版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领
文档简介
2024年山东省高中自主招生数学模拟试卷一、选择题1.若关于x的方程=无解,则m的值为()A.0 B.4或6 C.6 D.0或42.如图,圆锥底面圆半径为7cm,高为24cm,则它侧面展开图的面积是()A.cm2 B.cm2 C.175πcm2 D.350πcm23.已知点A(a,b),B(4,c)在直线y=kx+3(k为常数,k≠0)上,若ab的最大值为9,则c的值为()A. B.2 C. D.14.已知二次函数y=mx2﹣4m2x﹣3(m为常数,m≠0),点P(xp,yp)是该函数图象上一点,当0≤xp≤4时,yp≤﹣3,则m的取值范围是()A.m≥1或m<0 B.m≥1 C.m≤﹣1或m>0 D.m≤﹣15.将抛物线y=﹣(x﹣1)2位于直线y=﹣1以下的图象沿直线y=﹣1向上翻折所得的图象与不翻折的部分组成新图象,若新图象与直线y=﹣x+a的交点少于4个,则a的取值范围是()A.a≤1或 B. C. D.a≤1或6.如图,在Rt△ABC和Rt△BDE中,∠ABC=∠BDE=90°,点A在边DE的中点上,若AB=BC,DB=DE=2,连结CE,则CE的长为()A. B. C.4 D.7.如图是一张矩形纸片ABCD,点E为AD中点,点F在BC上,把该纸片沿EF折叠,点A,B的对应点分别为A′,B′,A′E与BC相交于点G,B′A′的延长线过点C.若=,则的值为()A.2 B. C. D.8.如图,正方形ABCD与正方形BEFG有公共顶点B,连接EC、GA,交于点O,GA与BC交于点P,连接OD、OB,则下列结论一定正确的是()①EC⊥AG;②△OBP∽△CAP;③OB平分∠CBG;④∠AOD=45°;A.①③ B.①②③ C.②③ D.①②④9.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以其三边为边向外作正方形,连结CF,作GM⊥CF于点M,BJ⊥GM于点J,AK⊥BJ于点K,交CF于点L.若正方形ABGF与正方形JKLM的面积之比为5,CE=+,则CH的长为()A. B. C.2 D.10.如图,正方形ABCD的顶点分别在反比例函数y=(k1>0)和y=(k2>0)的图象上.若BD∥y轴,点D的横坐标为3,则k1+k2=()A.36 B.18 C.12 D.9二、填空题11.如图,矩形ABCD中,AB=6,AD=4,点E、F分别是AB、DC上的动点,EF∥BC,则AF+CE的最小值是.12.如图,在扇形AOB中,点C,D在上,将沿弦CD折叠后恰好与OA,OB相切于点E,F.已知∠AOB=120°,OA=6,则的度数为,折痕CD的长为.13.如图,已知在平面直角坐标系xOy中,点A在x轴的负半轴上,点B在y轴的负半轴上,tan∠ABO=3,以AB为边向上作正方形ABCD.若图象经过点C的反比例函数的解析式是y=,则图象经过点D的反比例函数的解析式是.14.如图,正方形A1B1P1P2的顶点P1、P2在反比例函数(x<0)图象上,顶点A1(m,0)在x轴的负半轴上,顶点B1(0,n)在y轴的正半轴上,再在其左侧作正方形P2P3A2B2,顶点P3在反比例函数(x<0)的图象上,顶点A2在x轴的负半轴上,则点P3的坐标是.15.抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数)的部分图象如图所示,设m=a﹣b+c,则m的取值范围是.16.如图,在四边形ABCD中,∠A=∠ABC=90°,DB平分∠ADC.若AD=1,CD=3,则sin∠ABD=.17.如图,在菱形ABCD中,过点D作DE⊥CD交对角线AC于点E,连接BE,点P是线段BE上一动点,作P关于直线DE的对称点P',点Q是AC上一动点,连接P'Q,DQ.若AE=14,CE=18,则DQ﹣P'Q的最大值为.三、解答题18.