高中数学专题08外接球与内切球

专题08外接球与内切球技巧导图技巧详讲一．外接球8大模型秒杀公式推导说明：r为底面外接圆的半径，R为球的半径，l为两面公共边的长度为两个面的二面角，h是空间几何体的高，H为某一面的高1.墙角模型(1)使用范围：3组或3条棱两两垂直；或可在长方体中画出该图且各顶点与长方体的顶点重合（2）推导过程：长方体的体对角线就是外接球的直径a2b2c23aR2(a正方体的边长）2R2(a、b、c为长方体的长宽高）(2)秒杀公式：（4）图示过程44(3)秒杀公式：2.汉堡模型（1）使用范围：有一条侧棱垂直与底面的柱体或椎体（2）推导过程第一步：取底面的外心O，过外心做高的的平行且长度相等，在该线上中点为球心的位置1,h2Rr22第二步：根据勾股定理可得4h2Rr22（3）秒杀公式：（4）图示过程43.斗笠模型（1）使用范围：正棱锥或顶点的投影在底面的外心上（2）推导过程第一步：取底面的外心第二步：在O，连接顶点与外心，该线为空间几何体的高h1,h上取一点作为球心OrR2h2h2R22(hR)r2第三步：根据勾股定理r2h2h2R（3）秒杀公式：（4）图示过程24.折叠模型（1）使用范围：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠（2）推导过程第一步：过两个平面取其外心H、H，分别过两个外心做这两个面的垂线且垂线相交于球心2O1=(CE-HE)2tan22(Hr)2tan(为两个平面的二面角）OH2HE2gtan21第二步：计算第三步：22211OC2OH2CH2(Hr)12tan2r221r22R2(Hr)2tan2（3）秒杀技巧：（4）图示过程5.切瓜模型（1）使用范围：有两个平面互相垂直的棱锥（2）推导过程：第一步：分别在两个互相垂直的平面上取外心取BC的中点为F、N，过两个外心做两个垂面的垂线，两条垂线的交点即为球心O，M，连接FM、MN、OF、ONl2QONMF为矩形由勾股可得OA2AN2ON2AN2MFRrr22222第二步：41l2Rrr222（3）秒杀公式：（4）图示过程41236.麻花模型（1）使用范围：对棱相等的三棱锥（2）推导过程：设3组对棱的长度分别为x、y、z,长方体的长宽高分别为a、b、cxab222x2y2z2y2b2c2R28z2a2c2x2y2z2R2（3）秒杀公式：（4）图示过程87.矩形模型（1）使用范围：棱锥有两个平面为直角三角形且斜边为同一边（2）推导过程：根据球的定义可知一个点到各个顶点的距离相等该点为球心可得，斜边为球的直径l2R2（3）秒杀公式：（4）图示过程448.鳄鱼模型（1）使用范围：适用所有的棱锥（2）推导过程：O、O且过两外心做这两面的垂线相交于球心2O第一步：在两个平面上分别找外心1OO第二步：QOOOE四点共圆，正弦定理可得OE=22r=(1）12sin1在OOE中，12OO2=OE2OE2OEOEcos（2）2122121ODOOOD3222（）11第三步：由（1）（2）（3)整理可得ODOOOD22211=OEOEOD22211OOOEOD222112sin21OE2OE2OEOEcos221sin221OEOD2211OE2OE2OEOEcos221sin=21OEOB22211OE=m，OE=n，AB=l,两个面的二面角为1第四步：设2m2n22mncosl2+R2=由第三步可得sin24（3）秒杀公式：m2n22mncosl+2R2=sin24（4）图示过程5二．内切球的半径---等体积法1.推导过程以三棱锥P-ABC为例11ShRS131313VRSRSRS33PABCPABPACPBCABC底面13=R(SSSS)PACPBCPABABC1=RS3表面积3VSR=几何体表面积3VSR=几何体2.秒杀公式：3.图示过程表面积特别说明：下面例题或练习都是常规方法解题，大家可以利用模型的秒杀公式6例题举证技巧1外接球之墙角模型510，【例1】已知长方体ABCDA'B'C'D'中，A'B'3，B'C'1，A'B与平面ACC'A'所成角的正弦值为则该长方体的外接球的表面积为（）16C．332D．3B．16A．4【答案】B【解析】作BEAC，垂足为，连接A'E，BE.E因为平面ABC平面ACC'A'，平面ABC平面ACC'A'AC，BE平面所以BE平面ACC'A'，所以BA'E是A'B与平面ACC'A'所成的平面角.ABC，331(3)132，A'B(3)2AA'3AA'2.