2023届高三数学一轮基础巩固第2章第8节二次函数文（含解析）新人教B版

PAGE1-【走向高考】2016届高三数学一轮基础巩固第２章第8节二次函数(文）新人教Ｂ版一、选择题1.(2013·济南模拟）对于任意a∈[-1,1］，函数f(x）=x2＋(a－４)ｘ＋４-2a的值恒大于零，那么x的取值范围是(）Ａ.(１,3) B．(－∞，1)∪(3，＋∞)C．（1,２)ﻩD．(３，+∞)[答案]Ｂ[分析]f（x）为二次函数，ａ为参数,当ａ∈［－1，１]时,f(x)>０恒成立，可用转化思想转化为一次函数g(ａ)＝（x-２）a+x2-4x+4来研究,也可以在［－1,１］上取ａ的值检验．[解析]令ｇ(a)=(x－２）ａ+x２－4x+4,∵a∈[-１,1]时，g(a)>０恒成立,且x=２时，ｇ(a)=0．∴ｅq\b\lc＼{\rc＼(＼a\ｖｓ4\aｌ＼ｃo1(x>２，,g-１=x2-５x＋6>０，)）或eｑ\b\lc\｛＼rc\（\a\vs４＼al\cｏ1(ｘ<2，,g1＝x２-3x＋２＞0,)）∴x>3或x<1,故选B.2.已知函数f（ｘ)＝ax2＋(b+ｃ)x+1(a≠0)是偶函数,其定义域为[a－c，b］,则点(a,b）的轨迹是()A.线段ﻩB.直线的一部分Ｃ.点 D．圆锥曲线［答案]B[解析]∵偶函数的定义域关于原点对称，且f（-ｘ)＝ｆ（ｘ）,∴eq＼b\lc\{\rｃ\(\a＼vｓ4\al＼co1（b+c=０,,ａ－c＋b＝0，，b>0,))⇒a＝－2b(b>0),即点(ａ，ｂ)的轨迹方程为ｘ+２y=0(y＞０）,其轨迹为直线的一部分.3．(2014·四川成都树德中学期中)若函数y=ｘ2-３x-4的定义域为[0,m],值域为[－eｑ＼f(２5,4)，－4］,则m的取值范围是()A．(0,4］ﻩＢ．［ｅq＼f（3，2),3]C.［ｅq\f(３，2),4] D．[ｅq\f（3，2),+∞）[答案]B［解析］二次函数y=x2-3x-4的对称轴是x＝ｅｑ\f(3,2）,开口向上，最小值是yｍin＝-eq\f（25,4），在x＝eq\f(3,2）处取得，所以由函数的值域是［－eq\f（25,4)，－4]，可知m应该在对称轴的右边,当函数值是-4时，对应的自变量的值是ｘ＝0或x=3，如果m比3大,那么函数值就超出［－eq\f(2５,4),－4]的范围，所以ｍ的取值范围是[eq\ｆ(3,2)，3].4．若方程x2-2mｘ＋4=0的两根满足一根大于2,一根小于2，则m的取值范围是()A．（－∞,－eｑ\f(５,２))ﻩB.（ｅｑ＼f(5,2),＋∞)C．(－∞，－２）∪（2，＋∞) D.(２，+∞）[答案］D[解析］设f(x)=x2-２mx＋4，则题设条件等价于f(2）＜0,即4－４m＋４<０⇒m＞2，故选D.５.(2０13·烟台期中)某公司在甲、乙两地销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为Ｌ１=５.0６x-0.15x２和L2=２ｘ,其中x为销售量(单位:辆)．若该公司在这两地共销售15辆车,则能获得的最大利润为(）Ａ．４5．６06ﻩB.45.6Ｃ．45.5６ﻩD.４5.51［答案]Ｂ[解析]依题意可设甲销售ｘ辆，则乙销售(１5－x)辆,∴总利润Ｓ=５.06x－0.