2022-2023学年湖南省长沙市芙蓉高二年级上册学期期中数学试题【含答案】

2022-2023学年湖南省长沙市芙蓉高二上学期期中数学试题一、单选题1．设是等比数列，且，，则（

）A．12 B．24 C．30 D．32【答案】D【分析】根据已知条件求得的值，再由可求得结果.【详解】设等比数列的公比为，则，，因此，.故选：D.【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题．2．已知某圆锥的母线长为，底面圆的半径为，则圆锥的全面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由圆锥的表面积公式可求得该圆锥的全面积.【详解】因为圆锥的母线长为，底面圆的半径为，则该圆锥的全面积为.故选：B.3．如图正方形OABC边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是多少cm？（

）A．4 B．8 C．12 D．16【答案】B【分析】根据直观图与原图形的关系可知原图为平行四边形，且，利用勾股定理计算出其边长即可求得结果.【详解】根据直观图可画出原图形如下图所示：根据斜二测画法可知，原图四边形为平行四边形，且易知，，所以，因此的周长为.故选：B4．若直线与互相垂直，则等于（

）A． B． C．或 D．【答案】C【分析】根据两条直线互相垂直列关于的方程求解.【详解】因为直线与互相垂直，所以，化简得，解得或.故选：C5．设{}为等差数列，公差，为其前n项和，若，则=（）A．18 B．20 C．22 D．24【答案】B【详解】试题分析：由等差数列的前10项的和等于前11项的和可知，第11项的值为0，然后根据等差数列的通项公式，利用首项和公差d表示出第11项，让其等于0列出关于首项的方程，求出方程的解即可得到首项的值．解：由s10=s11，得到a1+a2+…+a10=a1+a2+…+a10+a11即a11=0，所以a1-2（11-1）=0，解得a1=20．故选B【解析】等差数列的性质点评：此题考查学生掌握等差数列的性质，灵活运用等差数列的通项公式化简求值，是一道基础题6．平面过正方体ABCD—A1B1C1D1的顶点A，,，，则m，n所成角的正弦值为A． B． C． D．【答案】A【详解】试题分析：如图，设平面平面=，平面平面=，因为平面，所以，则所成的角等于所成的角.延长，过作，连接，则为，同理为，而，则所成的角即为所成的角，即为，故所成角的正弦值为，选A.【点睛】求解本题的关键是作出异面直线所成的角,求异面直线所成角的步骤是：平移定角、连线成形、解形求角、得钝求补.7．关于的方程有两解，则k的范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据题目特征可知，方程有两解等价于直线与上半圆有两个交点，利用数形结合即可求得斜率.【详解】根据题意可知，表示的直线恒过定点，对两边同平方并移项得，，则表示的是圆的上半部分，若关于的方程有两解，即直线与上半圆有两个交点，画出图象如下图所示：易知，定点，即两点之间的斜率，同理，当直线从位置绕点沿顺时针方向旋转到位置时满足题意，所以需满足，即.故选：C8．若P为直线上一个动点，从点P引圆的两条切线PM，PN（切点为M，N），则线段MN的长度的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先设圆,圆心,根据贾意得到当最小时,最小,即可得到,再根据点在直线无限远取值时,趋近于，趋近于直径2,即可得到答案.【详解】设圆,圆心,要使的长度最小,则最小,即最小.因为,所以当最小时,最小.又因为,所以当最小时,最小.因为,所以，由图易知其为锐角，所以,，此时，，则.当点在直线无限远取值时,趋近于，趋近于直径2,所以.故选：B.二、多选题9．在等比数列中，，，以下正确的是（

）A．公比； B．数列为等比数列；C．的前项和一定为负数； D．数列是单调递增数列.【答案】ABD【分析】由等比数列的通项公式计算数列的公比判断选项A，写出数列的通项公式，即可得数列的通项公式，由等比数列的定义可判断选项B，再根据数列的公比判断选项D，利用求和公式计算数列的前项和，可判断得当为奇数时，，判断选项C.【详解】因为数列是等比数列，，，所以，解得，故A正确；所以，则，所以，由等比数列的定义可知，数列为等比数列，故B正确；因为，数列的公比为，所以数列是单调递增数列，D正确；由，，所以数列的前项和为，当为奇数时，，故C错误.故选：ABD10．下列说法正确的是（

