2023届高三数学一轮阶段性测试题8平面解析几何（含解析）新人教A版

PAGE1-阶段性测试题八(平面解析几何)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间１20分钟。第Ⅰ卷(选择题共６０分）一、选择题(本大题共12个小题,每小题５分，共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.(20１5·江西赣州市博雅文化学校月考)设集合Ａ={(ｘ,ｙ)|eｑ\ｆ(x2，1６)+eq\ｆ(y2,４)＝1}，B={(x，y)|y=3ｘ}，则A∩Ｂ的子集的个数是(）A.４ B.３Ｃ.2 D.1[答案]A［解析]指数函数y=3ｘ的图象与椭圆eq\f(x2,１6)+ｅq\f（y2,４)＝1有两个交点，∴A∩Ｂ中有2个元素,∴其子集有22＝4个.２.(2０14·山东省博兴二中质检)“m=-1”是“直线ｍx+(2m－1)ｙ+2=０与直线3ｘ+ｍy＋３=0垂直”的(）A.充分而不必要条件 B．必要而不充分条件Ｃ．充要条件 D.既不充分也不必要条件[答案]A[解析]若两直线垂直,则3m＋m(２m-1）=0，∴m=0或-１,故选A.3.(文)（2014·银川九中一模)设Ａ、B为直线ｙ＝x与圆x2＋y2=1的两个交点,则|AB｜=()A．1 B.ｅｑ\ｒ(2)C.ｅｑ＼r(3）ﻩD．2［答案]D［解析]∵直线AB:y＝x过圆心,∴|AB|＝２，故选D．(理)(2014·北京西城区期末）已知圆C：(ｘ＋1）2＋(y－１)２=1与ｘ轴切于A点，与ｙ轴切于B点，设劣弧AB的中点为Ｍ,则过点M的圆C的切线方程是（)A．ｙ=x＋2－eq\r(2）ﻩB.y＝x+１－eq\f(１,\r（2))C.y＝x－2+eq＼r(２)ﻩD.ｙ=ｘ＋1-eｑ＼ｒ（2)［答案］Ａ[解析]由已知得M(eq\f(\r（2),2)-1,-eq\f（\r（2),2)+1),又切线斜率为1,故切线方程为y+eq\f（\r(２）,2）-１＝x-eq\f(＼r(2),2）+1，即ｙ=x＋2-eq\r(2).4．(2０１5·洛阳市期中)已知双曲线eｑ\f(x２，a2)－eq\ｆ(y2,b2)＝1的实轴长、虚轴长、焦距依次成等比数列，则其离心率为（)Ａ.eq\ｆ(＼r(5）+１,2）ﻩＢ.eq＼f(＼r(3)＋１,2)Ｃ．eq\f(5,3) Ｄ.eq\f(3，5)[答案］Ａ[解析］由题意知b2＝ac,∴c2-a２－ａc=0，∴e２-e－1＝0,∴ｅ=eq\f(＼r（5)+1,２)或ｅ＝ｅq\f（－＼r（5)＋1,2)(舍去).5.(2015·开封市二十二校联考)已知实数１,m,9成等比数列,则圆锥曲线eq＼f(x2,ｍ)+y2=1的离心率为(）A.eq\ｆ(\ｒ（6)，3) B.２C.eq＼f(\ｒ(6),3）或2ﻩD．ｅq＼ｆ(＼r(2),2）或eｑ＼r(3)[答案]C[解析］根据条件可知ｍ2＝９,∴m＝±3，当m＝3时,e=eq\f（c,a)=eｑ\f(\r(6),3)，m＝-３时,e=2，所以正确选项为C．6．(2015·洛阳市期中)过抛物线y2=４x的焦点F的直线交抛物线于Ａ，B两点,点O是原点,若｜AＦ｜=3,则△AOB的面积为(）Ａ.eq\f(\ｒ(２),２）ﻩB．eq\r(２)C．eq＼f（3\r(２)，２) D．