１5x2＋２(15-x)＝－0.15ｘ2+3.０６x+30(x≥0)．∴当ｘ=1０时,Sｍax=4５．6（万元)．6．函数f(x)对任意x∈R,满足ｆ（x)＝f（2－ｘ).如果方程ｆ(x)＝0恰有２01３个实根，则所有这些实根之和为()A.0ﻩB．2013Ｃ.40２６ D.8052[答案］B[解析]∵x∈Ｒ时,f(x)=f(2－x)，∴f（x)的图象关于直线x＝1对称，实根之和为1×2013=201３.二、填空题7．设f(x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间［-１，1]上，f(ｘ)＝ｅｑ\b＼lc\{＼ｒc＼(\a＼ｖs4＼al＼co1(aｘ＋1,-１≤x＜０,,\f(bx＋2，x＋1）,0≤x≤１，）)其中a、b∈R，若f(ｅｑ\f(１,2）)=ｆ(eq＼f（3,2)),则ａ+3b的值为________．[答案]－10[解析]∵f(x)的周期为2，则ｆ(ｅq\ｆ(3,2))=f（eq＼ｆ(3，２)－2）＝f(-eq＼f(１，2）),∴ｆ(-eｑ\f(1,2))=f(eq\f(1,２))，代入可得3a＋2b=-２.同理f（－1)=f(-1＋２)＝f(1),化简得b=-２a，两式联立解得a＝２,ｂ=－4，∴a+３b=2+3×(－4)=-10.充分利用函数周期性的性质,将所求函数值转化为已知区间内的函数值.８.若函数ｆ(x)=ax+b(ａ≠0)的一个零点是１，则函数g（ｘ)=ｂｘ2－ａx的零点是________．［答案]0或－1[解析]由题意知aｘ+ｂ=0(a≠0)的解为x＝1，∴b=－a,∴g（x)＝-aｘ2－aｘ=-ax(x+1)，令ｇ(x)=0,则x＝0或ｘ=－1.9．（20１4·辽宁沈阳质量监测)定义运算：xy＝eq\ｂ＼lｃ\｛\rｃ\(\a\vｓ4\al＼co1(x，xy≥0,，ｙ，xｙ<０，))例如:34=3，（－２)4=4,则函数f(ｘ）＝ｘ2(2x－ｘ2)的最大值为_______＿．[答案］4[解析]由2x－x2≥0得0≤x≤2,由“xy”的定义知,当0≤x≤2时,f(x)＝x２≤4；当ｘ<０或ｘ>2时,f(ｘ）＝２x-x2<０，∴ｆ（x）的最大值为4.三、解答题10.已知二次函数f(ｘ)满足f(2)＝－1,f（-1)=－1,且f（x）的最大值是8，试确定此二次函数．[分析]由条件知f(x）的图象过点(2，－1)和（－1,-１),且顶点纵坐标为8,故可设出一般式求解．［解析]设ｆ(x)=ax２+bｘ＋c(a≠0），依题意有eq\b\lc\{＼ｒc\(\a\vs4\al＼co1(4a+2b+c=-１,,a－ｂ+c＝-１，,\ｆ(4ac-b2,4ａ)=8，))解之得，ｅq\b\lc\｛\rc\(\a＼vs4\aｌ\cｏ1(a＝－4，,b＝４,，c=７.)）∴所求二次函数为y＝－4ｘ2＋4ｘ+7.[点评]求二次函数的解析式时,一定要先分析已知条件,确定要选取的解析式的形式.如果注意到f(2）=－1和f(－1)＝－１的特点,可知①f(ｘ)的对称轴方程为x=eq\f(１，2)，②令g（x)＝f(ｘ)＋１,则２和－１为g（x）的两个零点，且g(x）的最大值为9,据此又可得到不同的解答.一、选择题１1．