所以又BEBEsinBA'EA'B5，102223AA'2解得AA'23.(23)2(3)2124.故该长方体的体对角线为设长方体的外接球的半径为R，则2R4，解得R2.所以该长方体的外接球的表面积为S4R242216.故选B.7【举一反三】21．棱长为的正方体的外接球的表面积为（）4D．43A．4B．3C．12【答案】C【解析】因为正方体的外接球的直径为正方体的体对角线的长，所以2R23，解得R3，所以球的表面积为：S4R212.故选：C2．球面上有A,B,C,D四个点，若AB,AC,AD两两垂直，且ABACAD4，则该球的表面积为（）80A．3B．32C．42D．48【答案】D【解析】由题意可知，该球是一个棱长为4的正方体的外接球，2R424242,据此可得：R212，外接球的表面积为：R设球的半径为，由题意可得：2S4R241248.本题选择D选项.技巧2外接球之汉堡模型【例2】已知四棱锥ABCDE中，四边形是边长为2的正方形，AB3且AB平面BCDEBCDE，则该四棱锥外接球的表面积为（）17B．4C．17D．8A．4【答案】C【解析】由题意，四棱锥ABCDE中，四边形BCDE是边长为2的正方形，AB3且AB平面BCDE，可把四棱锥ABCDE放置在如图所示的一个长方体内，其中长方体的长、宽、高分别为2,2,3，则四棱锥ABCDE的外接球和长方体的外接球表示同一个球，172设四棱锥ABCDER的外接球的半径为，可得2222322R，解得R，所以该四棱锥外接球的表面积为S=4R=4(217)2172.故选：C.8【举一反三】1．）各顶点都在一个球面上的正四棱柱（底面是正方形，侧棱垂直于底面）高为2，体积为8，则这个球的表面积是（）A．16C．10D．8B．12【答案】B【解析】因为正四棱柱高为2，体积为8，所以它的底面边长是2，所以它的体对角线的长是23，因此它的外接球的直径是23，所以这个球的表面积是：S4(3)212.故选：B．2．如图，在三棱锥A﹣BCD中，BD⊥平面ADC，BD＝1，AB＝2，BC＝3，AC＝11，则三棱锥A﹣BCD外接球的体积为（）3C．2π3D．4πA．4πB．3π【答案】DABCDABCD1中，ABCC2，BC1，点M在正方形CDDC内，CM平面ACM1，3．在长方体1111111则三棱锥MACC的外接球表面积为（1B．7π）111A．2πC．11πD．14π【答案】CACAD平面CDDC，CM平面CDDC，∴CMADCM平面1ACM，1中，，又【解析】长方体11111111111AC1ACM1CMAC1ACADA1CM平面ACDCDACD平面，∴，∵，∴，而平面，∴1111111111CMCD，CDDC是正方形，∴M是CD与CD交点，即为CD的中点，也是11CD1的中点．11111△CMC1中点，则由EF//BC可得EF平面BBMCC（长方体中棱与1是直角三角形，设E是CC1F中点，是1△CMC1AMCCO的外接球球心在直线11EF上（线段EFEF或的延长线E相交面垂直），是的外心，三棱锥22223h(2)2(1h)2，解得h上）．设OEh，∴外接球半径为，则2222221132211，表面积为S4r4112r2．故选：C．249ABCABC中，AA平面ABCACAB，AC1，AB3，AA2，则该三棱柱，14．三棱柱1111ABCABC的外接球的体积为（）11142821628D．A．B．C．333【答案】BO，连BC交BCO于点，【解析】如图，取BC中点111RtABC的外接圆圆心，ACAB，O为1BC21,AB3，AC1，BC2，ABC外接圆半径为OO//CC//AA，AA平面ABC，OO平面1ABC，1111BB又OO11，点O为三棱柱ABCABC的外接球球心，11121外接球半径ROBOO2BO22，114外接球体积VR3382.故选：B.310技巧3外接球之斗笠模型【例3】正三棱锥SABC中，SA2，AB22，则该棱锥外接球的表面积为（）A．43【答案】CB．46D．C．12【解析】正三棱锥SABC中，SA2，AB22,所以SA2SB2AB2,故SASB,同理可得SASC,SBSC,以SA,SB,SC为棱构造正方体，则该棱锥外接球即为该正方体的外接球，如图，所以(2R)222222212，故球的表面积为S4R12,故选：C2【举一反三】1．