《复数复习》示范课教学设计【高中数学教案】

《复数》复习◆◆ 教学目标1.掌握复数、虚数、纯虚数、共轭复数、实部、虚部、复数相等、复数的模等相关概念；2.掌握复数的加法和减法运算法则，运算律和几何意义；3.掌握复数的三角形式及三角形式的乘法、除法运算和几何意义◆ ◆ 教学重难点◆ 教学重点：复数的相关概念、复数的加法和减法及几何意义、复数的乘法和除法、复数的三角形式的乘法和除法及几何意义．教学难点：复数的三角形式、三角形式的的乘法和除法及几何意义．

◆ ◆ 课前准备PPT课件．◆◆ 教学过程一、整体概览问题1：回顾本章，回答下列问题：（1）本章研究哪类问题？（2）本章的知识框架是什么？师生活动：学生带着问题回顾本章，老师指导学生概括本章内容.预设的答案：（1）本章首先简要地展示了数系的扩充过程，回顾了数的发展，并指出当数集扩充到实数集时，由于负数不能开平方，因而大量代数方程无法求解，于是就产生了要开拓新数集的要求，从而自然地引入虚数i，复数由此而产生，接着，介绍了复数的有关概念和复数的几何表示．主要涉及的概念有：复数、虚数、纯虚数、共轭复数、实部、虚部、复数相等、复数的模等．在第二部分，介绍了复数代数形式的加、减、乘、除的运算法则，同时指出了复数加法、减法的几何意义，复平面上两点间的距离公式.第三部分，引入了复数的三角形式，赋予了复数的乘法、除法几何意义，沟通了“数与形”之间的联系，提供了用“形”来帮助处理“数”和用“数”来帮助处理“形”的工具.（2）设计意图：通过本章回顾，让学生明确本章内容，搭建学习内容的框架.二、知识回顾问题2：复数的相关概念1．虚数单位i：(1)i2＝(2)i和实数在一起，服从实数的运算律．2．代数形式：a＋bi(a、b∈R)，其中a叫，b叫3．复数的分类复数z＝a＋bi(a、b∈R)中．z是实数⇔，z是虚数⇔z是纯虚数⇔4．a＋bi与(a、b∈R)互为共轭复数5.复数相等的条件：a＋bi＝c＋di(a、b、c、d∈R)⇔特别a＋bi＝0(a、b∈R)⇔师生活动：学生回忆、总结．预设的答案：1．－1；2．实部，虚部3．b＝0，b≠0，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0,b≠0))4．a－bi5.a＝c且b＝d，a＝0且b＝0.设计意图：培养学生分析和归纳的能力.问题3：复数的运算法则z1＝a＋bi，z2＝c＋di，(a、b、c、d∈R)．（1）z1±z2＝（2）z1·z2＝（3）eq\f(z1,z2)＝师生活动：学生回忆、总结．预设的答案：（1）(a±c)＋(b±d)i；（2）(ac－bd)＋(ad＋bc)i；（3）eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i.设计意图：培养学生分析和归纳的能力.问题4：复数的几何意义师生活动：学生回忆、总结．预设的答案：1.建立直角坐标系表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．原点对应复数0，建立复平面后，复平面内的点与复数集构成一一对应关系．以原点O为起点，复数z在复平面内的对应点Z为终点的向量，与复数z一一对应，的模叫做复数z的模．2.复数加法的几何意义：如果复数所对应的向量分别为与，则当与不共线时，以与为两条邻边作平行四边形，则所对应的向量就是．3.复数减法的几何意义：如果复数所对应的向量分别为与根据向量加法的三角形法则有：．于是：．由平面向量的坐标运算：，即得与复数对应．设计意图：培养学生分析和归纳的能力.问题5：复数的三角形式及几何意义1.复数的三角形式z＝a+bi＝r（cosθ+isinθ）的右边称为非零复数z＝a+bi的三角形式．其中的θ称为z的在［0，2π）内的辐角称为z的辐角主值，记作2.复数三角形式的乘法法则法则：r1（cosθ1+isinθ1）×r2（cosθ2+isinθ2）＝模相乘，辐角相加.几何意义：设对应的向量分别为，将绕原点旋转，再将的模变为原来的倍，如果所得向量为则对应的复数为，当时，按方向旋转角，当时，按方向旋转角.3.复数三角形式的除法法则法则：模相除，辐角相减.