2eq\r(2)[答案]C[解析]设A(x1,ｙ１),B（ｘ２，y２),由|AＦ|=３，知x1＝2,∴y1＝2eq＼ｒ（２),∵Ｓ△ＡOF=eｑ\f(1,2)｜OF｜·y1=ｅq\r(2），∴eq\r（2)<Ｓ△AOB<2eq\r(2)，故选Ｃ.7.(2０15·鹰潭一中、宜春中学、新余四中联考）以双曲线eq\f（x2,a２)－eq\f(y2，ｂ２)=1（a＞０,b>0）中心O(坐标原点）为圆心,焦距为直径的圆与双曲线在第一象限内交于M点,Ｆ1、F2分别为双曲线的左、右焦点，过点M作x轴的垂线，垂足恰为OF2的中点，则双曲线的离心率为()A．ｅq\r(3)-1 B.ｅq\r（３)C．ｅｑ＼ｒ(3)+1ﻩD．2[答案］C[解析]由题意知点M的坐标为M(ｅq＼f（c,2)，ｅq\f(＼r(3)c,2)),代入双曲线方程可得eｑ＼f(c2,4ａ2)－eｑ\f（3c2,４b2)＝1，∵b2=c２-ａ2，e＝eq\f（ｃ,a）,∴e4－8ｅ2＋4＝0,∴ｅ２＝4+2eq＼r(3）,∴e=eq\ｒ（3)＋1.故选Ｃ.8．（2015·广东揭阳一中期中)曲线eq\f(x2,1６）＋eq＼f(ｙ２，12)＝1与曲线eq＼f(x2，16－k）＋eｑ\f(y２，12－k)=1（12<k<1６)的()Ａ.长轴长与实轴长相等 B．短轴长与虚轴长相等C．焦距相等ﻩD．离心率相等[答案]C［解析］对于椭圆eq\f(x2,16）+eq\f（y２,１2)＝1，ｃ＝2，对于双曲线ｅq＼f（x2，16-k)－ｅq\f(y2,k-12)＝1，ｃeｑ\o＼al（２，1）=(１６－k)+(k-1２)=4，∴c１=２,故选C．9.（文)（201４·佛山质检）已知椭圆的两个焦点和短轴的两个端点恰好为一个正方形的四个顶点,则该椭圆的离心率为()Ａ．ｅq\f(1,3) B.eq\f(１,2)Ｃ.eｑ\f(\ｒ(3),３） D．ｅq\ｆ（\r（２）,2)[答案]D［解析］依题意椭圆的焦距和短轴长相等，故b=c，ａ2-c２=c2，∴e＝eｑ\ｆ（\r(2），２)．(理）(２014·吉林省实验中学一模)如图,F1、Ｆ2是双曲线C1:x2－eq\f（y2，3)＝1与椭圆Ｃ2的公共焦点,点Ａ是Ｃ１、Ｃ2在第一象限的公共点,若|F1Ｆ２|=|F1A|,则C2的离心率是()A.eq＼f(1,3）ﻩＢ.eｑ\ｆ（２,３)C．eq\ｆ(2,３）或ｅｑ＼f(2,5)ﻩD．ｅｑ＼f（2，５)[答案]B[解析］设椭圆方程为eq\f（x２,ａ2)＋ｅq\f(ｙ2,ｂ２)=1(a>b>0),由题意得,|ＡＦ1|=|F1F2|=2c=2ｅq\ｒ(1＋３)=４，∴ｃ＝2，｜ＡF1|－｜AF2|=２,∴|AF２｜＝2，∴2a=｜AＦ1｜+|AF２|=6，∴a＝3，∴ｅ=eq＼ｆ(c,ａ）=eq\f(2,3).10.(文)(2014·吉林延边州质检)已知双曲线eq\f（ｘ2，9)－ｅq\f(y2,ｍ）＝1的一个焦点在圆x2+y2-4ｘ-5＝0上,则双曲线的渐近线方程为()A.y＝±ｅq\f(3,４）ｘ B.y＝±eq\f(4,3)ｘC.y＝±eq\f(2\ｒ(2),3)x Ｄ.y=±ｅｑ\ｆ(３＼r(2),4)x[答案]B［解析]∵方程表示双曲线,∴m>０，∵ａ2=９,b２=m,∴ｃ２=a２＋b2=9＋m，∴c＝ｅq\r（9+ｍ)，∵双曲线的一个焦点在圆上,∴eq＼ｒ(9+m)是方程x2-4x-5=0的根,∴eq\ｒ(9＋m)=５,∴m=16，∴双曲线的渐近线方程为y＝±ｅq\f（4,3）x，故选B．