2024-2025学年高一【数学(人教A版)】函数的零点与方程的解-教学设计

课程基本信息课例编号学科数学年级高一学期第一学期课题函数的零点与方程的解教科书教学人员姓名单位授课教师指导教师教学目标教学目标：了解函数零点与方程解的关系，了解函数零点存在定理，会判断函数零点个数.通过利用函数的性质来研究方程的解，来培养学生的数形结合思想，数学转化思想.在利用函数的性质来研究方程的解的过程中，发展学生的直观想象，数学运算等核心素养.教学重点：对函数零点概念的理解.教学难点：零点存在定理.教学过程时间教学环节主要师生活动引入方程的根与函数的零点提问：求方程的根，并画出函数的图象，并思考这二者之间什么关系？学生活动：二次函数与横轴的交点横坐标为方程的根；设计意图：用函数的观点看待方程,把方程的解理解为"使函数值为0的自变量",建立了二者之间的内在联系.进一步引出函数零点的概念.零点定义与例题函数零点的概念：对于函数,我们把使的实数x叫做函数的零点.：求下列方程的解并进一步说明相应函数的零点（1）（2）（3）（4）解：（1）由于方程的判别式小于零，从而此方程没有解，也说明函数没有零点.（2）为求方程的根，可以通过适当地变形转化为二次方程求根，可得方程的解为，从而也可以说明函数有零点，且零点为1.（3）和（4）没有求根公式可以应用，引导学生思考如何借助函数来研究相应方程的解。设计意图：通过上面具体的例子让学生体会方程的解与函数的零点，前两个例子可以通过代数运算求得方程的解，但对于较复杂的方程，我们又要怎样研究它的解呢？三、零点存在定理提问：判断函数有没有零点.设计意图：通过上面的例子，已经知道方程的解目前没有好的办法进行处理，对于比较复杂的方程，引导学生思考如何借助函数来研究它的解.这里主要应用两个办法，第一是借助函数图象，进行直观的观察函数的零点；第二是借助函数的零点存在定理.为了得到零点存在定理，先让学生完成下面的问题.请同学们再画出一些有零点的函数图象和一些没有零点的函数图象.并思考函数在什么条件下有零点，什么条件下无零点.学生活动：无零点：图象在x轴上方或下方，函数值恒正或恒负.有零点穿过x轴.简化为只研究图象连续不间断的情况进一步提问：如果函数在区间[a,b]上的图像是连续不间断的一条曲线，你认为函数在什么条件下有零点？学生活动：图象在x轴上方、下方都存在，函数值有正或有负.设计意图：引出零点存在定理零点存在定理：如果函数在区间[a,b]上的图像是连续不间断的一条曲线，并且有,那么，函数在区间（a,b）内有零点.例2：函数在以下那个区间一定存在零点？为什么？解：由于，且函数在定义域内连续，利用零点存在定理可得：函数在(1,e)内有零点.四、零点个数上面问题利用零点存在定理解决了函数零点存在的问题，当然也就解决了相应方程解的问题，那么要如何解决函数零点个数问题？对例2继续追问：函数有几个零点？为什么？学生活动：加入单调性的条件.至此，我们解决了函数零点的存在性与唯一性的问题.分析：判断函数单调性，易见这个函数在其定义域内为递增函数，从而此函数在定义域内有唯一零点.推论：如果函数在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，在区间[a,b]上具有单调性，且，那么函数在区间[a,b]上有唯一零点.提问：如何解决一般函数的零点个数问题.学生活动：讨论得出结果.（分段单调）总结：以上过程对零点的定义，零点的存在性，零点的个数，寻找零点的位置作了系统的介绍.四、小结函数零点定