几何意义：设对应的向量分别为，将绕原点O旋转，再将的模变为原来的倍，如果所得向量为则对应的复数为.当时，按方向旋转角，当时，按方向旋转角师生活动：学生回忆、总结．预设的答案：1.辐角，argz2.r1r2［cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）］，，逆时针，顺时针3.，，顺时针，逆时针设计意图：培养学生分析和归纳的能力.【巩固练习】例1.实数m取什么数值时，复数分别是：(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？师生活动：联系复数的分类，学生解决问题预设的答案：(1)当，即时，复数z是实数；(2)当，即时，复数z是虚数；(3)当，且时，即时，复数z是纯虚数.设计意图：进一步理解复数的概念与分类，培养学生分析和归纳的能力.例2.若复数，则______.师生活动：联系复数的四则运算，学生解决问题预设的答案：复数，．设计意图：进一步理解复数的四则运算，培养学生分析和归纳的能力.例3.若复数的对应点在直线上，则（）A． B． C． D．1师生活动：联系复数的几何意义，学生解决问题预设的答案：∵．∴在复平面内对应点的坐标为．由题意，则．故选：C．设计意图：进一步理解复数的几何意义，培养学生分析和归纳的能力.例4.如图，若eq\o(OZ,\s\up6(→))1与eq\o(OC,\s\up6(→))2分别表示复数Z1＝1＋2eq\r(3)i，Z2＝7＋eq\r(3)i，求∠Z2OZ1，并判断△OZ1Z2的形状．师生活动：联系复数的三角形式，学生解决问题预设的答案：eq\f(Z1,Z2)＝eq\f(1＋2\r(3)i,7＋\r(3)i)＝eq\f(1＋2\r(3)i7－\r(3)i,7＋\r(3)i7－\r(3)i)＝eq\f(1,4)(1＋eq\r(3)i)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,3)＋isin\f(π,3)))，∴∠Z2OZ1＝eq\f(π,3)，且eq\f(|\o(OZ，\s\up6(→))1|,|\o(OZ，\s\up6(→))2|)＝eq\f(1,2)，∴△OZ1Z2为直角三角形．设计意图：进一步理解复数的三角形式，培养学生分析和归纳的能力.【课堂小结】问题：本章的知识框架是什么师生活动：学生尝试总结，老师适当补充.预设的答案：设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生更加明确复数的有关知识．布置作业：【目标检测】1.在复平面内，O是原点，对应的复数分别为－2＋i，3＋2i，1＋5i，那么对应的复数为()A．4＋7i B．1＋3i C．4－4i D．－1＋6i设计意图：巩固掌握复数的几何意义2.已知复数满足，则的共轭复数在复平面内对应的点在()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限设计意图：巩固掌握复数的几何意义及共轭复数的概念3.设3＋4i的辐角主值为θ，则(3＋4i)·i的辐角主值是()A．eq\f(π,2)＋θ B．eq\f(π,2)－θC．θ－eq\f(π,2) D．eq\f(3π,2)－θ设计意图：巩固掌握复数的三角形式4.已知复数，复数，给出下列命题：①；②；③复数与其共轭复数在复平面内的点关于实轴对称；④复数的虚部为0.其中真命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4设计意图：巩固掌握复数的概念与几何意义5.若复数满足，其中i是虚数单位，则的虚部为________.设计意图：巩固掌握复数的概念与四则运算6.已知，i为虚数单位.（1）若，求；（2）若，求实数a，b的值.设计意图：巩固掌握复数的模与四则运算参考答案：1.，故选C.2.，，的共轭复数在复平面内对应点坐标为，的共轭复数在复平面内对应的点在第四象限，故选D.3.根据复数乘法的几何意义得，(3＋4i)·i对应的向量是由复数3＋4i对应的向量绕点O按逆时针方向旋转eq\f(π,2)得到的