(理)(20１4·银川九中一模)已知双曲线eq\ｆ（x2,2)－eq\f(y2,b2)=1（ｂ>0)的左、右焦点分别是F１、F２，其一条渐近线方程为ｙ=x，点Ｐ(eq＼ｒ(3）,ｙ0)在双曲线上,则ｅq\ｏ(PF１,\s\ｕp６(→）)·ｅｑ\o(ＰF2,＼s\up6(→))＝()A.－１2 Ｂ．－２C.0ﻩD.4［答案]Ｃ[解析］由渐近线方程为y=ｘ知，eｑ\f(b,\r(2))=1，∴b＝ｅq\r(2),∵点Ｐ(eｑ＼r(３),ｙ０）在双曲线上,∴y0＝±1,y0=1时，P(eｑ\ｒ(3)，1)，Ｆ1(－2,0),Ｆ2（２,0），∴eq\o(PF1,\ｓ\up6（→))·eq\o(PＦ2，\s\up6(→))＝0，y0＝－1时,P（eｑ\r(３)，-1),ｅq\o（PＦ1,\s\uｐ6(→）)·eq\o(ＰF2,\ｓ\up6（→）)=0,故选Ｃ.1１.(2０１5·开封四中期中)抛物线Ｃ：y2＝2pｘ(p>０)的焦点为F,Ｍ是抛物线C上的点，若三角形OＦＭ的外接圆与抛物线Ｃ的准线相切，且该圆的面积为36π,则p的值为()A.２ B.4Ｃ.6 Ｄ.８[答案］D［解析]设△OFM的外接圆圆心为O1，则｜O1O|=|O１Ｆ|=|Ｏ1Ｍ|,∴O1在线段OF的中垂线上，∴O１(ｅq\f(p,４)，ｅq\f(\r（２),2）p),又圆面积为36π，∴半径为6,∴eq＼f(p２,1６)＋eq＼f(1,2)ｐ2＝3６,∴ｐ=８.12．(2015·石家庄市五校联合体摸底)直线l:ｙ=k(x-ｅｑ\r(２)）与曲线x2－y2=１（x>0）相交于Ａ、B两点,则直线l倾斜角的取值范围是()A.[0，π) Ｂ.(ｅq\f(π,4），eq＼f(π,2))∪（eq\f(π,2)，ｅq\f(3π,4））C．[0,eq＼f（π，2))∪(ｅq＼f(π,2),π) D.(eq\f（π,４)，eq＼ｆ(3π,4))[答案］B[解析]双曲线x２-y2＝１的两条渐近线y=±x，直线l过(eｑ\r(２),0)，当直线ｌ与双曲线的渐近线平行时,与双曲线右支相交，且仅有一个交点，当直线l的斜率k>１或k<-1时，直线l与双曲线相交于Ａ、B两点.第Ⅱ卷（非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题,每小题４分，共16分，把正确答案填在题中横线上．)１3．（文)(201５·安徽示范高中联考)直线kｘ＋ｙ+ｋ+1=0与圆x２+y2+２x-2y-２=0相切,则ｋ=___＿____.[答案]0[解析]圆心到直线距离d=eq＼f（|－k+１＋ｋ+1|，＼r(k2＋1))=2⇒k＝0.(理)(2015·遵义航天中学二模）直线ｙ＝ｋx+3与圆(ｘ-3)2＋(ｙ－2)2=4相交于M、Ｎ两点，若|MN|≥2ｅq\ｒ(3)，则k的取值范围是＿＿______．[答案］[－ｅq＼f（３,４）,０]［解析]设圆心(３,2)到直线y＝kx＋3的距离为d，由弦长公式得,ＭＮ=2eq\r(4－d２)≥２eq\r(3)，故d≤1,即eq\f(|3ｋ－２＋3｜，\ｒ(k2+1))≤1,化简得k(k＋ｅq\f(3,４）)≤0，∴-eｑ\f(3,4)≤k≤０.１4.(２01５·豫南九校联考)已知双曲线3y2－mx2＝3m（m＞0)的一个焦点与抛物线y＝ｅq\ｆ(1,8)x2的焦点重合，则此双曲线的离心率为_＿___＿__.