已知正三棱锥SABC的侧棱长为43，底面边长为6，则该正三棱锥外接球的表面积是________.【答案】64π【解析】过点S作SE平面ABCEO于点，记球心为.23∵在正三棱锥SABC中，底面边长为6，侧棱长为43，∴BE623，∴32SESBBE6.∵球心到四个顶点的距离相等，均等于该正三棱锥外接球的半径22OR长，∴，OBROE6R.在RtBOE中，OB2BE2OE2，即R2126R2，解得R4，∴外接球的表面积为S4R64.2故答案为：64π.2．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）81A．427D．4B．16C．9【答案】APO4OO1PO上，记为O，PO=AO=R，，1=4-R，1【解析】正四棱锥P-ABCD的外接球的球心在它的高981R，∴球的表面积S，故选A.44AOO中，AO2，由勾股定理R224R2得在Rt△1111技巧4外接球之折叠模型A﹣BCD中，△ABD与△CBD均为边长为【例4】在三棱锥2的等边三角形，且二面角ABDC的平面角为120°，则该三棱锥的外接球的表面积为（）1628A．7πB．8πC．D．33【答案】D【解析】如图，取BD中点H，连接AH，CH因为△ABD与△CBD均为边长为2的等边三角形所以AH⊥BD，CH⊥BD，则∠AHC为二面角A﹣BD﹣C的平面角，即∠AHD＝120°设△ABD与△CBD外接圆圆心分别为E，F22AH3331，EHAH3333可得AE则由AH＝223分别过E，F作平面ABD，平面BCD的垂线，则三棱锥的外接球一定是两条垂线的交点记为O，连接AO，HO，则由对称性可得∠OHE＝60°21R＝OAAE2EO2所以OE＝1，则321284R2493则三棱锥外接球的表面积故选：D12【举一反三】P-AB-C的大小为120°，且PABABC90，ABAP，ABBC6.若点P、A、B、1．已知二面角C都在同一个球面上，则该球的表面积的最小值为______.288【答案】722．如图所示，三棱锥S一ABC中，△ABC与△SBC都是边长为1的正三角形，二面角A﹣BC﹣S的大小为3，若S，A，B，C四点都在球O的表面上，则球O的表面积为（）7134A．3πB．3πC．3πD．3π【答案】A【解析】取线段BC的中点3，由题意得D，连结BC⊥平面AD，SD，由题意得AD⊥BC，SD⊥BC，∴∠ADS是二面角A﹣BC﹣S的平面角，∴E，F分别作直线垂2∠ADSADS，分别取AD，SD的三等分点E，F，在平面ADS内，过点1，AD2313，6AD，DE3直于AD，SD，两条直线的交点即球心O，连结OA，则球O半径R＝|OA|，由题意知BD272AEAD33，连结33，OE31DE，∴OA2＝OE2+AE2ODEOD，在Rt△ODE中，12，27．3∴球O的表面积为S＝4πR2故选：A．13技巧5外接球之切瓜模型【例5】已知三棱锥PABC中，PA1，PB3，AB22，CACB5，面PAB面ABC，则此三棱锥的外接球的表面积为（）14A．328B．3C．11D．12【答案】BPAB2，【解析】如图，PA1，PB3，AB22，PAABPB，222所以△ABP的外接圆的圆心为斜边PBNCACB5，ABC的中点,为等腰三角形.CD，DN，CDAB，ADBD2,CDBC2BD23,ABD的中点，连接取又面PAB面ABC，面PAB面ABCAB，过点N作CDCD面ABC，CDPAB面，O的平行线，则球心一定在该直线上.O上，连接OO,的外接圆的圆心为OCD，,则点在ABC设111OO平面ABC，则OOND1为矩形.由球的性质则，1585105155中，cosCABABC,则sinCAB在2522BC5532OA1sinCAB1535ABC的外接圆的半径所以153251则ONOD1，则ODOA2AD212所以OA16122323119所以球的半径为OPON2NP1242123212212844所以三棱锥的外接球的表面积为393故选：B14【举一反三】1．已知三棱锥ABCD中，平面ABD平面BCD，且△ABD和△BCD都是边长为2的等边三角形，则该三棱锥的外接球表面积为（）16B．320D．3C．8A．