2023届广西柳州、南宁市高三联考数学（理）试题【含答案】

2023届广西柳州、南宁市高三联考数学（理）试题一、单选题1．设集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据集合的交运算即可求解.【详解】由得，所以，故选：A2．若复数满足，则复数的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限为（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】利用复数的除法化简复数，再由共轭复数的定义求其共轭复数，利用复数的几何意义判断复数的对应点的坐标及所在象限位置.【详解】由已知可得，所以复数的共轭复数，所以，复数在复平面内对应的点的坐标为，该点在第一象限.故选：A.3．设，向量，，若，则（

）A． B．1或 C． D．1或【答案】B【分析】根据向量垂直求出或，结合二倍角余弦公式分类讨论即可.【详解】由，得,所以或,若,则；若，显然，则，所以综上，的值为1或.故选：B.4．如图，网格小正方形的边长为1，网格纸上绘制了一个多面体的三视图，则该多面体的体积为（

）A．14 B．7 C． D．【答案】C【分析】由三视图还原出原几何体为三棱台以及各边的关系，先证明平面，得出棱台的高.然后求出上下底面的面积，根据棱台的体积公式，即可得出答案.【详解】如图，由三视图还原可得，原几何体为三棱台，且有，，，.因为平面，平面，，所以平面.又，所以，三棱台的高即为.又，，，，，，所以，，所以，由棱台的体积公式.故选：C.5．甲单位有5名男性志愿者，7名女性志愿者；乙单位有4名男性志愿者，2名女性志愿者，从两个单位任抽一个单位，然后从所抽到的单位中任取1名志愿者，则取到男性志愿者的概率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由条件，根据全概率公式求解即可.【详解】设事件取到男性为，事件所抽到的单位为甲单位为，事件所抽到的单位为甲单位为，则，所以，故.故选：A.6．若，，则的最小值为（

）A． B．2 C． D．4【答案】C【分析】利用基本不等式即可求出最值.【详解】，，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.故选：C.7．已知实数x，y满足，若直线经过该可行域，则实数k的最小值为（

）A．－5 B．－ C．－ D．－【答案】B【分析】作出可行域，根据的几何意义，结合图象，可知最小.解得出点坐标，即可求出最小值.【详解】作出可行域根据已知可知，直线过定点，表示可行域内点与定点连线的斜率，根据图象可知，其最小值为.联立可得，，所以，所以，所以实数k的最小值为.故选：B.8．定义在上的偶函数在上单调递减，若，则的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据函数奇偶性和单调性，结合对数函数和指数函数的性质，比较出三者的大小关系..【详解】因为偶函数在上单调递减，故在上单调递增，，又，则.故选：A【点睛】本小题主要考查利用函数的奇偶性、单调性和对数函数、指数函数的性质比较大小，属于中档题.9．在中，角的边分别为，知，，则下列判断中错误的是（

）A．若，则 B．若该三角形有两解C．周长的最小值为12 D．面积的最大值【答案】C【分析】对于ABC，根据正、余弦定理结合基本不等式即可解决；对于D，由正弦定理得，根据三角恒等变换解决即可.【详解】对于A，，，由正弦定理得，所以，故A正确；对于B，由正弦定理得得，所以，因为，则有两个解，所以该三角形有两解，故B正确；对于C，由，得，所以，当且仅当时取等号，此时三角形周长最大为等边三角形，周长为12，故C错误；对于D，由选项C知，，当且仅当时取等号，故所以面积的最大值为，故D正确.故选：C.10．某中学高一年级组织了一次模拟测试，分一部和二部各750人参加.考试后统计的数学成绩服从正态分布，其中一部数学成绩的正态密度函数为，，二部数学成绩，则下列结论错误的是（

