显然存在），代入，整理得．由，得则，，因为，所以．设，则，由，可得，由，得，所以21．已知函数．(1)若，证明：时，；(2)若函数恰有三个零点，证明：．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）当时，，求导，得到导函数大于0恒成立，故得到；（2）首先确定为函数的一个零点，接下来研究，构造差函数，求导后单调性，得到证明.【详解】(1)时，函数，则，在上单调递增，所以．(2)，显然为函数的一个零点，设为；设函数，当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增．由已知，必有两个零点，且，下证：．设函数，则，，由于，则，由（1）有，故，即函数在上单调递减，所以，即有，由于，且在上单调递增，所以，所以．【点睛】对于极值点偏移问题，通常要构造差函数，结合差函数的单调性和最值，进行证明.22．在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（其中为参数，），以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，直线的极坐标方程为．(1)求曲线C的极坐标方程与直线的直角坐标方程；(2)设直线与曲线C交于点O，A，直线与曲线C交于点O，B，求面积的最大值．【答案】(1)，(2)【分析】（1）依据参数方程与普通方程的互化和极坐标方程与直角坐标方程的互化即可解决；（2）先求得面积的表达式，再对其求最大值即可.【详解】(1)曲线C的直