如图所示,九(1)班数学兴趣小组为了测量河对岸的古树A、B之间的距离,他们在河边与AB平行的直线l上取相距60m的C、D两点,测得∠ACB=15°,∠BCD=120°,∠ADC=30°.(1)求河的宽度;(2)求古树A、B之间的距离.(结果保留根号)19.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AE平分∠BAC交BC于点E,O为AC上一点,经过点A、E的⊙O分别交AB、AC于点D、F,连接OD交AE于点M.(1)求证:BC是⊙O的切线.(2)若CF=2,sinC=,求AE的长.20.如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=﹣2x+6的图象与反比例函数y=的图象相交于A(a,4),B两点.(1)求反比例函数的表达式及点B的坐标;(2)过点A作直线AC,交反比例函数图象于另一点C,连接BC,当线段AC被y轴分成长度比为1:2的两部分时,求BC的长;(3)我们把有两个内角是直角,且一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形称为“完美筝形”.设P是第三象限内的反比例函数图象上一点,Q是平面内一点,当四边形ABPQ是完美筝形时,求P,Q两点的坐标.21.如图,在矩形ABCD中,点O是AB的中点,点M是射线DC上动点,点P在线段AM上(不与点A重合),OP=AB.(1)判断△ABP的形状,并说明理由.(2)当点M为边DC中点时,连接CP并延长交AD于点N.求证:PN=AN.(3)点Q在边AD上,AB=5,AD=4,DQ=,当∠CPQ=90°时,求DM的长.22.如图,△ABC和△DBE的顶点B重合,∠ABC=∠DBE=90°,∠BAC=∠BDE=30°,BC=3,BE=2.(1)特例发现:如图1,当点D,E分别在AB,BC上时,可以得出结论:=,直线AD与直线CE的位置关系是;(2)探究证明:如图2,将图1中的△DBE绕点B顺时针旋转,使点D恰好落在线段AC上,连接EC,(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由;(3)拓展运用:如图3,将图1中的△DBE绕点B顺时针旋转α(19°<α<60°),连接AD、EC,它们的延长线交于点F,当DF=BE时,求tan(60°﹣α)的值.23.如图(1),二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,点B的坐标为(3,0),点C的坐标为(0,3),直线l经过B、C两点.(1)求该二次函数的表达式及其图象的顶点坐标;(2)点P为直线l上的一点,过点P作x轴的垂线与该二次函数的图象相交于点M,再过点M作y轴的垂线与该二次函数的图象相交于另一点N,当PM=MN时,求点P的横坐标;(3)如图(2),点C关于x轴的对称点为点D,点P为线段BC上的一个动点,连接AP,点Q为线段AP上一点,且AQ=3PQ,连接DQ,当3AP+4DQ的值最小时,直接写出DQ的长.
参考答案与试题解析一、选择题1.若关于x的方程=无解,则m的值为()A.0 B.4或6 C.6 D.0或4【解答】解:=,2(2x+1)=mx,4x+2=mx,(4﹣m)x=﹣2,∵方程无解,∴4﹣m=0或2x+1=0或x=0,即4﹣m=0或x=﹣=﹣,∴m=4或m=0,故选:D.2.如图,圆锥底面圆半径为7cm,高为24cm,则它侧面展开图的面积是()A.cm2 B.cm2 C.175πcm2 D.350πcm2【解答】解:在Rt△AOC中,AC==25(cm),所以圆锥的侧面展开图的面积=×2π×7×25=175π(cm2).故选:C.3.已知点A(a,b),B(4,c)在直线y=kx+3(k为常数,k≠0)上,若ab的最大值为9,则c的值为()A. B.2 C. D.1【解答】解:∵点A(a,b),B(4,c)在直线y=kx+3上,∴,由①可得:ab=a(ak+3)=ka2+3a=k(a+)2﹣,∵ab的最大值为9,∴k<0,﹣=9,解得k=﹣,把k=﹣代入②得:4×(﹣)+3=c,∴c=2,故选:B.4.