2023年高考数学一轮复习教书用书第六章　平面向量、复数

货主题三"

:几何与代数第六章平面向量、复数（必修第二册）

第1节平面向量的概念及线性运算

课程标准要求

1.向量概念

①通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景,理解平

面向量的意义和两个向量相等的含义；

②理解平面向量的几何表示和基本要素.

2.向量运算

①借助实例和平面向量的几何表示,掌握平面向量加、减运算及运算

规则，理解其几何意义；

②通过实例分析,掌握平面向量数乘运算及运算规则，理解其几何意

义,理解两个平面向量共线的含义；

③了解平面向量的线性运算性质及其几何意义.

必备知识.课前回顾⑻历残材夯实四基

国知识梳理

1.向量的有关概念

（1）向量:既有太小又有方面的量叫做向量，向量的大小叫做向量的是

度（或模）.

⑵零向量：长度为。的向量,其方向是任意的.

⑶单位向量:长度等于1个单位长度的向量.

(4)平行向量:方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共线向量.

规定：0与任一向量田.

(5)相等向量:长度相等且方向相同的向量.

(6)相反向量:长度相等且方向相反的向量.

2.向量的线性运算

向量

定义法则(或几何意义)运算律

运算

力、①交换律：

a

求两个向量a+b=b+a;

三角形法则

加法

和的运算y②结合律：

a(a+b)+c=a+(b+c)

平行四边形法则

求两个向量

减法aa-b=a+(-b)

差的运算

三角形法则

①|Xa|=|X||a|;

求实数人与②当人＞0时，入a的方向与a的入(ua)=(入u)a;

数乘向量a的积方向想闻;当入＜0时，入a的方(入+u)a=A,a+ua;

的运算向与a的方向相反;当人=0时，入(a+b)=Xa+Xb

入a=0

3.共线向量定理

向量a(aWO)与b共线，当且仅当有唯---个实数入，使得b=入a.

提醒：当aWO时一，定理中的实数人才唯一,否则不唯一.

法重要结论

f1ff

1.P为线段AB的中点,0为平面内任意一点=°7=£（04°”.

2.若G为AABC的重心,则有

—>]—>f

⑴GA+GB+GC=Q.⑵AG-3（AB+4C）.

3.首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后

一个向量的终点的向量，一个封闭图形首尾连接而成的向量的和为零

向量.

fff

4.对于起点相同、终点共线的三个向量°C°尸1,"2（0与PR不共线）,

总有°P=U°PI+V0P2,u+v=l,即总可以用其中两个向量的线性组合表

示第三个向量，且系数和为1.

5.对于任意两个向量a,b,都有：

（1）||a|-|b|||a±b||a|+|b|;

⑵|a+b|2+|a-b|2=2（|a『+|b|2）.

6.设a,b是两个不共线的向量,则x,a+y.b与x2a+y2b共线的充要条件

是Xiy2-x2yi=0.

对点自测

1.（必修第二册P23习题6.2T9改编）如图,D,E,F分别是4ABC各边

的中点，则下列结论错误的是（D）

A

BD

—>f

A.E9B.叔与"后共线

C.BD与.是相反向量〉611成

解析:建与人匕,故口错误.故选D.

2.（必修第二册P22习题6.2T4改编）已知下列各式:

①AB+8C+C4；

②AB+MBjBO+OM.

^OA+OB+BO+CO

-

^AB_AC+BD_CD

其中结果为零向量的个数为(B)

A.1B.2C.3D.4

解析：①中^^+"'+”=0；②中③中°”+

ffffffffffff

0B+B()+C()=0JI+C0=CA.④中AB_AC+BD_CD二CB+BC二0故①④正确

故选B.

3.如图所示，已知4c=36C,0人3°叫瓦°C一则下列等式成立的是

(A)

C

B,

44----------^0

31

A.c=2b-2a

B.c=2b-a

C.c=2a-b

31

D.c=2a-2b

ffff

解析:因为0A=a0B=b所以

————3—一3——Ji-*31

OaOA+AC=OA+iAB^OA+i(OBQ)及°包通工抵故选A.

4.设a与b是两个不共线的向量，且向量a+Xb与-(b-2a)共线，则

入=.

解析:法一依题意知向量a+入b与2a-b共线,设a+入b=k(2a-b),则

f1—2Jt=0,11

有(l-2k)a+(k+入)b=0,所以tk+入=0,解得k=2,人=-1

法二由题意a+入b与2a-b共线,a,b不共线,所以2入-1*(-1)=0,

1

X=-2.

1

答案:与

5.已知|a|=2,|b|=5,则|a+b|的取值范围是.