4【答案】D【解析】如图，由已知可得，△ABD与△BCD均为等边三角形，BDG中点，连接AG，CG，则AGBD，取∵平面ABD平面BCD，则AG平面BCD，分别取△ABD与△BCD的外心E,F，过E,F分别作两面的垂线，相交于，OO则为三棱锥ABCD的外接球的球心，由△ABD与△BCD2均为边长为的等边三角形，1133可得OEOFCG223，33CE23223，2333ROCOE2CE2()2(23)215，3331520∴三棱锥A−BCD的外接球的表面积为4R4()23.故选：D.2315ABCD3，ACBD2，ADBC5，则四面体ABCD的外接球的中，若表面积为（）A．2C．6D．8B．4【答案】C3，【解析】由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以5为三边的三角形作为底面，且以分别2，x，y，z长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，并且＝3，所以球的表面积为x2+y2＝3，x2+z2＝5，y2+z2＝4，则有（2R）＝x2+y2+z2＝6（R为球的半径），得22R26．S＝4πR2＝6π．故答案为技巧7外接球之矩形模型ABCDAB2，DADBCACB1，则四面体ABCD的外接球的表面积为(【例7】在四面体中，)A．B．2C．3D．4【答案】BAB2DADBCACB1，，【解析】由CA2CB2AB2，AD2BD2AB2所以2ACBADB90，所以OAOBOCOD可得，22即O为外接球的球心，球的半径R所以四面体ABCD的外接球的表面积为：21S4R242.故选：B2【举一反三】SABC中，ACBC，SA平面ABC，SA6，AC7，BC3，则该四面体外接球的表1．四面体面积为（）32A．316B．3C．16D．32【答案】C【解析】如图所示：SABSBC为直角三角形，所以该几何体的外接球球心为SB与的中点O，由已知可得ACBC,所以AB=10,因为AC7,BC3,且所以SBSA2AB26104,S4R216.故答案选：CSABC的外接球半径R2,则表面积所以四面体2已知四面体ABCD满足：ABBCCDDAAC1，BD2，则四面体ABCD外接球的表面积为___.【答案】2【解析】因为ABBCCDDA1，BD2，所以BD2AB2AD2，BD2BC2CD2，所以△AB,D△CBD,OCO、AO，如图：均为直角三角形，取斜边BD的中点，连接易得COAOBODO，所以点为该四面体外接球的球心，O221所以球的半径rODBD22，故其表面积S4r422.故答案为：.22217A．9:13BEa，3a【解析】如图，正四面体ABCDO的中心即为外接球与内切球的球心，设正四面体的棱长为，可得6AEa36ra121OEAE，ROAa，6，又，443a2S外S9故选：A1312S4R2a2，S4r2a2．所以126外内a2内6【举一反三】1．如图所示，球内切于正方体．如果该正方体的棱长为a，那么球的体积为（）41a3a3aB．3a33A．3C．D．62【答案】D12【解析】因为球内切于正方体，所以球的半径等于正方体棱长的，a4aa3332所以球的半径为，所以球的体积为2，故选：D.62．已知直三棱柱ABC-ABC的底面ABC为等边三角形，若该棱柱存在外接球与内切球，则其外接球与内切球表面积111NAB是底面等边三角形的中心，点是底边的中点，连结23a，因为三棱锥内切球与各面33都相切，所以三棱柱的高是内切球的直径，底面三角形内切圆的直径也是三棱柱内切球的直径，所以3OMMNa，即三棱柱内切球的半径ra，AM323153a，所以OAOM2AM2a，即3334204r2a2，外接球的表面积S4R2a2，153三棱柱外接球的半径Ra，所以内切球的表面积为33204a2:a25:1所以三棱柱外接球和内切球表面积的比值为33故选：D3．正三棱柱有一个半径为3cm的内切球，则此棱柱的体积是（）.93cm354cm327cm3183cm3D．A．B．C．【答案】B3cm的内切球，则正三棱柱的高为23cm，底面正三角形的内切圆的半径为【解析】∵正三棱柱有一个半径为31a3a3，解得a6cm，3cm，设底面正三角形的边长为cm,则213∴正三棱柱的底面面积为6693cm，故此正三棱柱的体积V＝932354cm3．故选：B．222技巧强化ABCABC111的所有顶点都在同一球面上，且ABAC2，BAC90，AA42，则该球11．