已知二次函数y=mx2﹣4m2x﹣3(m为常数,m≠0),点P(xp,yp)是该函数图象上一点,当0≤xp≤4时,yp≤﹣3,则m的取值范围是()A.m≥1或m<0 B.m≥1 C.m≤﹣1或m>0 D.m≤﹣1【解答】解:∵二次函数y=mx2﹣4m2x﹣3,∴对称轴为x=2m,抛物线与y轴的交点为(0,﹣3),∵点P(xp,yp)是该函数图象上一点,当0≤xp≤4时,yp≤﹣3,∴①当m>0时,对称轴x=2m>0,此时,当x=4时,y≤﹣3,即m•42﹣4m2•4﹣3≤﹣3,解得m≥1;②当m<0时,对称轴x=2m<0,当0≤x≤4时,y随x增大而减小,则当0≤xp≤4时,yp≤﹣3恒成立;综上,m的取值范围是:m≥1或m<0.故选:A.5.将抛物线y=﹣(x﹣1)2位于直线y=﹣1以下的图象沿直线y=﹣1向上翻折所得的图象与不翻折的部分组成新图象,若新图象与直线y=﹣x+a的交点少于4个,则a的取值范围是()A.a≤1或 B. C. D.a≤1或【解答】解:如图:在y=﹣(x﹣1)2中,令y=﹣1得x=2或x=0,∴B(2,﹣1),由图可知,当直线y=﹣x+a经过B时,新图象与直线y=﹣x+a的交点有3个,此时﹣1=﹣2+a,∴a=1,当直线y=﹣x+a为直线l2时,新图象与直线y=﹣x+a的交点有3个,此时﹣(x﹣1)2=﹣x+a有两个相等实数根,即x2﹣3x+a+1=0的判别式Δ=0,∴9﹣4(a+1)=0,∴a=,由图可知,若新图象与直线y=﹣x+a的交点少于4个,则a≤1或a≥,故选:D.6.如图,在Rt△ABC和Rt△BDE中,∠ABC=∠BDE=90°,点A在边DE的中点上,若AB=BC,DB=DE=2,连结CE,则CE的长为()A. B. C.4 D.【解答】解:方法一:作EF⊥CB交CB的延长线于点F,作EG⊥BA交BA的延长线于点G,∵DB=DE=2,∠BDE=90°,点A是DE的中点,∴BE===2,DA=EA=1,∴AB===,∵AB=BC,∴BC=,∵=,∴,解得EG=,∵EG⊥BG,EF⊥BF,∠ABF=90°,∴四边形EFBG是矩形,∴EG=BF=,∵BE=2,BF=,∴EF===,CF=BF+BC=+=,∵∠EFC=90°,∴EC===,故选:D.方法二:延长ED到F,使得DE=DF,连接CF,BF,如图所示,∵BD=DE=2,∠BDE=90°,∴∠BDE=∠BDF=90°,EF=4,∴△BDE≌△BDF(SAS),∴BE=BF,∠BEA=∠BFA=45°,∵∠EBA+∠ABF=90°,∠ABF+∠FBC=90°,∴∠EBA=∠FBC,∵BE=BF,BA=BC,∴△EBA≌△FBC(SAS),∴∠BEA=∠BFC=45°,AE=CF,∴∠CFE=∠BFC+∠AFB=90°,∵点A为DE的中点,∴AE=1,∴CF=1,∴EC===,故选:D.7.如图是一张矩形纸片ABCD,点E为AD中点,点F在BC上,把该纸片沿EF折叠,点A,B的对应点分别为A′,B′,A′E与BC相交于点G,B′A′的延长线过点C.若=,则的值为()A.2 B. C. D.【解答】解:连接FG,CA′,过点G作GT⊥AD于点T.设AB=x,AD=y.∵=,∴可以假设BF=2k,CG=3k.∵AE=DE=y,由翻折的性质可知EA=EA′=y,BF=FB′=2k,∠AEF=∠GEF,∵AD∥CB,∴∠AEF=∠EFG,∴∠GEF=∠GFE,∴EG=FG=y﹣5k,∴GA′=y﹣(y﹣5k)=5k﹣y,∵C,A′,B′共线,GA′∥FB′,∴=,∴=,∴y2﹣12ky+32k2=0,∴y=8k或y=4k(舍去),∴AE=DE=4k,∵四边形CDTG是矩形,∴CG=DT=3k,∴ET=k,∵EG=8k﹣5k=3k,∴AB=CD=GT==2k,∴==2.解法二:不妨设BF=2,CG=3,连接CE,则Rt△CA'E≌Rt△CDE,推出A'C=CD=AB=A'B',==1,推出GF=CG=3,BC=8,在Rt△CB'F,勾股得CB'=4则A'B'=2,故选:A.8.