解析：当a与b方向相同时，|a+b|=7;当a与b方向相反时，Ia+b|=3;

当a与b不共线时,3<|a+b|<7.所以|a+b|的取值范围为[3,7].

答案：[3,7]

类中考点禽卖四翼

关键能力•课堂突破

唆考点一平面向量的概念

1.下列说法正确的是（D）

A.平面内的单位向量是唯一的

B.平面内所有单位向量的终点的集合为一个单位圆

C.所有的单位向量都是共线的

D.所有的单位向量的模相等

解析：因为平面内的单位向量有无数个，所以选项A错误；当单位向量

的起点不同时一,其终点就不一定在同一个单位圆上,所以选项B错误;

当两个单位向量的方向不相同也不相反时，这两个向量就不共线，所

以选项C错误；因为单位向量的模都等于1,所以选项D正确.故选D.

2.下列四个命题正确的是（B）

A.若两个向量相等,则它们的起点相同，终点相同

->f

B.若A,B,C,D是不共线的四点，且则四边形ABCD为平行四

边形

C.a=b的充要条件是|a|=1b|且a〃b

D.已知人，u为实数,若入a=pb,贝lja与b共线

解析:A错误,若两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等，但两

ff

个向量相等，不一定有相同的起点和终点;B正确，因为凰％DC,所以

—►f

1ABi=|DQ且川3〃DC,又A,B,C,D是不共线的四点，所以四边形ABCD

为平行四边形;C错误，当a〃b且方向相反时，即使|a|=|b|,也不能得

到a=b,所以“值|=此|且a〃b"不是“a=b”的充要条件,而是必要不

充分条件;D错误，当入=P=0时,a与b可以为任意向量,满足Xa=u

b,但a与b不一定共线.故选B.

3.给出下列命题:①零向量的长度为零,方向是任意的;②若a,b都是

—>f

单位向量，则a=b;③向量.与34相等.则所有正确命题的序号是

(A)

A.①B.③C.①③D.①②

解析:根据零向量的定义可知①正确;根据单位向量的定义可知，单位

向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②

ff

错误；向量版与员4互为相反向量,故③错误.故选A.

一题后悟通

向量有关概念的关键点

⑴向量定义的关键是方向和长度.

⑵非零共线向量的关键是方向相同或相反,长度没有限制.

⑶相等向量的关键是方向相同且长度相等.

(4)单位向量的关键是长度等于1个单位长度.

⑸零向量的关键是长度是0,规定零向量与任何向量共线.

慢考点二向量的线性运算

口角度一向量的线性运算

(1)在AABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则

%)

A演#B•2#

c3Wf+1M-D：伍加3f

⑵如图,在直角梯形ABCD中,AB=2AD=2DC,E为BC边上一点,BC=3EC,

F为AE的中点，则8尸=()

工-2f2一工一

A.WWB.->+>

2f2f!.一

C,^+>D.X>

解析:⑴扇垣最观3一二血延=加一加.故选A.

f［二］ff2ffff

⑵根据平面向量的运算法则得昨5也加比产也卢产/CW

f->ff1f

因^AC=AD+DCDC^AR

所以薪」那一画二应触故选B

解题策略

向量的线性运算问题要瞄准结论

(1)不含图形的情况:可直接运用相应运算法则求解.

(2)含图形的情况:将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相

等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量

表示出来求解.

口角度二根据向量线性运算求参数

—>

CW司⑴在平行四边形ABCD中,E,F分别为边BC,CD的中点，若砒

->—>

xA£+yAF(x,y£R),贝ijx-y=.

ff

⑵已知D为ZWC的边BC的中点，点P满足巴^+侬。,初=XPD,

则实数人的值为.

解析:⑴由题意得£=藁+赢几+3应第九谑石+池,

因为血x星+),

f尸fXf

所以犯函)皿(闲)吗

(x+?=l,%

所以C+y=优解得°一"

所以x-y=2.

fff—ff

⑵因为D为aABC边BC的中点,所以叫"=2尸",又尸4s尸+==0,

所以时尸即理?^々所以4P7尸”,所以入=-2.

答案：⑴2(2)-2

解题策略

与向量的线性运算有关的参数问题,一般是构造三角形,利用向量运

算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过建立方程组即可求得

相关参数的值.

［针对训练］

1.在AABC中,D是AB边上的中点，则CB=()

A.2,"+以B,8一2c4

C.2.CDCAD,C。2cA

ffff-►f

解析:在aABC中,D是AB边上的中点，则CB=C&+D8=CD+AD=CD+

(AC+叫=2。”一以.故选c

2.在aABC中，点M,N满足AMqMC,BN=NC.^MN=xAB+yAC则

x=;y=.