直三棱柱的表面积为（A．40）C．10D．8B．32【答案】APABCABAC22，BAC120，中，PBPC26，PA25，则该三棱锥的外2．在三棱锥接球的表面积为（）A．40B．20C．80D．60【答案】A中，BC2AB2AC22ABACcosBAC24，即BC26，又PBPC26，BAC【解析】在PBC为等边三角形∴根据题意，有如下示意图：O的外接圆的圆心为OA，BCOAH，连接PH.11ABC，连接OC，1如图，设111由题意可得AHBC，且AHOA2，BHBC6.221∴由上知：PHBC且PH(26)26232，又PH2AH2PA2，∴PHAH，由AHBCH，PH平面ABC.OO，OP，OC过O作ODPH，垂足为D，则外接球的半径R满1设O为三棱锥PABC外接球的球心，连接2，COAB22，ODOHAH2，代入解得足R2OO2COPHOO(OD)2211111OO2，即有R210，1∴三棱锥PABC外接球的表面积为4R240.故选：A.203．已知四棱锥ABCDE中，AB平面BCDE，底面BCDE是边长为2的正方形，且AB3，则该四棱锥外接球的表面积为（A．4）17B．4C．17D．8【答案】C【解析】由题意，四棱锥ABCDE中，四边形BCDE是边长为2的正方形，AB3且AB平面，可把四棱锥ABCDEBCDE放置在如图所示的一个长方体内，其中长方体的长、宽、高分别为2,2,3，则四棱锥ABCDE的外接球和长17方体的外接球表示同一个球，设四棱锥ABCDE的外接球的半径为，可得R2222322R，解得R2，所以该四棱锥外接球的表面积为S=4R=4(217)2172.故选：C.4．已知点P，A，B，C在同一个球的球表面上，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PB=5，BC=32，PC=，则该球的表面积为（）A．6πB．8πC．12πD．16π【答案】A【解析】如图，三棱锥PABC补体在长方体中，三棱锥的外接球就是补体后长方体的外接球，长方体的外接球的直径PAABABACPAACPB2BC2PC26，222222222RPAABAC2226.即R，则该球的表面积S4R262故选：A215．四面体ABCD中，AB底面BCD，ABBD2，CBCD1，则四面体ABCD的外接球表面积为A．3B．4C．6D．12【答案】B【解析】如图，在四面体ABCD中，AB底面BCD，ABBD2，CBCD1，可得BCD90，补形为长方体，则过一个顶点的三条棱长分别为1，1，2，2121222，则三棱锥ABCD则长方体的对角线长为的外接球的半径为1．其表面积为414．故选：B．26．平行四边形ABCD中，ABBD，且2AB2BD24，沿BD将四边形折起成平面ABD平面BDC，则三棱锥ABCD外接球的表面积为（）A．2B．2C．4D．16【答案】C【解析】由题意，平面ABD平面可得AB平面BDC，又因为平面ABD平面BDCBD，ABÌ平面ABD，ABBD，BDCABCD为平行四边形，所以AB//CD，同理CD平面ABD，所以ABC、，因为四边形1BO、DO，则AOBOCODOACRACD均为Rt，设ACO中点为，连R，其中为三棱锥2ABCD外接球半径，则AC2AB2BC2AB2AD2AB2AB2BD22AB2BD24，AC2，1则RAC1，故三棱锥ABCD外接球的表面积为4.故选：C.2227．张衡(78年~139年)是中国东汉时期伟大的天文学家､文学家､数学家.他的数学著作有《算罔论》，他曾经得出A结论：圆周率的平方除以十六等于八分之五.已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点，B，若线段AB的最小值为31，利用张衡的结论可得该正方体的外接球的表面积为（）A．30B．1010C．1210D．36【答案】Car，正方体的外接球半径满足：22a22a【解析】设正方体的棱长为，正方体的内切球半径为RRa2，2233则Ra.由题意知：Rra31，则a2，R3，该正方体的外接球的表面积为12π，a222π52168又因为圆周率的平方除以十六等于八分之五，即故选：C.，所以π10，所以外接球的表面积为1210.ABCABCO的顶点都在球上，且AB4，AA6，ACB30，则此直三棱柱的外接18．