如图,正方形ABCD与正方形BEFG有公共顶点B,连接EC、GA,交于点O,GA与BC交于点P,连接OD、OB,则下列结论一定正确的是()①EC⊥AG;②△OBP∽△CAP;③OB平分∠CBG;④∠AOD=45°;A.①③ B.①②③ C.②③ D.①②④【解答】解:∵四边形ABCD、四边形BEFG是正方形,∴AB=BC,BG=BE,∠ABC=90°=∠GBE,∴∠ABC+∠CBG=∠GBE+∠CBG,即∠ABG=∠EBC,∴△ABG≌△CBE(SAS),∴∠BAG=∠BCE,∵∠BAG+∠APB=90°,∴∠BCE+∠APB=90°,∴∠BCE+∠OPC=90°,∴∠POC=90°,∴EC⊥AG,故①正确;取AC的中点K,如图:在Rt△AOC中,K为斜边AC上的中点,∴AK=CK=OK,在Rt△ABC中,K为斜边AC上的中点,∴AK=CK=BK,∴AK=CK=OK=BK,∴A、B、O、C四点共圆,∴∠BOA=∠BCA,∵∠BPO=∠CPA,∴△OBP∽△CAP,故②正确,∵∠AOC=∠ADC=90°,∴∠AOC+∠ADC=180°,∴A、O、C、D四点共圆,∵AD=CD,∴∠AOD=∠DOC=45°,故④正确,由已知不能证明OB平分∠CBG,故③错误,故正确的有:①②④,故选:D.9.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以其三边为边向外作正方形,连结CF,作GM⊥CF于点M,BJ⊥GM于点J,AK⊥BJ于点K,交CF于点L.若正方形ABGF与正方形JKLM的面积之比为5,CE=+,则CH的长为()A. B. C.2 D.【解答】解:设CF交AB于点P,过C作CN⊥AB于点N,如图:设正方形JKLM边长为m,∴正方形JKLM面积为m2,∵正方形ABGF与正方形JKLM的面积之比为5,∴正方形ABGF的面积为5m2,∴AF=AB=m,由已知可得:∠AFL=90°﹣∠MFG=∠MGF,∠ALF=90°=∠FMG,AF=GF,∴△AFL≌△FGM(AAS),∴AL=FM,设AL=FM=x,则FL=FM+ML=x+m,在Rt△AFL中,AL2+FL2=AF2,∴x2+(x+m)2=(m)2,解得x=m或x=﹣2m(舍去),∴AL=FM=m,FL=2m,∵tan∠AFL====,∴=,∴AP=,∴FP===m,BP=AB﹣AP=m﹣=,∴AP=BP,即P为AB中点,∵∠ACB=90°,∴CP=AP=BP=,∵∠CPN=∠APF,∠CNP=90°=∠FAP,∴△CPN∽△FPA,∴==,即==,∴CN=m,PN=m,∴AN=AP+PN=m,∴tan∠BAC====,∵△AEC和△BCH是等腰直角三角形,∴△AEC∽△BCH,∴=,∵CE=+,∴=,∴CH=2,故选:C.10.如图,正方形ABCD的顶点分别在反比例函数y=(k1>0)和y=(k2>0)的图象上.若BD∥y轴,点D的横坐标为3,则k1+k2=()A.36 B.18 C.12 D.9【解答】解:连接AC交BD于E,延长BD交x轴于F,连接OD、OB,如图:∵四边形ABCD是正方形,∴AE=BE=CE=DE,设AE=BE=CE=DE=m,D(3,a),∵BD∥y轴,∴B(3,a+2m),A(3+m,a+m),∵A,B都在反比例函数y=(k1>0)的图象上,∴k1=3(a+2m)=(3+m)(a+m),∵m≠0,∴m=3﹣a,∴B(3,6﹣a),∵B(3,6﹣a)在反比例函数y=(k1>0)的图象上,D(3,a)在y=(k2>0)的图象上,∴k1=3(6﹣a)=18﹣3a,k2=3a,∴k1+k2=18﹣3a+3a=18;故选:B.二、填空题11.如图,矩形ABCD中,AB=6,AD=4,点E、F分别是AB、DC上的动点,EF∥BC,则AF+CE的最小值是10.