解析:就二症

"+户

=洌+：(加扇

刹一洌

=xAB+y4C,

所以x=2,y=-6.

11

答案：56

考点三共线向量定理及其应用

口角度一利用向量共线求参数

G胆d)设向量ebe2是平面内的一组基底，若向量a=-3e「e2与b=e「入

ez共线，则入=()

11

A.3B.-3C.-3D.3

解析:法一因为a,b共线,aWO,所以存在P£R,使b=ua,即e「入

<1=一3丛1

e2=U(-3e「e2),又ebe2不共线,所以1-入=p,所以人=-&故选B.

1

法二由题意-3X(-X)-(-1)X1=0,所以入=-3.故选B.

解题策略

使用共线向量基本定理的大前提是至少有一个向量是非零向量.

口角度二三点共线问题

(1)设ei与e2是两个不共线的向

—>—►—>

CBCfl

量,怂=3巳+262,=kei+e2,=3e-2ke2,若A,B,D三点共线，则k的值

为

—►

⑵设不共线,求证:p,A,B三点共线的充要条件是:°吃入0A+

且入+口=1,x,MeR.

f

⑴解析：因为A,B,D三点共线，所以必存在一个实数入，使得凰3：

BDCBCD

X,又«=3&+2e2,=ke,+e2,=3e-2ke2,所以区”;CD_CB=3e「

2ke2-(kei+e2)=(3-k)e1—(2k+l)e2,所以3e1+2e2=人(3_k)ei_(2k+l)e2,

(3=A(3-k),§

又6与ez不共线,所以匕=一人("+1)，解得k=-i

9

答案:二

(2)证明:充分性:因为人+口=1,

所以°p=X°4n°B=(bp)0A+口OBJ)A+p=%pAB

所以0P-04u版.

—>—>f—>

所以和u”所以叫和共线.

因为两向量有公共点A,所以A,P,B三点共线.

必要性:若P,A,B三点共线，

则"=n•=u(。3_04),

所以°尸-°叫Pp

所以0P=(1-u)uOB.

fff

令人=1-p,则。p=入%+p哽其中p+入=1.

ff-

综上,P,A,B三点共线的充要条件是:°尸=入6M+u欠且入+u=l,入，

口£R.

解题策略;

证明三点共线问题,可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点

共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时一,才能得出三点共线，

—►—>

即A,B,C三点共线=也,"共线.

［针对训练］

—>->—>—►

1.已知向量a与b不共线,"=a+mb,AC=na+b(m,n£R),则也与"共

线的条件是()

A.m+n=OB.m-n=O

C.mn+l=OD.mn-l=O

f-►

解析:法一由“=a+mb,"'=na+b(m,n£R)共线，得a+mb=入(na+b),

fl=

即lm=Z所以mn-l=O.

——

法二拉与“共线的充要条件是1xl-mn=o,即mn-l=o.故选D.

2.如图所示,在4ABC中，点。是BC的中点，过点。的直线分别交AB,AC

->—>—►->

所在直线于不同的两点M,N,若和小池,"二n闻,则m+n的值为()

A

Mj/

A.1B.2C.3D.4

解析:法一连接AO.由于。为BC的中点,

f1.TT

故"=万1+4。）,

而=位4强血画3血蒜)6+次

同理，丽=海+,二他

由于向量却尸°共线，故存在实数入使得好=入*°,即

11T1Z,1T11-

A54CABAC

(2-m)+2=2A+A(2-；)

TT111111

由于空AC不共线,故得屋£5人且汇入(2-；),

消去入，得(m-2)(n-2)=mn,

化简即得m+n=2.故选B.

法二当MN与直线BC重合时,.=4玫AC=4N,此时m=1)n=1＞所以

m+n=2.故选B.

3.设向量a,b不平行，向量入a+b与a+2b平行，则实数入=.

解析:法一因为向量a,b不平行,所以a+2bW0,又向量入a+b与a+2b

平行,则存在唯一的实数u,使入a+b=u(a+2b)成立,即入a+b=pa+2

”=出!

ub,贝!J得11=2M,解得X=u=2.

111

法二由题意n区所以入不

答案

备选例题

am已知四边形ABCD是平行四边形，点E在CB的延长线上,BC=3,

AE=AB=1,ZC=30°,若4f=乂期+丫曲，则x=,y=.

解析：因为AB=AE=1,NABE=NC=30°,由余弦定理得BE=*,因为BC=3,

所以BC=/E,所以次=-学辰，所以还=6+限通学谎=

4s与加则x=l,y=-¥.

在

答案：1与

CSD设两个非零向量a与b不共线.若ka+b与a+kb共线，则

k=.