已知直三棱柱111O球的表面积是（）500πB．50πC．100πD．3A．25π【答案】CO为ABC外接圆的圆心，因为ACB30，【解析】如图所示：设点所以AOB60，又OAOBr，所以△AOB是等边三角形，ABCABCO的顶点都在球上，所以rOAOBAB4，又直三棱柱111AA2Rr所以外接球的半径为215，所以直三棱柱的外接球的表面积是OS4R2100，2故选：CABCABC(侧棱AA底面ABC，底面△ABC1AB与底面ABC是正三角形)内接于球，O9．已知三棱柱1111111111111ABCABC的体积是23cm17π3，则球的表面积是（O所成的角是45°.若正三棱柱）1128π56πcm14πcm22cm2cm2A．B．C．D．3333【答案】A2310．在四棱锥PABCD中，BC//AD，ADAB，AB23，AD6，BC4，PAPBPD43，则三棱锥PBCD外接球的表面积为（）A．60B．40C．100D．80【答案】DOE【解析】如图，取AD的两个三等分点、，连接1CEBD、OC、1，设BDOCH，连接PH、AH.11则AOAD2，ODBC4，又QBC//AD，BC//OD，3111BCDOOCBDHH为BD，1为平行四边形，的中点，所以，四边形111所以，AHBHDHBD123623，222由勾股定理可得OBAO2AB222234，则OBOD，1111AB3，AOB3，1RtOAB△中，tanAOB在AO1113，又QBC//AD，CBO1BCODOB，则△OBC为等边三角形，111OCOBOD4，则O是BCD1的外接圆的圆心.111因为PAPBPD43，H为BD的中点，PHBD，2，PAPB，AHBH，PHPH，△PAH△PBH，PHAPHBPHAH，又PHBD，AHBDH，PH平面ABCD，22且PHPA2AH243236.OO、OP、OD，过O作OFPH，垂足为F，1O设为三棱锥PBCD外接球的球心，连接6OOOH2，ROO42222R则外接球的半径满足111x166x4，解得x2，设OOx，则122从而R2x24220，故三棱锥PBCD外接球的表面积为4R80.2故选：D.2411．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（）D．32A．10B．20C．24【答案】C12．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱（侧棱垂直于底面的三棱柱）称之为“堑ABCABCABC是以AB为斜边的直角三角形且AB5，AC3，为一个“堑堵”，底面堵”．如图，三棱柱111BB上，且PCPC，当APC的面积取最小值时，三棱锥PABC的外接球表面积为（）点P在棱11145π455πA．2B．C．30πD．45π2【答案】DABC为直角三角形，故BCAB2AC24，【解析】由“堑堵”的定义可知，易知ACPC，又PCPC，PCPCP，111PC平面1APC，而AP平面APC，于是得APPC．设BBz，BPt，则BPzt，1所以11则APAB2BP225t2，PCBC2BP216zt2，1ACAC2CC29z2，1121116zt2，整理得t由APPC，得9z225t216z1，1121APPC211625t241t4001621622所以PC16zt162，所以S△APC122x2t2t121002412t18，t222400t2APC的面积取得最小值18．此时AP2522535．，即t25时当且仅当t21设三棱锥PABC的外接球半径为，R因为ACCP，ABBP，故线段AP为外接球的直径，45故所求外接球的表面积S4π45π．4故选：D．25ABCABC11的体积为54，AB6，记三棱柱ABCABC1O1O，则外接球的1的外接球为球13．已知正三棱柱111表面积是__________．【答案】60π1的底面积S6sin6093，2ABCABC11【解析】因为正三棱柱216底面外接圆半径r2sin6023，VhABCABC11的高S23所以正三棱柱，1h2O1Rr15，则S4πR60π，2的半径所以外接球22故答案为：60π．14．在三棱锥PABC中，侧棱PA底面AB,CBAC120,ABAC1且PA2BC,则该三棱锥的外接球的体积为__________．