设二次函数f（x)=ａｘ２－2ax+c在区间［0,１]上单调递减,且f(m）≤ｆ(0）,则实数m的取值范围是()A.(-∞，0]ﻩB.［2，＋∞)Ｃ.(-∞，0］∪[2,+∞) D.[0,2][答案]Ｄ[解析]二次函数ｆ(x）=ax2－2ax＋c在区间[0，1]上单调递减,则ａ≠0,ｆ′(ｘ)=2a(x-1）<０，x∈[０，1］,所以ａ>0，即函数的图象开口向上,对称轴是直线ｘ＝１.所以f(0)=f(2）,则当ｆ(m）≤ｆ(０）时，有0≤m≤２.12.(2013·郑州第一次质量预测)图中阴影部分的面积S是关于ｈ的函数(0≤h≤H）,则该函数的大致图象是（)[答案]B[解析]由题图知,随着h的增大,阴影部分的面积S逐渐减小,且减小得越来越慢,结合选项可知选B.１3．(201４·北京朝阳上学期期末)函数f（x)＝x２－３x的图象为曲线Ｃ1,函数g(x）=４－ｘ２的图象为曲线C2,过x轴上的动点M(ａ,0)(0≤a≤3)作垂直于ｘ轴的直线分别交曲线C1，C2于Ａ,Ｂ两点,则线段AＢ长度的最大值为（)A.２ B.4C．5 D．eｑ＼f(41，８)［答案]Ｄ[解析]过点M(ａ,０)（0≤ａ≤３)作垂直于ｘ轴的直线,方程为x＝a,与曲线C1的交点A(a,a２－3a),与曲线Ｃ２的交点B（ａ,4－ａ2),所以｜AB|＝|(a2-3a）－(4－a2)｜=|2ａ2-3ａ-4|=｜2(ａ-eq\f（3，4))２－eq\f(41,8)|.因为0≤a≤3，所以-ｅq\f(4１,8)≤2(ａ－eq＼f(3,4）)2-eq＼f(4１,8)≤５，所以０≤｜2(a-eq＼f(3,4))2－eｑ\f(４１，8)|≤ｅq＼f(４1,8),所以|AB｜max=eq\f(４1,８).1４.（2013·昆明重点中学检测)在R上定义运算⊗:x⊗y=x(1-y).若对任意x>2,不等式(x-a)⊗x≤ａ＋2都成立,则实数a的取值范围是()A．［-1,7]ﻩB．(－∞,3]C．(-∞，7] D．(－∞，-1]∪［７,＋∞）[答案]C[分析]先依据⊗的定义将不等式等价转化为一元二次不等式，然后利用二次函数的图象与性质讨论二次不等式在(2,+∞)上恒成立时，a的取值范围.［解析]由题意得（ｘ－ａ)⊗x＝（x－a)(1-x),故不等式(ｘ－a)⊗x≤a＋２可化为(x-a)(1－ｘ)≤a+2,化简得x2-(a+1)x+2a+２≥0,故原题等价于x2－(ａ＋1)ｘ+2a＋２≥0在(２，＋∞）上恒成立,二次函数ｆ(ｘ）=x2－(a+1)ｘ+2a+2图象的对称轴为x＝eｑ\f(ａ+１,2)，讨论得eq\b\lc\{\rｃ\(\a\ｖs４＼al＼cｏ１(\ｆ（ａ＋１，2）≤2,f2≥0))或eq\b\ｌc\｛＼rc\(\a\vs4\ａｌ\ｃｏ1(\f(a＋1,２)>2,f\ｆ(ａ+1，2）≥0)),解得a≤3或3<a≤7，综上可得，a≤7.二、填空题15.（2015·深圳市五校联考)若不等式x2<|x－1|+a的解集是区间(-3,3)的子集,则实数ａ的范围为＿______＿.[答案](-∞，5][解析]不等式x2<|x－１|＋a等价于ｘ2－|x－１|-a<0,设f（x）＝ｘ２－|x－1｜－ａ,若不等式x2<|x-1|＋a的解集是区间(-3，3）的子集,则eq\b\lc＼{\ｒｃ\(\a\vs4\al＼co1(f-3≥０,,ｆ3≥０，))∴eｑ\ｂ＼ｌc\{\rc＼（\ａ\vｓ4＼aｌ＼co1(5-a≥0,,7－a≥0,))∴a≤5．