解析：因为ka+b与a+kb共线,则存在实数入，使ka+b=入(a+kb),即(k-

入)a=(入k-l)b.又a,b是两个不共线的非零向量,所以k-入=入kT=O.

消去入，得k2-l=0,所以k=±l.

答案：士1

课时作业灵活彳、强裔教提彩

奄1选题明细表

知识点、方法基础巩固练综合运用练应用创新练

平面向量的概念1,613

平面向量的线性运算2,3,4,8

向量共线5,7,911

综合问题10,12,1415

A级基础巩固练

1.设a是非零向量，入是非零实数，则下列结论正确的是（B）

A.a与入a的方向相反

B.a与人2a的方向相同

C.|-入a121al

D.|-A，a|2|人|,a

解析:对于A,当人＞0时,a与人a的方向相同，当入＜0时,a与入a的方

向相反,A不正确,B正确;对于C,|-入a|=|-人||a|,由于|-「|的大小

不确定，故入a|与|a|的大小关系不确定,C不正确;对于D,|人|a是

向量，而I-入a|表示长度,两者不能比较大小,D不正确.故选B.

2.矩形ABCD的对角线相交于点0,E为AO的中点,若旌=入必+口加

（入，u为实数），则入2+d=（A）

51

A.8B.4

5

C.1D.16

11I1I3

解析刀叼5#%。4。的叫.”叫响“Ms

135

所以入二&U=<,所以入2+口2.故选A.

3.在等腰梯形ABCD中，丽二-?。"1为BC的中点，则期=(B)

A.5眼欢

3f[f]f3f

cM+2限黑加

解析：因为版=-2。4

所以胆2后又M是BC的中点，

f.ff1-ff31

所以。=5(AB+AC)=2(AB+AD+DC)=彳花+w加故选

ffff—>

4.设D为4ABC所在平面内一点,BC=3CD,若修Z入版+RA。则入_

R=(A)

544S

A.-3B.-3C.3D.3

解析：由BJ3CD,可知B,c,D三点在同一直线上,如图所示.根据题意

及图形,可得肛4匕+弧仁*4C&=_洌+/所以入=与

♦145

以二3,所以入一u=一13=—3.故选A.

A

5.（多选题）已知等边三角形ABC内接于O0,D为线段0A的中点,E为

线段BC的中点，则B"=（AC）

A.汕+沁B.M或

f121

C.“鼻松D.产+次

—>f—>f1.f

解析:如图所示，已知BC中点为E,则幽时皿:叫鼻慢M

f-1.121

3（AB+BE）—BA_2%5义理、产+平.故选AC.

6.（多选题）在AABC中，下列命题正确的是（BC）

AAB_AC=BC

B.AB+BC+CA=Q

->—>ff

C.若（AB+AC）,（AB_AC）=o,则4ABC为等腰三角形

—>f

D.若A，•^>0,则4ABC为锐角三角形

解析：由向量的运算法则知值AC”AB+BC+C是°,故A错,B对;

因为（他+AC）.（*_AC）=Afl2_4c2=0

所以62=Q,即向=两，

所以△ABC为等腰三角形，故C对；

因为AC.AB〉O,

所以角A为锐角，但三角形不一定是锐角三角形,故D错.故选BC.

7.已知向量ebe2是两个不共线的向量,若a=2e「ez与b=&+入e?共线,

则X=.

解析:法一因为a与b共线，所以a=xb,

（x=2,

所以区=-1,

1

故人=-2.

X11

法二由已知工工,所以人=-2.

1

答案:与

8.如图所示，已知NB=30°,NA0B=90°,点C在AB上,OCJ_AB,若用

以和来表示向量血则谑二________.

ffff1ff1.ff3flf

解析：由题意易知。CQ+4CQ+*MQ+*（OB_CM）R。/OB

答案：*°4彳°，

fffff

9.已知a,b不共线,°4=a,°昆>℃=c,0°=d,0E=e,设t£R,如果

3a=c,2b=d,e=t(a+b),是否存在实数t使C,D,E三点在一条直线上？

若存在,求出实数t的值;若不存在,请说明理由.

f—>

解：由题设知，C"=d-c=2b-3a,^=e-c=(t-3)a+tb,C,D,E三点在一条

—>—►

直线上的充要条件是存在实数k,使得CE=kCD,gp(t-3)a+

b=-3ka+2kb,

整理得(t-3+3k)a=(2k-t)b.

ft-3+3k=0,

因为a,b不共线，所以有It-2fc=0,

6

解得t=5.

6

故存在实数t=M使C,D,E三点在一条直线上.