[答案]２[解析]双曲线标准方程为ｅｑ\f（y2,ｍ）-ｅｑ＼f(x２,3)=1,∴c＝eｑ\r(ｍ＋3),∵抛物线x２=８y的焦点为(0,2)，∴ｅq\r(m＋3)＝2，∴m＝１，∴e=２.15.(文)（２014·天津市六校联考)已知双曲线eｑ\f(x2,a２)-eq\ｆ(ｙ2,b2)=1（a>0,b>０)和椭圆eｑ\f(ｘ２,16)+eq\ｆ(ｙ2,9)=1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为____＿＿＿_.[答案]eq\f(x2,4)－ｅq\f(y２,3）＝１[解析]椭圆中，a2＝16，b2=9，∴c2=a2-b２＝7，∴离心率e1=ｅｑ\f（＼r（7)，4)，焦点(±ｅq\r(７)，0)，∴双曲线的离心率ｅ2＝eq\f(c,a)=eq\f(＼r(7)，2），焦点坐标为(±eｑ＼ｒ(7)，0)，∴c=eq\ｒ(７),a＝2，从而b2＝c2－a２=３,∴双曲线方程为ｅq＼f(ｘ２，4)-ｅq＼f（y2,3）＝1.(理）(2014·三峡名校联盟联考)已知双曲线eq\f(x2,a２)－eq\ｆ(y2,ｂ2)＝１（ａ>0,b＞0)的一条渐近线方程为x-2y=0，则椭圆ｅq\ｆ（x2,a2)+eq\f(y2，b2)=1的离心率ｅ=＿＿_＿_＿__.[答案]eq＼f(\r(３）,2)[解析]由条件知eｑ\ｆ(ｂ,a)＝eq＼f(1，２），即ａ=2b，∴c2=a2-b2=３b2,c=eq\r(3）ｂ，∴e＝eq＼f(ｃ,a）=eq＼f（\r(3)ｂ，2b）=eq＼f(\r(3),２).16．(２015·湖北武汉调考）已知椭圆Ｃ:eq＼f(x2,4)＋eq\ｆ(y2,3)=1,点M与C的焦点不重合．若M关于C的焦点的对称点分别为A、B，线段MN的中点在C上，则｜AN｜+｜BN|=_＿___＿_＿．[答案］8[解析]如图,设ＭN的中点为P，由题意可知，PＦ1,PＦ2分别为△AMN，△BＭN的中位线，∴|AＮ|+｜BＮ|=2(|PＦ１|+|PF2|）＝2×4=8.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17.(本小题满分１2分)(20１4·银川九中一模)已知直线l:y＝ｘ+ｍ，ｍ∈Ｒ.(1)若以点Ｍ（２,0)为圆心的圆与直线l相切于点P,且点P在y轴上，求该圆的方程;(2)若直线l关于x轴对称的直线为l′，问直线l′与抛物线C:x2=４y是否相切?说明理由.[解析]设所求圆的半径为ｒ，则圆的方程可设为（x-2)2＋y2＝r2.依题意,所求圆与直线l:x-y＋m＝0相切于点Ｐ(0，m),则ｅq\b\lc\{\rｃ\(\ａ\ｖｓ4\ａl\co１(4＋m２=ｒ2，,\f（|2-0+ｍ|,＼r(2))=r,))解得eq\b＼lc\｛\rc\（＼a\vｓ4＼aｌ\co1（ｍ＝2,,r＝2\r(2）.))所以所求圆的方程为(x-2)2+y2＝８.(2）因为直线l的方程为y=ｘ＋m,所以直线l′的方程为y=－x－m.由eq\b\lc\{\rc\（＼a\vｓ4\aｌ\co１(y=-x-m,,x2＝4y．））得x2＋４x+4m＝0.Δ＝42-4×4ｍ＝16(1－ｍ).①当m＝1,即Δ＝0时，直线l′与抛物线C相切；②当m≠１,即Δ≠0时，直线ｌ′与抛物线C不相切.综上,当m＝1时,直线l′与抛物线C相切;当m≠1时,直线l′与抛物线C不相切.18.