32【答案】3【解析】ABC中，由余弦定理可知：BCAB2AC22ABBCcosBAC11211cos1203,在因为BAC120,ABAC1，所以ABC是顶角为钝角的等腰三角形，BC3ABC的外接圆的直径为AD，由正弦定理可知：ADsinBACsin1202，设ABCPA2BC23，所以三棱锥PABC的外接球的直径为PD，，因为侧棱PA底面由勾股定理可知：PDAD2PA222(23)24，1R42，所以三棱锥PABC的外接球的半径为：24432.RV23所以三棱锥PABC的外接球的体积为：3333323故答案为：26，AB3，BCBD2，则三棱锥15．如图所示，在三棱锥BACD中，ABCABDDBC3BACD的外接球的表面积为______.192【答案】AC29412cos7AB,CCB,DDBA中，根据余弦定理有：，【解析】由题意知：在3CD2448cos4DA24912cos7，∴3CAD中有ACDA7,CD2，，3CBD为等边三角形，若E为CD中点，连接BE,AE，可得BE3,AE6，而AB3，则在△AEB中即有AB2BE2AE2，BE∴BE⊥AE，又BECD且AECDE，即ACD，又由BE面CBD知：面面CBDACD，面∴三棱锥BACD的外接球球心：在△AEB中，过BE三等份点E作BE的垂线与AB的垂直平分线的交点即为33，则：EEO球心，所以令外接球半径为R，198，所以由球的表面积1919，故答案为：.4R2(6R21)2，解得R23S4R22232716．鳖臑（biēnào）出自《九章算术·商功》：“斜解立方，得两重堵．斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑．”鳖臑是我国对四个面均为直角三角形的三棱锥的古称．如图，三棱锥ABCD是一个鳖臑，其中ABBC，ABBD，BCCD，且ABBCDC4，过点向BACEECD的平行线，交AD于引垂线，垂足为，过作S点F，连接BF．设三棱锥ABCD的外接球的表面积为，三棱锥ABEF的外接球的表面积为S，则21S1S________．212【答案】5．【解析】ABBC，ABBD，BCBDB，则AB平面BCDCD，平面BCD，∴ABCD，又CDBC，BCIABB，∴CD平面ACB，BE,AC平面ACB，∴CDAC，CDBE．又CD//EF，∴EFBE，ACEF，又BEAC，可补形成以EA,EF,EB为棱的一个长方体，其外接球的直径的平方等于EA,EF,EB的平方和，∴三棱锥EABF而由ABBD,ACDC，则AD是三棱锥ABCD外接球的直径．∵ABBCDC4，∴AC42，EF2，EB22，EA=22，BD42，AD4(42)43，22∴EA2EB2EF220，202S420，AD248484，S414222S48121∴S205．212故答案为：5．2817．若体积为8的正方体的各个顶点均在一球面上，则该球的体积为______.【答案】43π【解析】因为正方体的体积为8，故棱长为2，因此正方体的体对角线的长为23，34343，故正方体外接球的直径为23，所以半径为3，故球的体积为3故答案为：43.ABCABC11118．在我国古代数学名著《九章算术》中，把两底面为直角三角形的直棱柱称为“堑堵”，已知三棱柱是一个“堑堵”，其中ABBB2，BC1，AC5，则这个“堑堵”的外接球的表面积为________.1【答案】9【解析】因为AB2,BC1,AC5，所以AB2BC2AC2，所以ABBC，ABCABC补成一个长方体，如图：111所以可将三棱柱32.R则该长方体的对角线长等于这个“堑堵”的外接球的直径2R，所以2R2222113，所以3所以外接球的表面积为4R24()29.2故答案为：929ABCDABCD中，ABCC2，BC1，点M在正方形CDDC内，CM平面ACM，11111119．在长方体111则三棱锥MACC的外接球表面积为______.11【答案】11【解析】如图所示：CM平面1ACM，连接CD，又CDDC为正方形，点M为正方形CDDC对角线的交点，111111则△MCC是等腰直角三角形，M是直角顶点，设是△MCC1BBF的外心，取是中点，ECC1E中点，则是11DCCD1DCCD1MACCO的外接球的球心在直线EF1则EF//BC，而BC⊥平面，EF平面，三棱锥1112226,AF210FC，22上，由已知可计算，FC12