B级综合运用练

10.(多选题)设点M是4ABC所在平面内一点,则下列说法正确的是

(ACD)

f1f1.f

A.若4M与期+5则点卜［是边BC的中点

—>f—►

B.若网2AB-A。则点M在边BC的延长线上

fff

C,若则点M是4ABC的重心

fff11

D.若4MMx3+yAQ且x+y=2,则△MBC的面积是4ABC的面积的5

f1f1f

解析:若4M4⑷^z人匕,则点M是边BC的中点,故A正确；

fffffffff

若4M=2版_4。即4M_AB=AB_ACg|jBM=CB

则点M在边CB的延长线上,故B错误；

若AMJMCM^AM+BM+CM=Q

则点M是AABC的重心，故C正确；

fff1

如图,网x版+y4G且x+y=2

f-►一

可得2AM=2xAB+2yAC,

f->

设网2代则M为AN的中点，

1

则AMBC的面积是4ABC的面积的5,故D正确.故选ACD.

11.(多选题)设a,b是不共线的两个平面向量，已知PQ=a+sina・b,

其中a£(0,2n),QK=2a-b.若P,Q,R三点共线,则角a的值可以为

(CD)

7T5n7n11

A.kB."C,三D.丁

解析：由题意1x(T)-2sina=0,sina=-2.又a£(0,2n),故a的

7w11”

值可为彳或..故选CD.

12.在直角梯形ABCD中，A=90°,B=30°,AB=28,BC=2,点E在线段CD

—>—>—>

上,若神皿u”则P的取值范围是.

解析：由已知可得AD=1,CD=b,所以

—>f

因为点E在线段CD上，所以DE=、DC(ow入W1).

因为AE=AZ)+DE,

又星二G+pAB^AD+2pDC二G+华康

生*

所以3=1,即U=2.

1

因为0W入W1,所以

1

答案：[0,2]

13.如图,在4ABC中,D为BC的四等分点,且靠近B点,E,F分别为

f—>

AC,AD的三等分点,且分别靠近A,D两点,设.=为AC=b.

E

B

DC

⑴试用a,b表示BQ初产汽

⑵证明:B,E,F三点共线.

->f

⑴解:在aABC中，因为方=2,4c=b,

所以3c=4C—怂=b-a,

^O=^+BD-AB+^^=a+*(b-a)=*a+*b,

在虱值_冠泳一+品

f1

⑵证明：因为B昆-a+拓，

—>,—>~>—>•2>

BF_BA+AF_AB^AD

—十——十S

23111

=-a+§(<a+<b)=-2a4-6b

11

=2(-a+3b),

f1fff

所以BF与BE共线，且有公共点B,

所以B,E,F三点共线.

—>

14.经过AOAB的重心G的直线与OA,0B分别交于点P,Q,设°尸=

m04m,n£R.

11

(1)证明:为定值；

⑵求m+n的最小值.

⑴证明：设认a,。%.

f21f—1

0B

由题意知。义5(0A)=3(a+b),

PQ=°Q-8=nb-ma,

PG-OG_OP=(3_m)a+§b,

由P,G,Q三点共线得，

存在实数入，使得PQ—小

即nb-ma=入(3-m)a+§入b,

TW=入(]，0,

71=3A,

从而

11

消去入得m+"=3.

11

(2)解：由(1)知,[+"=3,

于是m+n=3(m+n)(m+n)=

1nm14

3(2+«+»)>3(2+2)=3

24

当且仅当m=n=W时,m+n取得最小值,最小值为W.

C级应用创新练

15.已知Ai,A2,A3为平面上三个不共线的定点,平面上点M满足

——————

AMA1J4ZA1J43

I=A（+）（人是实数），且MA+MA2+MA是单位向量,则

这样的点乂有（C）

A.0个B.1个C.2个D.无数个

解析：法一由题意得，=-入（+）,=+

—»—»—>—>

A1A2MA3=MAi+AiAa

——

所以M4+MA2+MA3=（1一3人）•（公及+公鱼）,如图所示,设D为A2A3的

中I占八、、，

所以（1-3X）（&42+4艮3）是与&D共起点且共线的一个向量,显然直

线AD与以Ai为圆心的单位圆有两个交点,故人有两个值，即符合题意

的点M有两个.故选C.

法二以A为原点建立平面直角坐标系（图略），

设A2（a,b）,A3（m,n）,

—»—»

则442+41/&=(a+m,b+n),

所以M(入(a+m),X(b+n)),

所以MA1=(—入(a+m),-入(b+n)),

MA?=(a-\(a+m),b-入(b+n)),

MA3=(m-入(a+m),n一人(b+n)),

所以M4I+M42+M43=((I-3入)(a+m),(1-3入)(b+n)).