(本小题满分12分)(2０15·山西大同调研)在平面直角坐标系ｘOy中，已知点B(1,0)，圆A:(ｘ＋１)2+ｙ２=１６,动点Ｐ在圆A上，线段BP的垂直平分线与ＡP相交点Q，设动点Q的轨迹为曲线C.(1）求曲线C的方程；(2）过点B(1,0)且斜率为1的直线与曲线C相交于Ｅ、F两点，求弦长EＦ.[解析](1)由已知|ＱP|=|QB｜,Q在线段PA上,所以|ＡQ|＋|QＰ|＝|ＡQ|＋|QB|＝4，所以点Q的轨迹是椭圆,2a=４，a＝２，2c＝2,c＝1，∴b２=3,所以C点的轨迹方程为eｑ＼f（x2，４)+eq\ｆ（y2,3）＝1.(２)直线EF的方程为：ｙ=x－1．由ｅｑ\ｂ＼lc\｛\rｃ＼(\a\vs4\aｌ\cｏ1（y=x－１,,\f(x2,4)+\ｆ(y2，3)＝1.))消去y整理得7x2-8ｘ-8＝0,设A（x1,y1），B(x2，y２)，∴ｘ1＋ｘ2＝eq\f（８，7),x１·x２=－eq\f(８,7)，｜AＢ|=eq\ｒ(1+k2)·eq\r(x1+ｘ22-4x1x2)=ｅq\ｒ（2)·eq\ｆ（１２\r（2),7)=eｑ\ｆ（24,7).19.(本小题满分12分）（201５·大连二十中期中)平面内动点P(x,y)与两定点A(－2,0),B（2,0）连线的斜率之积等于-eq＼f(1,3),若点P的轨迹为曲线Ｅ，过点（－１,0)作斜率不为零的直线MＮ交曲线Ｅ于点M、N．(１)求曲线E的方程;（2)求证：AM⊥AN；（３）求△AMN面积的最大值．[解析］(1)设动点P坐标为(x，y)，当x≠±2时，由条件得:eq\f(y，ｘ－2）·eq\f（y,x＋2)=-eq\f(1,3)，化简得ｅq\f(ｘ2，４)+eｑ\f(3y2，4）=1.曲线E的方程为eq＼f(ｘ2,4)＋eq\f（３y2,4)=１，(x≠±2）．（2)直线MＮ斜率不为0，所以可设MＮ方程为my=x＋1，与椭圆方程联立得:(ｍ2＋３)ｙ２-2ｍy-3=0,设M(ｘ1，y1),N(ｘ2，y2)，所以y1+ｙ２＝eｑ\ｆ(2m,ｍ２＋３)，ｙ1y２=ｅq\f（－3,m２＋3).eq＼o(AM,\s\uｐ６(→))=(x１＋２，y1）,eq\o(AＮ,＼s＼ｕp6（→))=(x2+2，y２),eq\o(AM,\ｓ\up6(→))·eq＼ｏ（AN，＼ｓ\up6（→))=(x1+2，y1)·(x2+２，ｙ2）=(ｍ2＋1)y1ｙ2+m(y1+ｙ2）+1=eq\f（-3m2+1,m２＋3）＋ｅq\f(2m2，m２+3）+1＝0,所以ｅq\o(AM,\ｓ\up6(→))⊥eq\o（AN,＼s\uｐ6(→)），所以ＡM⊥AＮ.(3)△AＭＮ面积为eq\ｆ(1,2）｜y1－y2|＝ｅq＼f(\ｒ(4m2＋9),m2+３)=eq\ｒ（\ｆ（4,m２+3)-\f(3,m2＋３２)），当m=0时面积最大为1.２0．(本小题满分12分)(文)(２0１4·云南景洪市一中期末)设F1、F2分别是椭圆E:x2+ｅq＼f（ｙ2,b2)=1（0<b<１)的左、右焦点,过F1的直线l与E相交于A、B两点，且|AＦ２|,|AB｜，|BF2|成等差数列.（1)求｜AＢ|；（2)若直线ｌ的斜率为1，求b的值．[解析](1)求椭圆定义知｜ＡF2｜+|AB｜+｜BF2｜＝4，又2|AＢ|=|AＦ2|+|BF２|，得｜AB|＝eq\ｆ(4,3)．