1６．（2013·天津模拟)若关于x的不等式x2+eq\ｆ(1，２)ｘ－(ｅq＼f（1,2))n≥０对任意n∈Ｎ*在x∈(-∞，λ]上恒成立,则实数λ的取值范围是__＿＿____．［答案]（－∞,-1][解析]∵ｎ∈Ｎ*,∴(eq＼f(1，2））n≤eq\f（１，２），由题意x２＋ｅq＼f(１，2)x≥(ｅq＼f(1,2)）n恒成立,∴ｘ２＋eｑ＼ｆ(1,2)x≥eq\f(1,2).(*)∵ｘ2＋ｅq＼ｆ（1,2）ｘ＝（ｘ＋eｑ\f(1,4))２－eｑ\f(1,16）∴要使(＊)式在(－∞,λ］上恒成立，应有λ2＋eq\f(１,２）λ≥eｑ\f（1，2)，∴λ≤－１或λ≥eｑ\f(１,２)，但eq\f（1,2)>－eｑ\ｆ(1,４),不合题意,∴λ≤-1.三、解答题１７.已知函数f(x)＝ax２＋(b－8）ｘ－ａ－ａb(a≠０),当x∈（－3,2）时,ｆ(x)>０;当ｘ∈（－∞,－3)∪(2,+∞)时,ｆ(x）<0．(1)求f(x)在[0,1]内的值域;(2)c为何值时，不等式ａｘ2+bx＋ｃ≤0在[1，4]上恒成立.［解析］(１）由题意得x＝－３和x=2是函数f(x)的零点且a≠0，则eq\ｂ\ｌｃ\{＼rc\(＼a\ｖｓ4\al＼co1（0=a·-3２+b-８·－3-a-ａb,,0＝a·22＋b－８·２－a-ab,))解得eq\b\ｌc\｛＼rc\(\a＼vs4＼ａl\co1(a=-３，b＝5)),∴f(x)=－３ｘ2－3ｘ＋18.（1)如图，由图象知，函数ｆ(x）在[0,1］内单调递减，∴当x＝０时,y=1８,当ｘ=1时,y＝１２,∴f（x)在[０,1]内的值域为[1２,18］．(2)解法1:令ｇ(x）＝－３ｘ2+5x+c.∵g(x)在eq\b＼lc\［\rｃ＼）(\ａ＼vs4\al\co１（\f（5,６)，＋∞）)上单调递减，要使g(x)≤0在[1,4］上恒成立，则需要g(x）max=g（1）≤0,即-３+5+c≤０，解得c≤－2.∴当c≤-2时，不等于ａx２+bx＋c≤0在[１,4］上恒成立.解法2：不等式－3ｘ2+5x+c≤0在[1,4]上恒成立,即c≤３x2－5x,在［1,４]上恒成立.令g(x)＝3x２-5ｘ,∵x∈[1,4］，∴ｇ(x)在[1，４]上单调递增,∴g(ｘ)mｉｎ＝ｇ(1）=3×12－5×１＝－2，∴c≤－2．18．(2015·江西赣州博雅文化学校月考）已知f(ｘ)是二次函数,不等式f(x)＜0的解集是(0,5),且f(ｘ)在区间[-1,４]上的最大值是12.(1)求f(x）的解析式;(２)是否存在正整数ｍ,使得方程f(x)+eｑ\f(3７,x）=0在区间（m，m+1)内有且只有两个不等的实数根?若存在,求出所有m的值;若不存在，请说明理由.［解析](１)因为f（x)是二次函数，且f(ｘ）<0的解集是(０,5）,所以可设ｆ(ｘ)=ax(x－５)(a＞0)．所以f（x)在区间［－1,4]上的最大值是f(-1)＝6a,由已知得6a=12,∴a＝２．∴f(x）=2x(x-5)=２ｘ2-1０x(x∈R).(2)方程f(x）+eq\ｆ(3７,x）=0⇔２x３－10x2＋3７＝0,设h(x)=2x