【解答】解:延长BC到G,使CG=EF,连接FG,∵EF∥CG,EF=CG,∴四边形EFGC是平行四边形,∴CE=FG,∴AF+CE=AF+FG,∴当点A、F、G三点共线时,AF+CE的值最小为AG,由勾股定理得,AG===10,∴AF+CE的最小值为10,故答案为:10.12.如图,在扇形AOB中,点C,D在上,将沿弦CD折叠后恰好与OA,OB相切于点E,F.已知∠AOB=120°,OA=6,则的度数为60°,折痕CD的长为4.【解答】解:如图,设翻折后的弧的圆心为O′,连接O′E,O′F,OO′,O′C,OO′交CD于点H,∴OO′⊥CD,CH=DH,O′C=OA=6,∵将沿弦CD折叠后恰好与OA,OB相切于点E,F.∴∠O′EO=∠O′FO=90°,∵∠AOB=120°,∴∠EO′F=60°,则的度数为60°;∵∠AOB=120°,∴∠O′OF=60°,∵O′F⊥OB,O′E=O′F=O′C=6,∴OO′===4,∴O′H=2,∴CH===2,∴CD=2CH=4.故答案为:60°,4.13.如图,已知在平面直角坐标系xOy中,点A在x轴的负半轴上,点B在y轴的负半轴上,tan∠ABO=3,以AB为边向上作正方形ABCD.若图象经过点C的反比例函数的解析式是y=,则图象经过点D的反比例函数的解析式是y=﹣.【解答】解:如图,过点C作CT⊥y轴于点T,过点D作DH⊥CT交CT的延长线于点H.∵tan∠ABO==3,∴可以假设OB=a,OA=3a,∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC,∠ABC=∠AOB=∠BTC=90°,∴∠ABO+∠CBT=90°,∠CBT+∠BCT=90°,∴∠ABO=∠BCT,∴△AOB≌△BTC(AAS),∴BT=OA=3a,OB=TC=a,∴OT=BT﹣OB=2a,∴C(a,2a),∵点C在y=的图象上,∴2a2=1,同法可证△CHD≌△BTC,∴DH=CT=a,CH=BT=3a,∴D(﹣2a,3a),设经过点D的反比例函数的解析式为y=,则有﹣2a×3a=k,∴k=﹣6a2=﹣3,∴经过点D的反比例函数的解析式是y=﹣.故答案为:y=﹣.14.如图,正方形A1B1P1P2的顶点P1、P2在反比例函数(x<0)图象上,顶点A1(m,0)在x轴的负半轴上,顶点B1(0,n)在y轴的正半轴上,再在其左侧作正方形P2P3A2B2,顶点P3在反比例函数(x<0)的图象上,顶点A2在x轴的负半轴上,则点P3的坐标是(﹣,﹣).【解答】解:作P1C⊥y轴于C,P2D⊥x轴于D,P3E⊥x轴于E,P3F⊥P2D于F,如图所示:∵四边形A1B1P1P2为正方形,∴∠A1B1P1=90°,∴∠CB1P1+∠OB1A1=90°,∵∠CB1P1+∠CP1B1=90°,∠OB1A1+∠OA1B1=90°,∴∠CB1P1=∠OA1B1,在△P1B1C和△B1A1O中,,∴△P1B1C≌△B1A1O(AAS),同理:△B1A1O≌△A1P2D,∴OB1=P1C=A1D=n,∴OA1=B1C=P2D,∴P1(﹣n,),∴OA1=B1C=P2D=﹣n,∴OD=﹣n+n=,∴P2的坐标为(﹣,﹣n),把P2的坐标代入y=(x<0)得:﹣•(﹣n)=﹣1,解得:n=﹣(舍去)或n=,∴P2(﹣,),设P3的坐标为(﹣,b),又∵四边形P2P3A2B2为正方形,同上:△P2P3F≌△A2P3E,∴P3E=P3F=DE=b,∴OE=OD+DE=+b,∴+b=,解得:b=(舍去),b=,∴﹣=﹣,∴点P3的坐标为(﹣,﹣).故答案为:(﹣,﹣).15.抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数)的部分图象如图所示,设m=a﹣b+c,则m的取值范围是﹣4<m<0.【解答】解:∵抛物线开口向上,∴a>0,∵抛物线对称轴在y轴左侧,∴﹣<0,∴b>0,∵抛物线经过(0,﹣2),∴c=﹣2,∵抛物线经过(1,0),∴a+b+c=0,∴a+b=2,b=2﹣a,∴m=a﹣b+c=a﹣(2﹣a)+(﹣2)=2a﹣4,∴y=ax2+(2﹣a)x﹣2,当x=﹣1时,y=a+a﹣2﹣2=2a﹣4,∵b=2﹣a>0,∴0<a<2,∴﹣4<2a﹣4<0,故答案为:﹣4<m<0.16.