（2）l的方程为ｙ＝x+ｃ,其中c=eq\r（１－ｂ2),设A（ｘ1，y1)，B(ｘ1,y1),则Ａ、B两点坐标满足方程组eq\b\lc＼{＼rc＼（\ａ\vs４\al\cｏ１(y＝x＋c，,ｘ2+\f（y2,ｂ2)＝１,)）消去ｙ化简得(１＋b２)x２+2cx+1-2b2＝0．则ｘ1＋x2＝ｅq\f(－２ｃ，1＋b2）,x1x2=ｅｑ\f(1－２b2，１+b2).因为直线AＢ的斜率为１,所以｜AB｜＝eｑ\ｒ（2）|x2-x1|，即eq＼f（4,3)＝ｅｑ＼r(２)|ｘ2－x1|.则eq＼f（8,9）＝(x1＋x2)2-4x1x2=eq\f(41-b2，1＋ｂ22)-eq\f（41－2b2,1+b２)=eq\f(8b4,1+ｂ2)，解得b＝eq\f(\ｒ(2),2).（理)(2014·陕西工大附中四模)已知椭圆Ｃ:eｑ\f(x2,ａ2)＋eq\f(y2,b2)=1（a>ｂ>0)的焦距为２，且过点P(1,eq\f(3,２）)．(1）求椭圆C的方程;(2）设椭圆C的左右焦点分别为F１、F2，过点F２的直线ｌ与椭圆C交于Ｍ、N两点.①当直线l的倾斜角为45°时,求|ＭN｜的长;②求△MＦ1N的内切圆的面积的最大值,并求出当△ＭF１N的内切圆的面积取最大值时直线l的方程．[解析](1)由已知,得ａ２-ｂ2=c2＝1,且eq\f(1,ａ2)＋eq\ｆ(＼f（9，４),b2)＝1,解得a2＝４,b２=3，故椭圆C的方程为eq\f(x2,4)+eq\f(y2,3）=1.（2）①由eq\b\ｌc＼{\rc＼(\ａ\vs4\ａl＼co1(y＝x－1,,\f（x2，4)＋\ｆ(ｙ2,3)＝１，)）消去x得7x2－8x－8=0，解得x1=eｑ＼f(4+6\r(2）,7),x2=eq\f（4-6\ｒ(2)，７)．则｜ＭN|＝eq\r（1＋k２)|x1－x2｜=ｅｑ\f(2４,7）.②设直线l的方程为ｘ＝my＋1,由eq\b\lc\{＼ｒｃ\(\a\vs4\al＼cｏ1(x=my+１，,\f(x2,4)＋\f(y２，3）=1,）)消去ｘ得，(3ｍ２＋４)y2+6my-9＝0,显然Δ>0,设Ｍ（ｘ1,y1）,N(ｘ2，y２），则有y1＋y２＝-ｅq＼f(6m,3m2＋４），y1·ｙ2＝-eq\f（9,3m2＋４）,设△ＭＦ1N的内切圆半径为ｒ,由Ｓ△MF1N=eq\f(１,2)（|MＦ1|＋｜NF1|+|MN|)·r=4r可知,当Ｓ△MF1Ｎ最大时,r也最大，△MＦ1N的内切圆面积也最大,由S△MF１N=eq\ｆ(1，２)|Ｆ1F2|·|y1－y2|=｜y1-y２|=eq＼r(ｙ1＋y２2－4y1y2)＝eq＼f（1２＼r(m2+1),3m2＋4),令t＝eｑ\ｒ(m2+1)，则t≥1,且m2＝ｔ２－1，则S△MF1N＝eq\f(12t,3t2+１)=eｑ\ｆ(12,3ｔ+\f(1,ｔ))，令f(ｔ)=３ｔ＋ｅq\f(1,t)(ｔ≥1),则f′（ｔ）=3-ｅq\f(1，t2)>0,从而f（t)在区间[1,+∞)上单调递增，故有f（t)≥ｆ(１)＝４，所以Ｓ△ＭＦ1N≤3,即当ｔ＝１，ｍ=０时,Ｓ△MF1N有最大值3，即rmａx=eq\f（3,4),这时△MF１Ｎ的内切圆面积的最大值为eq＼f（９，1６)π,直线l的方程为x=１.21．(本小题满分12分)（２0１5·武汉市调研）如图,动点M与两定点A(-1,０），B（2,０）构成△ＭAＢ，且∠ＭBA＝2∠MAＢ．设动点M的轨迹为Ｃ.