因为MA1+MA2+MA3是单位向量，

所以(1-3入)2[(a+m)2+(b+n)2]=l,

因为A„A2,A：；是平面上三个不共线的定点，

所以(a+m)2+(b+n)2〉0,所以关于X的方程有两解,故满足条件的M有

两个.故选C.

第2节平面向量基本定理及坐标表示

©课程标准要求

1.理解平面向量基本定理及其意义.

2.借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示.

3.会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算.

回归教材夯集团基

必备知识•课前回顾

先知识梳理

1.平面向量基本定理

(1)定理:如果由,L是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一

平面内的任一向量a,有且只有一对实数入I,入2,使a=入Ci+入202.

(2)基底：不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一个

基底.

2.平面向量的坐标运算

⑴向量加法、减法、数乘及向量的模

设a=(xi,yi),b=(X2,y2),则

a+b=(xi+x2>yi+y2),a-b=(xi-x2,yi-y2),

20,),㈤二所.

(2)向量坐标的求法

①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.

—»

②设A(xi,yi),B(x2,y2),则叔=(x2-x”ucb,

x22

AS=V<2^i)+(y2^i)

3.平面向量共线的坐标表示

设a=(xbyj,b=(x2,y2),其中aWO,bKO,a,b共线自(工2』丫1=0.

,重要结论

1.若a与b不共线,且入a+口b=0,则入=R=0.

2.已知P为线段AB的中点，若A(x1,yJ,B(X2,y2),则P点坐标为

xi+x2n+n

(亍,▼).

3.已知△ABC的重心为G,若A(xi,yi),B(x2,y2),C(x3,y3),则

G(33).

对点自测

1.(必修第二册P33练习T1改编)已知平面向量a=(l,l),b=(l,-1),

13

则向量电与b=(D)

A.(-2,-1)B.(-2,1)

C.(-1,0)D.(-1,2)

解析：因为a=(l,1),b=(l,T),

111333

所以5a=(5,5),5b=(5,工)，

131313

所以2a-九=(2-22+2)=(-1,2).故选D.

2.(必修第二册P33练习T5改编)若P(1,3),P2(4,0)且P是线段PR

的一个三等分点，则点P的坐标为(D)

A.(2,2)B.(3,-1)

C(2,2)或⑶-1)。(2,2)或(3,1)

—>

解析：由题意可知P1尸2=(3,-3).

T1T

若尸走尸遇

2,则P点坐标为⑵2);

T2T

若pgg则P点坐标为(3,1).故选D.

3.已知向量a=(2,3),b=(-l,2).若ma+nb(m,n£R)与a-2b共线，则

m

n—

解析:ma+nb=m(2,3)+n(-1,2)=(2m-n,3m+2n).

a-2b=(2,3)-2X(-1,2)=(4,T).

因为(ma+nb)//(a-2b),

所以-(2m-n)-4(3m+2n)=0,

所以2m+n=0,

HX1

所以"二♦.

1

答案:与

4.已知口ABCD的顶点2),B(3,-1),C(5,6),则顶点D的坐标

为.

—-(4=5-x,

解析：设D(x,y),则由4得(4,1)=(5-x,6-y),即H=6—y,解得

=1,

ty=5.

答案：(1,5)

关键能力•课堂突破美小涛支砥实©

政考点一平面向量的坐标运算

1.已知0为坐标原点，点C是线段AB上一点，且A(l,1),C(2,3),

—»—»—»

|BCI=2)AC),则向量叫勺坐标是.

—»—>

解析：由点C是线段AB上一点，|BC|=2|4q,

彳![Be二_?AC

设点B的坐标为(x,y),则(2-x,3-y)=-2(l,2),

(2-x=-2,(x=4,

即l3f=T,解得［y=7.

所以向量的坐标是(4,7).

答案：(4,7)

2.如图所示，以小,ez为基底，贝Ua=.

解析：以e的起点为坐标原点,e.所在直线为x轴建立平面直角坐标系,

则ei=(l,0),e2=(-l,1),a=(-3,1),令a=xe1+ye2,即(-3,1)=

=-3,

x=-2,

y=

x(l,0)+y(T,1),则>所以=L

EPa=-2ei+e2.

答案：-2e"2

3.已知A(-2,4),B(3,T),C(-3,-4).设.=为BC=b,%=c,且

3c,CW=-2b.

(1)求3a+b-3c;

(2)求满足a=mb+nc的实数m,n;

(3)求M,N的坐标及向量而

的坐标.

解：由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8).

(1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=

(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).

(2)法一因为mb+nc=(-6m+n,-3m+8n),

f—6m+7i=5,Cm=-1,

所以=-5,解得In=-1.