如图,在四边形ABCD中,∠A=∠ABC=90°,DB平分∠ADC.若AD=1,CD=3,则sin∠ABD=.【解答】解:过点D作DE⊥BC,垂足为E,如图,∵∠A=∠ABC=90°,∴AD∥BC,∴∠ADB=∠CBD,∵DB平分∠ADC,∴∠ADB=∠CDB,∴CD=CB=3,∵AD=BE=1,∴CE=BC﹣BE=3﹣1=2,在Rt△CDE中,DE===,∵DE=AB,在Rt△ADB中,==,∴sin∠ABD==.故答案为:.17.如图,在菱形ABCD中,过点D作DE⊥CD交对角线AC于点E,连接BE,点P是线段BE上一动点,作P关于直线DE的对称点P',点Q是AC上一动点,连接P'Q,DQ.若AE=14,CE=18,则DQ﹣P'Q的最大值为.【解答】解:如图,连接BD交AC于点O,过点D作DK⊥BC于点K,延长DE交AB于点R,连接EP′并延长,延长线交AB于点J,作EJ关于AC的对称线段EJ′,则点P′的对应点P″在线段EJ′上.当点P是定点时,DQ﹣QP′=DQ﹣QP″,当D,P″,Q共线时,QD﹣QP′的值最大,最大值是线段DP″的长,当点P与B重合时,点P″与J′重合,此时DQ﹣QP′的值最大,最大值是线段DJ′的长,也就是线段BJ的长.∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,AO=OC,∵AE=14.EC=18,∴AC=32,AO=OC=16,∴OE=AO﹣AE=16﹣14=2,∵DE⊥CD,∴∠DOE=∠EDC=90°,∵∠DEO=∠DEC,∴△EDO∽△ECD,∴DE2=EO•EC=36,∴DE=EB=EJ=6,∴CD===12,∴OD===4,∴BD=8,∵S△DCB=×OC×BD=BC•DK,∴DK==,∵∠BER=∠DCK,∴sin∠BER=sin∠DCK===,∴RB=BE×=,∵EJ=EB,ER⊥BJ,∴JR=BR=,∴JB=DJ′=,∴DQ﹣P'Q的最大值为.解法二:DQ﹣P'Q=BQ﹣P'Q≤BP',显然P'的轨迹EJ,故最大值为BJ.勾股得CD,OD.△BDJ∽△BAD,BD2=BJ*BA,可得BJ=.故答案为:.三、解答题18.如图所示,九(1)班数学兴趣小组为了测量河对岸的古树A、B之间的距离,他们在河边与AB平行的直线l上取相距60m的C、D两点,测得∠ACB=15°,∠BCD=120°,∠ADC=30°.(1)求河的宽度;(2)求古树A、B之间的距离.(结果保留根号)【解答】解:(1)过点A作AE⊥l,垂足为E,设CE=x米,∵CD=60米,∴DE=CE+CD=(x+60)米,∵∠ACB=15°,∠BCD=120°,∴∠ACE=180°﹣∠ACB﹣∠BCD=45°,在Rt△AEC中,AE=CE•tan45°=x(米),在Rt△ADE中,∠ADE=30°,∴tan30°===,∴x=30+30,经检验:x=30+30是原方程的根,∴AE=(30+30)米,∴河的宽度为(30+30)米;(2)过点B作BF⊥l,垂足为F,则CE=AE=BF=(30+30)米,AB=EF,∵∠BCD=120°,∴∠BCF=180°﹣∠BCD=60°,在Rt△BCF中,CF===(30+10)米,∴AB=EF=CE﹣CF=30+30﹣(30+10)=20(米),∴古树A、B之间的距离为20米.19.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AE平分∠BAC交BC于点E,O为AC上一点,经过点A、E的⊙O分别交AB、AC于点D、F,连接OD交AE于点M.(1)求证:BC是⊙O的切线.(2)若CF=2,sinC=,求AE的长.