高考数学一轮总复习 第十一章 直接证明与间接证明

高考数学一轮总复习第十一章直接证明与间接证明课件第1页，共43页，2023年，2月20日，星期四第十一章复数、算法、推理与证明第4节直接证明与间接证明第2页，共43页，2023年，2月20日，星期四1．了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点．2．了解反证法的思考过程和特点．第3页，共43页，2023年，2月20日，星期四[要点梳理]1．直接证明内容综合法分析法定义从__________出发，经过逐步的推理，最后达到__________的方法，是一种从_____推导到_____的思维方法从__________出发，一步一步寻求结论成立的__________，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实的方法，是一种从_____追溯到___________________________的思维方法已知条件待证结论原因结果待证结论充分条件结果产生这一结果的原因第4页，共43页，2023年，2月20日，星期四特点从“_____”看“_____”，逐步推向“_____”，其逐步推理，实际上是要寻找它的__________从“_____”看“_____”，逐步靠拢“_____”，其逐步推理，实际上是要寻找它的__________步骤的符号表示P0(已)⇒P1⇒P2⇒P3⇒P4(结论)B(结论)⇐B1⇐B2…⇐Bn⇐A(已知)已知可知未知必要条件未知需知已知充分条件第5页，共43页，2023年，2月20日，星期四质疑探究：综合法和分析法有什么区别与联系？提示：(1)分析法的特点是：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是寻求它成立的充分条件．(2)综合法的特点是：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，实际上是寻找它成立的必要条件．(3)分析法易于探索解题思路，综合法易于过程表述，在应用中视具体情况择优选之．第6页，共43页，2023年，2月20日，星期四2．间接证明反证法定义要证明某一结论Q是正确的，但不直接证明，而是先去假设___________(即Q的反面非Q是正确的)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设非Q是错误的，从而断定结论Q是正确的，这种证明方法叫做反证法．证明步骤(1)分清命题的条件和结论；(2)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；(3)由假设出发进行正确的推理，直到推出矛盾为止；(4)由矛盾断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立．Q不成立第7页，共43页，2023年，2月20日，星期四适用范围(1)否定性命题；(2)命题的结论中出现“至少”、“至多”、“惟一”等词语的；(3)当命题成立非常明显，而要直接证明所用的理论太少，且不容易说明，而其逆否命题又是非常容易证明的；(4)要讨论的情况很复杂，而反面情况很少.第8页，共43页，2023年，2月20日，星期四第9页，共43页，2023年，2月20日，星期四[解析]

因为a2＋b2－1－a2b2≤0⇔(a2－1)(b2－1)≥0.[答案]

D第10页，共43页，2023年，2月20日，星期四3．(2014·山东高考)用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是(

)A．方程x2＋ax＋b＝0没有实根B．方程x2＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x2＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x2＋ax＋b＝0恰好有两个实根[解析]

“方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”等价于“方程x2＋ax＋b＝0有一个实根或两个实根”，所以该命题的否定是“方程x2＋ax＋b＝0没有实根”．[答案]

A第11页，共43页，2023年，2月20日，星期四[答案]

3第12页，共43页，2023年，2月20日，星期四[答案]

－b第13页，共43页，2023年，2月20日，星期四第14页，共43页，2023年，2月20日，星期四思路点拨(1)取特殊值代入计算即可证明；(2)对照新定义中的3个条件，逐一代入验证，只有满足所有条件，才能得出“是理想函数”的结论，否则得出“不是理想函数”的结论．第15页，共43页，2023年，2月20日，星期四第16页，共43页，2023年，2月20日，星期四第17页，共43页，2023年，2月20日，星期四第18页，共43页，2023年，2月20日，星期四拓展提高用综合法证题是从已知条件出发，逐步推向结论，综合法的适用范围：(1)定义明确的问题，如证明函数的单调性、奇偶性，求证无条件的等式或不等式．(2)已知条件明确，并且容易通过分析和应用条件逐步逼近结论的题型．在使用综合法证明时，易出现的错误是因果关系不明确，逻辑表达混乱．第19页，共43页，2023年，2月20日，星期四第20页，共43页，2023年，2月20日，星期四第21页，共43页，2023年，2月20日，星期四第22页，共43页，2023年，2月20日，星期四第23页，共43页，2023年，2月20日，星期四思路点拨本题若使用综合法，不易寻求证题思路．可考虑使用分析法．[证明]

∵m>0，∴1＋m>0.所以要证原不等式成立，只需证(a＋mb)2≤(1＋m)(a2＋mb2)，即证m(a2－2ab＋b2)≥0，即证(a－b)2≥0，而(a－b)2≥0显然成立，故原不等式得证．第24页，共43页，2023年，2月20日，星期四拓展提高分析法的特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”或本身已经成立的定理、性质或已经证明成立的结论等，运用分析法必须考虑条件的必要性是否成立．通常采用“欲证—只需证—已知”的格式，在表达中要注意叙述形式的规范性．第25页，共43页，2023年，2月20日，星期四第26页，共43页，2023年，2月20日，星期四第27页，共43页，2023年，2月20日，星期四第28页，共43页，2023年，2月20日，星期四第29页，共43页，2023年，2月20日，星期四第30页，共43页，2023年，2月20日，星期四第31页，共43页，2023年，2月20日，星期四拓展提高当一个命题的结论是以“至多”，“至少”、“唯一”或以否定形式出现时，宜用反证法来证，反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是：①与已知条件矛盾；②与假设矛盾；③与定义、公理、定理矛盾；④与事实矛盾等方面，反证法常常是解决某些“疑难”问题的有力工具，是数学证明中的一件有力武器．第32页，共43页，2023年，2月20日，星期四第33页，共43页，2023年，2月20日，星期四第34页，共43页，2023年，2月20日，星期四规范答题11反证法证明题的规范答题典例(2013·陕西高考)(本小题满分12分)设{an}是公比为q的等比数列．(1)推导{an}的前n项和公式；(2)设q≠1，证明：数列{an＋1}不是等比数列．审题视角

(1)利用等比数列的概念及通项公式推导前n项和公式；(2)利用反证法证明要证的结论．[满分展示]第35页，共43页，2023年，2月20日，星期四第36页，共43页，2023年，2月20日，星期四第37页，共43页，2023年，2月20日，星期四提醒：(1)推导Sn时，不可漏掉q＝1.(2)假设{an＋1}是等比数列时，不可用a1＋1，a2＋1与a3＋1建立关系来说明矛盾．【答题模板】第1步：当q＝1时，求Sn.第2步：当q＝1时，构造qSn.第3步：错位相减．第4步：假设结论、构造等式．第5步：转化为关于q的方程，得出矛盾．第6步：得出正确结论．第38页，共43页，2023年，2月20日，星期四第39页，共43页，2023年，2月20日，星期四第40页，共43页，2023年，2月20日，星期四第41页，共43页，2023年，2月20日，星期四[思维升华]【方法与技巧】1．分析法的特点：从未知看需知，逐步靠拢已知．2．综合法的特点：从已知看可知，逐步推出未知．3．分析法和综合法各有优缺点．分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考．实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，