法二因为a+b+c=O,

所以a=-b-c,

又因为a=mb+nc,

所以mb+nc=-b-c,

pre=T,

所以G=T.

———

⑶设0为坐标原点，因为CM=0M_0C=3C,

—>—>

所以0M=3C+℃=(3,24)+(-3,-4)=(0,20).

所以M(0,20).

又因为应靛遑-2b,

——»

所以0N=-2b+℃=(12,6)+(-3,-4)=(9,2),

一

所以N(9,2),所以乂*=(9,-18).

一题后悟通

向量的坐标运算主要是利用向量的加法、减法、数乘运算法则进行,

若已知有向线段两端点的坐标,则应先求出向量的坐标,求解过程中

要注意方程思想的运用.

慢考点二平面向量基本定理及其应用

C®3如图,在正方形ABCD中,M,N分别是BC,CD的中点,若此=入AM+

uBN,则入+P=

解析:法一由而=6+：弱盛心/+也得成=入八+口讪=

产T入->

(人工)AB+@+R)AD,^AC_AB^_AD

产=1，b4，

-+11=1,|«=2?

所以2解得15•所以入+R=5.

法二以AB,AD所在直线分别为X轴,y轴，建立平面直角坐标系，如

图所示，

设正方形的边长为1,贝产二(1,5)产也(-2,1),AC=(1,1),

TTT1.X

因为AC=xAM+llBN=(x_2[1i+ll))

@=L，号

所以&"=L解得卜=小

所以入+u=5.

答案：5

解题策略

1.先选择一组基底,并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，

再通过向量的运算来解决.

2.在基底未给出的情况下,合理地选取基底会给解题带来方便.另外,

要熟练运用平面几何的一些性质定理.

3.建立适当的坐标系,利用向量的坐标运算.

［针对训练］

1.如果e.,ez是平面a内一组不共线的向量,那么下列四组向量中，不

能作为平面内所有向量的一组基底的是（）

A.Sie1+e2

B.e1-2e?与ei+2e2

-

C.ei+e2与eie2

D.ei+3e?与6ez+2ei

解析:法一选项A中，设e1+e2=入e1,

fl=A,

则11=0,无解;

选项B中，设e「2e?=入（ei+2e2）,

fA=l,

则1—2=2A,无解;

选项c中，设e,+e2=人（e-e2）,

(A=l,

则11=I无解;

选项D中，ei+3e2=5(6e2+2ej,所以两向量是共线向量.故选D.

法二只有D项的ebe2的对应系数成比例.故选D.

—>—>

2.如图,A,B分别是射线OM,ON上的点,给出下列向量:①%+2°2②

1-1.一3-1.一3-1.一

z%0B；③*啊叱④彳ob若这些向量均以o为起点,则终

点落在阴影区域内(包括边界)的向量是()

A,①②B.①③

C.②③D.②④

解析：由向量共线的充要条件可得当点P在直线AB上时,存在唯一的

-对有序实数u,v,使得°P=u°4v吗戈立，且u+v=l.

———

可以证明当点P位于阴影区域内的充要条件是满足°P=u04+v°B,且

u>0,v>0,u+v>l.因为1+2>1,所以点P位于阴影区域内，故①正确；同

理③正确；而②④错误.故选B.

考点三共线向量的坐标表示及其应用

口角度-利用向量共线求参数

⑴已知向量a=(2,l),b=(x,T),且a-b与b共线，则x的值

为

⑵已知向量a=(l,2),b=(2,-2),c=(l,入).若c〃(2a+b),则入

解析：(1)因为a=(2,1),b=(x,-1),

所以a-以(2-x,2),

又因为a-b与b共线，

所以(2-x)X(-l)—2x=0,

所以x=-2.

(2)由题意得2a+b=(4,2),因为c=(1,入)，且c〃(2a+b),所以4人-2=0,

即入=2.

答案：⑴-2(2)2

解题策略

如果已知两向量共线,求某些参数的取值时,利用“若a=(xi,y.),b=

(x2,y2),则a〃b的充要条件是xj2一X2yi=0”.

口角度二利用向量共线求向量或点的坐标

OC^OAOD

(SH)在AABC中，已知点0(0,0),A(0,5),B(4,3),=

1T

20B,AD与BC交于点M,则点M的坐标为,

解析：因为点0(0,0),A(0,5),B(4,3),

53

所以点C(0,4),同理点D(2,5).