(1)求轨迹Ｃ的方程;（2)设直线ｙ=-2x＋m(其中m＜２)与y轴相交于点P,与轨迹Ｃ相交于点Q，R，且|PQ｜<｜ＰR|，求eｑ\f(|PR|,|ＰＱ|)的取值范围．[解析](1）设M的坐标为(x，y),显然有ｘ＞0，且y≠0，当∠ＭBA=90°时,点M的坐标为(２，±3),当∠MＢA≠90°时，x≠2，由∠MBＡ=2∠MAB，有ｔａn∠MBA＝ｅｑ\f(２tan∠MAB，1-ｔaｎ2∠ＭAＢ)，即eq＼f（|y|,2－x)=ｅq\f(＼ｆ(2|y|,x＋1),１-＼f（|y|,x＋1)2),化简可得,3x2-y2-3=０,而点（2，±3)也在曲线3ｘ２－ｙ2－3=0上，综上可知,轨迹C的方程为ｘ2-eq\f（y２，3)＝1（x>1）．(２)由eq＼ｂ＼ｌc＼{\rc\(＼a\vs4\al＼co1(y=－２x＋ｍ，,ｘ２－＼ｆ(y２,3)=１,))消去ｙ并整理得，x2-4mx＋ｍ２+３=０(*)由题意,方程(＊）有两根且均在(1,＋∞）内.设f(x)=x2-4mｘ+m２＋3，∴eq\ｂ\lc＼｛\rc\(＼a＼ｖs4\al\ｃo1(－＼f(－4m,2）>１，,ｆ1=1－４m＋m2+３>0,,Δ＝-4m2-４ｍ2+3>0.)）解得m>1，且ｍ≠2，又∵m＜2，∴1<ｍ<２,设Q，R的坐标分别为(ｘQ,yＱ），(xＲ，yＲ)，由|PQ|<|ＰR|及方程(*)有xＲ=２m+ｅq\r(3m２-１),ｘQ＝2m－eq\r(3ｍ2－1),∴eq＼f(|PＲ|,｜PＱ｜)＝eq＼ｆ(xR,xQ）=eq\f(2m+＼r(3m2－1),2m-\r（3m2－1））=eq\f(２＋＼r(31-＼f(1,ｍ２)),2-\ｒ(31－\f(1,ｍ2)))=－1＋eｑ\f(4，2－＼r(3１－\f(１，m2)）)，由1＜m<２，得１<-1+ｅq\f(4,２－\r(31-\ｆ（１,m2)))＜7,故eq＼f（|PR|,|PＱ｜)的取值范围是(1,７）.22．(本小题满分14分)(文)(2015·洛阳市期中）椭圆Ｃ：eq＼ｆ（x2,ａ2）＋eq\ｆ(ｙ２,b2)=１(a>ｂ>0)的离心率为eq\f(1，2),其左焦点到点P(2,1)的距离为ｅq\r(１0)．（1)求椭圆Ｃ的标准方程;(２)若直线l：y=kｘ＋m与椭圆Ｃ相交于Ａ,Ｂ两点(A，Ｂ不是左右顶点),且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点,求证:直线l过定点，并求出该定点的坐标．[解析](1)由题意得:e=eq\ｆ（c,a)=eq\ｆ(1,2),①左焦点(－c,０）到点P（2,1）的距离为eq\r(2+c2＋12)=eq\r（10),②由①②可解得c＝1,ａ＝２,ｂ2=a2－c2＝３.∴所求椭圆C的方程为eq＼f(x2,4)+eq\f(y2,3)=１．(2)设A(x1，y1）,Ｂ(x2，y2),将ｙ＝kx+m代入椭圆方程得，(4k2+３)x2＋８kｍｘ+4ｍ２－12=0.∴x1＋ｘ2=－eq\ｆ(8km，4ｋ2+３），x１x2=eq＼f(4ｍ2-12,4k２＋3)，且y1＝kx1+m，ｙ2=kx２＋m．∵AB为直径的圆过椭圆右顶点A2（2，0)，∴eq\o（Ａ2A，\ｓ＼ｕｐ6(→）)·ｅｑ＼o(A２B,\s\up6（→))＝0.∴(ｘ1－2,y1）·（x2－2,y2)＝(ｘ1－2)(x2－2)＋y１y2=（x1－2）(x2-2）＋(kx１+ｍ)(kx２＋m）＝(k2＋1)x1x2＋（kｍ－2）(x1+x2)＋m２＋