）附：随机变量正态分布，则，，.A．一部这次考试的数学成绩B．二部的分数在100分到分之间的大约有614人C．一部和二部分数在130分以上的人数大致相等D．二部的数学平均成绩高于一部的数学平均成绩【答案】A【分析】根据正态分布的性质逐项分析即可.【详解】对A，因为数学成绩服从正态分布,其密度函数,所以,即.所以这次考试的平均成绩为110，标准差为10，故A错误;对B，因为二部数学成绩7.5，对称轴为，有，所以分数在100到122.5分之间的概率为0.8185，人数人,故B正确;对C，一部数学成绩,二部数学成绩，则130分以上的概率相等，所以分数在130分以上的人数大致相同，故C正确.对D，易知,故D正确,故选：A.11．在三棱锥P－ABC中，，，且，，，，则此三棱锥外接球的体积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知求得，根据勾股定理证明得到，进而推得平面，则该三棱锥可以看作是长方体的一部分，求出长方体的体对角线长，即可得出外接球的半径，进而根据体积公式，即可得出答案.【详解】如图1，因为，，，所以.又，，所以在中，有，所以，，即.又，平面，平面，，所以平面.则该三棱锥可以看作是长方体的一部分，如图2其中，，，，则，所以此三棱锥外接球的半径为，所以，此三棱锥外接球的体积为.故选：B.12．椭圆的右焦点为，上顶点为，若存在直线与椭圆交于不同两点，重心为，直线的斜率取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设，根据重心性质可得，由点差法可得，结合关系和基本不等式可求直线的斜率取值范围【详解】设椭圆的半焦距为，由已知，，设，因为重心为，所以，所以，又，所以，所以，所以直线的斜率，当且仅当时等号成立，又，所以直线的斜率取值范围是，故选：B.【点睛】结论点睛，涉及椭圆的弦的中点问题常用到结论：若点为椭圆上的点，的中点坐标为，点为坐标原点，则.二、填空题13．若多项式的展开式中第5项的二项式系数最大，请写出一个满足题意的的值___________.【答案】（或也可以，答案不唯一）【分析】根据二项式展开式中间项的二项式系数最大求解即可【详解】因为的展开式中第5项的二项式系数最大，所以的展开式共有8项或9项或10项，即或或，解得或或，故答案为：（或也可以，答案不唯一）14．一个酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的方程是x2=2y（0≤y≤20）．在杯内放入一个玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径r的范围为【答案】0＜r≤1【详解】设小球圆心（0，y0）抛物线上点（x，y）点到圆心距离平方r2=x2+（y﹣y0）2=2y+（y﹣y0）2=y2+2（1﹣y0）y+y02若r2最小值在（0，0）时取到，则小球触及杯底,此二次函数对称轴在纵轴左边，所以1﹣y0≥0所以0＜y0≤1所以0＜r≤1故答案为0＜r≤1点评：本题主要考查了抛物线的应用．考查了学生利用抛物线的基本知识解决实际问题的能力．15．已知函数，若函数在上有极值，则实数a的取值范围为___．【答案】【分析】根据导数与极值的关系求解即可.【详解】因为，所以，为二次函数，且对称轴为，所以函数在单调递增，则函数在单调递增，因为函数在上有极值，所以在有解，根据零点的存在性定理可知，即，解得，故答案为：.16．若函数有两个零点，则实数的取值范围是___________.【答案】【分析】化简已知方程可得，故考虑设，利用导数研究函数的单调性，由此可得原方程等价于，由已知可得方程有两个解，即函数的图象与函数的图象有两个交点，利用导数分析函数的性质，作函数图象可得的取值范围.【详解】令可得，，所以，所以，所以，设，，则则，设，则，当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，所以，所以，函数在上单调递增，又，所以，所以，由已知方程有两个解，所以函数的图象与函数的图象有两个交点，，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以当时，函数取最大值，最大值为，又时，，当时，，当时，，当时，，当且时，，根据以上信息，可作出函数的图象如下，观察图象可得当时，函数的图象与函数的图象有两个交点，所以若函数有两个零点，则实数的取值范围是.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于先考虑将原不等式化为，由此考虑构造函数，结合函数的单调性化简方程，进一步考虑利用数形结合求参数范围.三、解答题17．记为数列的前n项和，．(1)证明是等差数列；(2)已知，若，求数列的前n项和．【答案】(1)证明见详解(2)【分析】（1）由已知推得，将换成，作差整理可得，将换成，作差整理可得，即可得出证明；（2）由已知可推得，设数列的前n项和为，得出以及的表达式，作差整理即可得出答案.