设M的坐标为(x,y),

则4M=(x,y-5),而他=(2,工),

—»—>

因为A,M,D三点共线,所以4M与初共线，

7

所以与x-2(y-5)=0,即7x+4y=20,

T5T57

而C*=(x,y-4),8=(4-0,3-4)=(4,4),

—>—»

因为C,M,B三点共线,所以CM与CB共线，

75

所以他-4(y-«)=0,即7xT6y=-20,

|7x+4y=20,卜=募，

,(7x-16y=-20,_7

由得z(gv

12

所以点M的坐标为(7,2).

12

答案:(亍,2)

解题策略

引入参数表示出未知点的坐标，借助向量共线的坐标计算求解便可.

［针对训练］

—>

1.已知向量a=(l,1),点A(3,0),点B为直线y=2x上的一个动点,若一

//a,则点B的坐标为.

—>

解析:设B(x,2x),则超=(x-3,2x).

—»

因为加〃a,所以x-3=2x,即x=-3.

所以B(-3,-6).

答案：(-3,-6)

2.平面内给定三个向量a=(3,2),b=(T,2),c=(4,1).若d满足

百

(d-c)〃(a+b),且|d-c|=，求d的坐标.

解：设d=(x,y),则d-c=(x-4,y-1),

百

又a+b=(2,4),|d-c|-,

'4(D-2g)=0,

所以［GY)2+(y_l)2=5,

(x=3,(x=5,

解得=T或(y=3.

所以d的坐标为(3,-1)或(5,3).

一备选例题

—>

CSD在平行四边形ABCD中,A(1,2),B(-2,0),AC=(2,-3),则点D的

坐标为()

A.(6,1)B.(-6,-1)

C.(0,-3)D.(0,3)

解析:川%(-3,-2)=DC,所以初/匕+。。=4£他=(5,_1),则D(6,1).

故选A.

例2向量a,b,c在正方形网格中，如图所示，若c=入a+ub(入，ne

R),则占)

A.1B.2C.3D.4

解析：以0为坐标原点，建立平面直角坐标系,设每个小正方形边长为

1,可得a二(—1,1),b—(6,2),

c=(~l,-3).

因为c=入a+ub(入，H£R),

.1=T.+6内

所以1—3…2眄

11

解得人=-2,u=-2,所以叱4.故选D.

丽已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),则AC与0B的交点P的坐标

为.

—»—>

解析:法一设0为坐标原点，由O,P,B三点共线，可设°尸=入

(4入，4入)，则4P3-%=(4入-4,4入).

又4c=℃Q=(_2>6),

由AP与AC共线,得&人-4)X6-4XX(-2)=0,

3T3T

解得入V,所以°P=*°纥⑶3),

所以点P的坐标为⑶3).

法二设点P(x,y),0(0,0),则(x,y),因为。叫(4,4),且叫在

*y

共线，所以Z4即x=y.

又和(x-4,y),AC=(-2,6),且硬与A。共线,

所以(x-4)X6-yX(-2)=0,解得x=y=3,

所以点P的坐标为⑶3).

答案：(3,3)

灵活彳、竭漕敬提混

课时作业

喳＞选题明细表

知识点、方法基础巩固练综合运用练应用创新练

平面向量的坐标运算1,7,8

平面向量基本定理及应用2,4,5,910

共线向量的坐标表示及其

3,613

应用

综合问题11,12,1415

A级基础巩固练

1.在如图所示的平面直角坐标系中，向量"的坐标是(D)

A.(2,2)B.(-2,-2)

C.(1,1)D.(-1,-D

—>

解析:因为A(2,2),B(l,1),所以.=(T,T).故选D.

2.在下列向量组中，可以把向量aE3,2)表示出来的是(B)

A.e1=(0,0),©2=(1,2)

B.e.=(-l,2),e2=(5,-2)

C.e1=(3,5),e2=(6,10)

D.ei=(2,-3),©2=(~2,3)

解析:对于A,C,D都有e,/7e2,所以只有B成立.故选B.

3.设向量a=(m,2),b=(l,m+1),且a与b的方向相反,则实数m的值为

(A)

A.-2B.1

C.-2或1D.m的值不存在

解析：向量a=(m,2),b=(l,m+1),因为a/7b,所以m(m+l)=2X1,解得

m=-2或m=L当m=l时，a=(l,2),b=(l,2),a与b的方向相同，舍去；当

m=-2时,a=(-2,2),b=(l,T),a与b的方向相反,符合题意.故选A.

4.在平面直角坐标系xOy中，已知A(l,0),B(0,1),C为第一象限内一

■fff

点，NA0C=4且0C=2,若丝人如+P欠，则入+P等于(A)

VV2V2

A.2B.Y

C.2D.4

-废废

解析：因为0C=2,ZAOC=*,C为第一象限内一点,所以Cl：山），

又儿=入d+/々

所以（施