）A．直线恒过定点B．直线在轴上的截距为1C．直线的倾斜角为150°D．已知直线过点，且在，轴上截距相等，则直线的方程为【答案】AC【分析】根据直线方程可得直线恒过定点判断A，由直线的斜截式可判断B，根据直线的斜率可判断C，分截距为0或不为0可求出直线方程判断D.【详解】直线即直线，当时，，即直线恒过定点，A正确；直线，即在轴上的截距为，B错误；直线的斜率为，则倾斜角为150°，C正确；因为直线过点，且在，轴上截距相等，当截距都为0时，直线方程为，当截距不为0时，可设直线方程为，则，即，则直线方程为，所以直线的方程为或，故D错误.故选：AC.11．已知m，n为异面直线，m⊥平面，n⊥平面.若直线l满足，则（

）A． B．C． D．与相交，且交线平行于l【答案】BCD【分析】利用异面直线、线面、面面的位置关系即可求解.【详解】由于m，n为异面直线，平面，平面，则平面与平面必相交，因为不一定垂直，因此平面也不一定垂直，但平面与平面的交线垂直于直线m，n，故A错误；平面，，，则，同理，故选项B、C正确；由选项A知平面一定相交，设，过直线作平面与平面交于直线，如图，则，同理过作平面与平面交于直线，则，所以，，，则，又，，则，所以，即选项D正确．故选：BCD12．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值（）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，已知，，点满足，设点的轨迹为圆，下列结论正确的是（