【详解】（1）由可得，①，所以②，②-①得，，所以，③，当时，④，③-④得，，即，所以，是等差数列.（2）令，由已知可得，解得.因为，，由（1）知，公差，所以，，所以，.设数列的前n项和为，则，，作差可得，，所以，.18．中国女排，曾经一度成为世界冠军，铸就了响彻中华的女排精神.看过中国女排的纪录片后，某大学掀起“学习女排精神，塑造健康体魄”的年度主题活动，一段时间后，学生的身体素质明显提高，将该大学近5个月体重超重的人数进行统计，得到如下表格：月份12345体重超重的人数640540420300200(1)若该大学体重超重人数与月份变量份变量（月份变量依次为）具有线性相关关系，请预测从第几月份开始该大学体重超重的人数降至100人以下？(2)该大学鼓励学生自发组织各项体育比赛活动，甲､乙两班同学利用课余时间进行排球比赛，规定：每一局比赛中获胜方记1分，失败方记0分，没有平局，首先获得3分者获胜，比赛结束.假设每局比赛甲班获胜的概率都是.若甲班以的比分领先时，记为到结束比赛时还需要比赛的局数，求的分布列及期望.附1：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：；.附2：参考数据.【答案】(1)预测从第6月份开始该大学体重超标人数降至100人以下(2)分布列见解析，期望为【分析】（1）根据最小二乘法可计算得回归直线方程，由不等式即可求解,（2）根据相互独立事件的概率公式计算的各种取值对应的概率，再计算数学期望；【详解】（1）设线性回归方程为：，由已知可得：，，，，线性回归方程为：，令，可得，又，故．故可以预测从第6月份开始该大学体重超标人数降至100人以下．（2）的可能取值为2，3，4，，，，的分布列为：234．19．如图，以矩形的边为直径作半圆，点为半圆上一点，满足，.将半圆沿折起，使得半圆面和平面垂直.(1)求证：平面平面.(2)若是半圆弧上的一点（不包含两个端点），且异面直线与所成角的余弦值为.是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出线段的长度，若不存在，请说明理由.【答案】(1)见解析(2)存在，此时.【分析】（1）利用面面垂直的性质定理得到平面，则有，结合直径所对的圆周角为直角，利用面面垂直的判定定理即可证明；（2）首先利用异面直线夹角求出，再以点为坐标原点建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量法的二面角公式即可得到答案.【详解】（1）为矩形,，平面平面，且平面平面，平面，平面，而平面，，点在半圆上，为直径，，又，平面，平面，而平面,平面平面.（2）为矩形,,即为异面直线与所成角，即，由（1）易得，设，则，在中,，得,即，以点为原点，所在直线为轴,轴建立空间直角坐标系如图,设，则,，，设平面的一个法向量为，则，，令,则.设平面的一个法向量为,则，，令,则，，，结合，解得或(舍去)，，，为等边三角形,.存在点,使得二面角的余弦值为此时.20．已知.(1)求的单调区间；(2)当时，恒成立，求的最大值.【答案】(1)单调增区间为，单调减区间为.(2)1【分析】（1）直接求导得，利用导数求出其单调区间即可.（2）对原式变形为，构造函数，利用导数得其在单调递减，且，根据（1）的中的结论结合分离参数法即可得到的最大值.【详解】（1）函数定义域为，，，当时，，当时,,所以的单调增区间为，单调减区间为.（2）因为,即，令，，令，在单调递减,，所以.在单调递减，且,由（1）知当时,则，且,所以，而恒成立，所以，即的最大值为1.【点睛】关键点睛：本题第二问的关键构造函数，利用导数证明其在单调递减，且，再根据第一问中的结论得到，最后分离参数有恒成立，根据右边的范围，则得到的最大值.21．双曲线的离心率为，圆与轴正半轴交于点，圆在点处的切线被双曲线截得的弦长为.(1)求双曲线的方程；(2)设圆上任意一点处的切线交双曲线于两点，试判断是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由.【答案】(1)(2)是，2【分析】（1）由离心率为，得双曲线的方程可设为，由圆在点处的切线被双曲线截得的弦长为，得点在双曲线上，代入方程可得答案.（2）将切线方程与双曲线方程联立，由韦达定理可证明，后利用射影定理可得为定值.【详解】（1）设双曲线的半焦距为，由双曲线的离心率为知，，双曲线的方程可设为.易求得，又圆在点A处的切线被双曲线截得的弦长为点在双曲线上，，解得，双曲线的方程为.（2）当过点且与圆相切的切线斜率不存在时，切线方程为，由（1）知：.则，.当时，同理可得.当过点且与圆相切的切线斜率存在时，设切线的方程为，得.即.联立直线和双曲线的方程得，消去y得：，由题由韦达定理，.因，则，得.综上所述，圆上任意一点处的切线交双曲线于两点，都有.则在Rt中，由射影定理，有，则为定值2.【点睛】关键点点睛：本题为直线与双曲线综合题，难度较大.（1）问较为基础，（