【解答】(1)证明:连接OE,方法一:∵AE平分∠BAC交BC于点E,∴∠BAC=2∠OAE,∵∠FOE=2∠OAE,∴∠FOE=∠BAC,∴OE∥AB,∵∠B=90°,∴OE⊥BC,又∵OE是⊙O的半径,∴BC是⊙O的切线;方法二:∵AE平分∠BAC交BC于点E,∴∠OAE=∠BAE,∵OA=OE,∴∠OAE=∠OEA,∴∠BAE=∠OEA,∴OE∥AB,∵∠B=90°,∴OE⊥BC,又∵OE是⊙O的半径,∴BC是⊙O的切线;(2)解:连接EF,∵CF=2,sinC=,∴,∵OE=OF,∴OE=OF=3,∵OA=OF=3,∴AC=OA+OF+CF=8,∴AB=AC•sinC=8×=,∵∠OAE=∠BAE,∴cos∠OAE=cos∠BAE,即,∴,解得AE=(舍去负数),∴AE的长为.20.如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=﹣2x+6的图象与反比例函数y=的图象相交于A(a,4),B两点.(1)求反比例函数的表达式及点B的坐标;(2)过点A作直线AC,交反比例函数图象于另一点C,连接BC,当线段AC被y轴分成长度比为1:2的两部分时,求BC的长;(3)我们把有两个内角是直角,且一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形称为“完美筝形”.设P是第三象限内的反比例函数图象上一点,Q是平面内一点,当四边形ABPQ是完美筝形时,求P,Q两点的坐标.【解答】解:(1)∵一次函数y=﹣2x+6的图象过点A,∴4=﹣2a+6,∴a=1,∴点A(1,4),∵反比例函数y=的图象过点A(1,4),∴k=1×4=4;∴反比例函数的解析式为:y=,联立方程组可得:,解得:,,∴点B(2,2);(2)如图,过点A作AE⊥y轴于E,过点C作CF⊥y轴于F,∴AE∥CF,∴△AEH∽△CFH,∴,当=时,则CF=2AE=2,∴点C(﹣2,﹣2),∴BC==4,当=2时,则CF=AE=,∴点C(﹣,﹣8),∴BC==,综上所述:BC的长为4或;(3)如图,当∠AQP=∠ABP=90°时,设直线AB与y轴交于点E,过点B作BF⊥y轴于F,设BP与y轴的交点为N,连接BQ,AP交于点H,∵直线y=﹣2x+6与y轴交于点E,∴点E(0,6),∵点B(2,2),∴BF=OF=2,∴EF=4,∵∠ABP=90°,∴∠ABF+∠FBN=90°=∠ABF+∠BEF,∴∠BEF=∠FBN,又∵∠EFB=∠BFN=90°,∴△EBF∽△BNF,∴,∴FN==1,∴点N(0,1),∴直线BN的解析式为:y=x+1,联立方程组得:,解得:,,∴点P(﹣4,﹣1),∴直线AP的解析式为:y=x+3,∵AP垂直平分BQ,∴设BQ的解析式为y=﹣x+4,∴x+3=﹣x+4,∴x=,∴点H(,),∵点H是BQ的中点,点B(2,2),∴点Q(﹣1,5).21.如图,在矩形ABCD中,点O是AB的中点,点M是射线DC上动点,点P在线段AM上(不与点A重合),OP=AB.(1)判断△ABP的形状,并说明理由.(2)当点M为边DC中点时,连接CP并延长交AD于点N.求证:PN=AN.(3)点Q在边AD上,AB=5,AD=4,DQ=,当∠CPQ=90°时,求DM的长.【解答】(1)解:△ABP是直角三角形,理由如下:∵点O是AB的中点,∴AO=OB=AB,∵OP=AB,∴OP=OA=OB,∴∠OBP=∠OPB,∠OAP=∠APO,∵∠OAP+∠APO+∠OBP+∠BPO=180°,∴∠APO+∠BPO=90°,∴∠APB=90°,∴△ABP是直角三角形;(2)证明:如图1,延长AM,BC交于点Q,∵M是CD的中点,∴DM=CM,∵∠D=∠MCQ=90°,∠AMD=∠QMC,∴△ADM≌△QCM(ASA),∴AD=CQ=BC,∵∠BPQ=90°,∴PC=BQ=BC,∴∠CPB=∠CBP,∵∠OPB=∠OBP,∴∠OBC=∠OPC=90°,∴∠OPN=∠OPA+∠APN=90°,∵∠OAP+∠PAN=90°,∠OAP=∠OPA,∴∠APN=∠PAN,∴PN=AN;(3)解:分两种情况:①如图2,点M在CD上时,过点P作GH∥CD,交AD于G,交BC于H,设DM=x,QG=a,则CH=a+,BH=AG=4﹣﹣a=﹣a,∵PG∥DM,∴△AGP∽△ADM,∴=,即,∴PG=x﹣ax,∵∠CPQ=90°,∴∠CPH+∠QPG=90°,∵∠CPH+∠PCH=90°,∴∠QPG=∠PCH,∴tan∠QPG=tan∠PCH,即=,∴PH•PG=QG•CH,同理得:∠APG=∠PBH,∴tan∠APG=tan∠PBH,即=,∴PG•PH=AG•BH=AG2,∴AG2=QG•CH,即(﹣a)2=a(+a),∴a=,∵PG•PH=AG2,∴(x﹣x)•(5﹣x+x)=(﹣)2,解得:x1=12(舍),x2=,∴DM=;②如图3,当M在DC的延长线上时,同理得:DM=12,综上,DM的长是或12.22.如图,△ABC和△DBE的顶点B重合,∠ABC=∠DBE=90°,∠BAC=∠BDE=30°,BC=3,BE=2.(1)特例发现:如图1,当点D,E分别在AB,BC上时,可以得出结论:=,直线AD与直线CE的位置关系是垂直;(2)探究证明:如图2,将图1中的△DBE绕点B顺时针旋转,使点D恰好落在线段AC上,连接EC,(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由;(3)拓展运用:如图3,将图1中的△DBE绕点B顺时针旋转α(19°<α<60°),连接AD、EC,它们的延长线交于点F,当DF=BE时,求tan(60°﹣α)的值.【解答】解:(1)在Rt△ABC中,∠B=90°,BC=3,∠A=30°,∴AB=BC=3,在Rt△BDE中,∠BDE=30°,BE=2,∴BD=BE=2,∴EC=1,AD=,∴=,此时AD⊥EC,故答案为:,垂直;(2)结论成立.理
温馨提示
- 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
- 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
- 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
- 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
- 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
- 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
- 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。
最新文档
- 月水风的诗句
- 山东名校2025 届高三12月校际联合检测地理试题(含答案)
- 湖北省十堰市茅箭区实验中学教联体2024-2025学年九年级上学期12月月考道德与法治试题(无答案)
- 第六章 质量和密度 综合素质评价卷(含答案)2024-2025学年北师大八年级物理下册
- 高一 人教版 英语 必修一第五单元《Lesson 2 Reading and Thinking (1)》课件
- 模糊综合评价法原理及案例分析-1605028107
- 上海虹桥南丰城案例分析报告
- 《模拟电路分析与实践》对口单招课程试卷9答案
- 高一 人教版 英语 必修第二册《Lesson 2 Reading and Thinking(1)》课件
- 高一 人教A版 数学 上册 第三章《函数的表示法(1)》课件
- 【企业盈利能力探析的国内外文献综述2400字】
- 危急值的考试题及答案
- 轻医美技术合作项目协议书范本
- 走进鱼类世界智慧树知到期末考试答案章节答案2024年中国海洋大学
- 大学生国家安全教育智慧树知到期末考试答案2024年
- 2023年6月英语六级考试真题附答案解析(全3套)
- 2024继续教育《医学科研诚信与医学了研究伦理》答案
- 任现职前主要专业技术工作业绩登记完整
- 标准人手孔面积与土方表
- 湖北省公路重点工程工地试验室管理暂行办法
- 土方工程量计算
评论
0/150
提交评论