）A．圆的方程是B．过点向圆引切线，两条切线的夹角为C．过点作直线，若圆上恰有三个点到直线距离为2，该直线斜率为D．在直线上存在异于，的两点，，使得【答案】ABD【解析】根据，，点满足，设点，求出其轨迹方程，然后再逐项运算验证.【详解】因为，，点满足，设点，则，化简得：，即，故A正确；因为，所以，则，解得，故B正确；易知直线的斜率存在，设直线，因为圆上恰有三个点到直线距离为2，则圆心到直线的距离为：，解得，故C错误；假设存在异于，的两点，，则，化简得：，因为点P的轨迹方程为：，所以解得或（舍去），故存在，故D正确；故选：ABD【点睛】关键点点睛：本题关键是根据求出点的轨迹方程，进而再根据直线与圆的位置关系求解.三、填空题13．已知圆的圆心在轴上，并且过点和，则圆的方程是______.【答案】.【分析】设圆心坐标为,根据、两点在圆上利用两点的距离公式建立关于的方程，解出值.从而算出圆的圆心和半径，可得圆的方程.【详解】设圆心坐标为,点和在圆上，，即，解之得，可得圆心为.半径,圆的方程为.故答案为：.【点睛】本题考查圆的方程的求解，关键在于设出圆心的坐标，由圆上的点到圆心的距离都等于圆的半径，建立方程，属于基础题.14．曲线的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________.【答案】【分析】设切线的切点坐标为，对函数求导，利用，求出，代入曲线方程求出，得到切线的点斜式方程，化简即可.【详解】设切线的切点坐标为，，所以切点坐标为，所求的切线方程为，即.故答案为：.【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.15．棱长为1的正四面体外接球的表面积为______.【答案】##【分析】首先利用正四面体和球的关系，利用勾股定理求出外接球的半径，进一步利用表面积公式求出球的表面积.【详解】设正四面体，棱长为1，如图所示：设外接球的球心为，半径为，所以，由于，所以，在中，利用勾股定理：，即：，解得，所以该正四面体外接球的表面积为．故答案为：.16．已知函数，比较a，b，c的大小：_______.（用＜号连接）【答案】【分析】根据函数解析式可判断函数为偶函数，再由导数判断函数在上的单调性，根据对数的运算性质可得，再由单调性得解.【详解】的定义域为，关于原点对称，又，为偶函数，当时，，所以时，，单调递减，，，，因为，所以即.故答案为：四、解答题17．如图正方体棱长为1，上底面有一点E.(1)经过点E在上底面上作一条直线与平面平行（直接作在图上），并说明原因；(2)设E为上底面的动点，求三棱锥的体积.【答案】(1)答案见解析(2)【分析】（1）利用线面平行的性质定理找到这条线即可；（2）利用等体积法求体积.【详解】（1）过E作∥，又因为平面，平面，故∥平面，如图.(2)由题意，平面，故三棱锥的底面为，高为，利用等体积法得.18．在等差数列中，已知，.（1）求数列的通项公式；（2）若____，求数列的前项和.在①，②，③这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并对其求解.【答案】（1）；（2）答案见解析.【分析】（1）设等差数列的公差为，然后根据条件建立方程组求解即可；（2）若选条件①，用裂项相消法求解，若选条件②，用分组求和法求解，若选条件③，用错位相减法求解.【详解】（1）由题意，设等差数列的公差为，则，解得，，.（2）方案一：选条件①由（1）知，，.方案二：选条件②由（1）知，，，当为偶数时，，，当为奇数时，为偶数，，，；方案三：选条件③由（1）知，，，，两式相减，可得..【点睛】本题考查的是等差数列的基本运算和数列求和的方法，考查了学生对基础知识的掌握情况，较简单.19．如图，在三棱锥P-ABC中，∠ACB=90°，PA⊥底面ABC.(1)求证：平面PAC⊥平面PBC；(2)若AC=BC=PA，求平面PAB与平面PCB所成二面角的大小.【答案】(1)证明见解析(2).【分析】（1）由，结合面面垂直的判定证明即可；（2）作辅助线，证明，由二面角的定义得出即为二面角的平面角，再由三角形的边角关系求解.【详解】（1）平面，..平面PAC，平面.平面，平面PAC⊥平面PBC（2）在中，取中点，连接，则.在中，过D作于E，连接CE.由面，得，又，且平面PAB，故面.所以.又，且平面CDE，故面，所以.所以即为二面角的平面角.设.由题可得，，由得，.在中，，则.即平面与平面所成二面角的大小为.20．已知数列满足，，设.（Ⅰ）判断数列是否为等比数列，并说明理由；（Ⅱ）求数列的前项和.【答案】（1）见解析（2）【详解】分析：（Ⅰ）利用定义证明数列为等比数列.(Ⅱ)先求出，再利用错位相减求出数列的前项和.详解：（Ⅰ）由条件可得，，所以，即bn+1=2bn，又b1=1，所以是首项为1，公比为2的等比数列．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，所以．①②③整理得：

（）点睛：（1）本题主要考查数列性质的证明和错位相减求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的计算能力.(2)数列，其中是等差数列，是等比数列，则采用错位相减法.21．已知圆O：.(1)求直线关于直线对称的直线方程；(2)已知直线l平行于直线，且l与圆O交于C，D两点，，求直线l的方程.【答案】(1)(2)【分析】(1)先应用直线关于对称的直线斜率互为相反数求斜率，再点斜式可得所求直线方程;(2)先设直线方程为,再应用点到直线距离公式求解即可.【详解】（1）与直线关于对称的直线斜率互为相反数，且都过点,则所求直线的斜率为,故点斜式可得所求直线方程为即.（2）设直线平行的直线方程为，且满足，即在中，点O到直线CD的距离为，即可得，故直线方程为22．已知函数．(1)讨论的单调性；(2)若有两个零点，求a的取值范围；(3)若有两个零点分别记作，证明.【答案】(1)函数在上单调递增，在上单调递减.(2)(3)证明见解析【分析】（1）对函数求导可得，即可得出在上单调递增，在上单调递减；（2）利用函数与方程的思想可得函数与有两个不同的交点，根据（1）终结论画出函数图象，利用数形结合即可得；（3）由（2）可得两零点满足，构造函数再利用导数证明其单调性即可得.【详解】（1）由题意可知，函数的定义