2023届内蒙古阿拉善盟高三第一次模拟考试数学（理）试题

2023届内蒙古阿拉善盟高三第一次模拟考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合，，则等于（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据对数函数的单调性解出集合A，根据指数函数的性质解得集合B，结合交集的概念和运算即可求解.【详解】由，得，解得，即，由，得，即，所以.故选：A.2．已知复数z满足，那么复数z的虚部为（

）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】根据题意和复数的乘、除法运算可得，结合复数的基本概念即可求解.【详解】由，得，所以复数z的虚部为故选：B.3．从2名男生和4名女生中选3人参加校庆汇报演出，其中至少要有一男一女，则不同的选法共有（

）A．16种 B．192种 C．96种 D．32种【答案】A【分析】分1男2女和2男1女两种情况分别选取即可得出答案.【详解】若选出的3人为1男2女的情况有种.若选出的3人为2男1女的情况有种.所以至少要有一男一女的选法有，故选：A．4．我国古代数学家李善兰在《对数探源》中利用尖锥术理论来制作对数表.他通过“对数积”求得ln2≈0.693，，由此可知ln0.2的近似值为（

） 【答案】C【分析】利用对数的运算性质进行简单的对数近似值的运算.【详解】因为ln2≈0.693，所以ln4≈1.386，因为，所以，所以ln0.2＝－ln5≈－1.609.故选：C5．已知，则下列不等式不成立的是A． B． C． D．【答案】B【分析】根据指数函数、对数函数的单调性，以及不等式的性质，对选项逐一分析，由此得出不等式不成立的选项.【详解】依题意，由于为定义域上的减函数，故为定义域上的增函数，故，则，故，所以C选项不等式成立.综上所述，本小题选B.【点睛】本小题主要考查指数函数和对数函数的单调性，考查不等式的性质，属于基础题.6．已知矩形的对角线交于点O，E为AO的中点，若（，为实数），则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据向量运算的平行四边形法则求出即可．【详解】解：如图在矩形中，，在中，，，，．故选：A．7．已知函数，若，则下列结论正确的是（

）A．在区间上单调递减B．的图象关于直线对称C．D．【答案】C【分析】结合辅助角公式可求得的值域，进而利用构造方程求得的值，知D错误；根据正弦型函数单调性、对称轴的求法可知AB正误；代入知C正确.【详解】（其中），，，，解得：；，对于A，当时，，则当，即时，单调递增，A错误；对于B，当时，，不是的对称轴，B错误；对于C，，C正确；对于D，，D错误.故选：C.8．设实数x，y满足约束条件，则目标函数的最小值为（

）A．40 B．2 C．4 D．6【答案】C【分析】画出可行域，将问题转化为点到区域内一个点的距离的平方即可【详解】约束条件所满足的区域如图所示目标函数的几何意义是点到区域内一个点的距离的平方由图知此最小值为以点为圆心，与直线相切的圆的半径的平方根据点到直线的距离公式，求得圆心到直线的距离为故最小值为4故选：C．9．已知是等差数列，是的前n项和，则“对任意的且，”是“”的（

）A．既不充分也不必要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．充要条件【答案】B【分析】根据充分必要的定义判断．【详解】因为对任意的且，，当n＝2时，，当n＝4时，，所以成立；充分性成立当成立时，可推出等差数列的公差大于零，但“对任意的且，”未必恒成立，例如，，当n＝1时，不成立，必要性不成立．故选：B．10．若实数，满足，则点到直线的距离的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】讨论实数，化简方程式，结合图象求得距离最值即可.【详解】当时；当时；当时，如图所示：直线与渐近线的距离点到的距离，所以当时上的点到直线的最大距离为综上：点到直线的距离的取值范围是，故选：C．【点睛】讨论实数，化简方程式，数形结合是解题的关键.11．已知双曲线C：的右支上一点M关于原点的对称点为点N，F为双曲线的右焦点，若，设，且，则双曲线C的离心率e的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】取双曲线的左焦点为，可得四边形是矩形，，这样矩形的边可用和表示，结合双曲线定义得出关系求得离心率，然后利用三角函数性质得出离心率最大值．【详解】假设双曲线的左焦点为，由已知得点在双曲线的左支，连接，，根据双曲线的定义：，由已知得四边形平行四边形，所以，所以有，又，所以四边形是矩形，得，所以，，所以，则离心率，由，得，所以当时，即时，的最大值为，又，所以的最大值为，故选：D.12．已知正三棱柱的侧棱长为，底面边长为，若该正三棱柱的外接球体积为，当最大时，该正三棱柱的体积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由外接球半径体积可得外接球半径，根据勾股定理，设，根据可行域可得当直线与曲线相切时最大，联立令解出的值即可.【详解】因为正三棱柱外接球的体积为，所以，设球心为，底面外接圆圆心为，由正三棱锥可得，底面外接圆半径，所以由勾股定理得，设，当直线与曲线相切时，最大，联立方程组得，由，得或（舍去），此时，，所以正三棱柱的体积，故选：B二、填空题13．若的展开式中的常数项是_________.【答案】【分析】列出此二项展开式的通项，令x的次数为0求得r，代入通项即可求得常数项.【详解】的展开式的通项为，令，得，所以的展开式中的常数项是.故答案为：.【点睛】本题考查求二项展开式的常数项，属于基础题.14．函数在点处的切线方程为__________．【答案】【分析】先求导，进而得切线斜率，利用直线方程的点斜式即得.【详解】函数的导函数为，则，故切线斜率为2，又，所以切线方程为，即．故答案为：.15．设函数，已知在上有且仅有3个极值点，则的取值范围是________.【答案】【分析】利用三角恒等变换公式将函数化简得，由的取值范围求出的取值范围，令，将问题转化为函数在区间上的极值点个数问题，数形结合来求解.【详解】，当时，，令，则，作出函数的图像如图所示：由于函数在上有且仅有个极值点，则，解得.故答案为：三、双空题16．已知等比数列的公比为q，且，，则q的取值范围为______；能使不等式成立的最大正整数______.【答案】4039【分析】根据已知求得的表达式，由此求得成立列不等式，化简求得的取值范围，从而求得最大正整数.【详解】由已知，结合知，解得，故q的取值范围为.由于是等比数列，所以是首项为，公比为的等比数列.要使成立则即，将代入整理得：故最大正整数.故答案为：；【点睛】本小题主要考查等比数列的性质，考查等比数列前项和公式，属于中档题.四、解答题17．下图的茎叶图记录了甲，乙两组各八位同学在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）.已知甲组数据的中位数为24，乙组数据的平均数为25.（1）求x，y的值；（2）计算甲、乙两组数据的方差，并比较哪一组的成绩更稳定？【答案】（1），；（2）、，乙组的成绩更稳定.【分析】（1）由题意可得，可求出的值，由平均数的公式列方程可求出y的值；（2）利用方差公式计算甲、乙两组数据的方差，然后进行判断即可【详解】（1）由，得，由，得．（2）设甲、乙两组数据的方差分别为、，甲组数据的平均数为，，，因为，所以乙组的成绩更稳定．18．已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AD=2AB，PA⊥平面ABCD，E为线段BCPDE将四棱锥P-ABCD分成体积比为3：1的两部分.（1）求证：平面PDE⊥平面PAE；（2）若PB与平面ABCD所成的角为45°，求二面角的大小.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）由题设易得，即，再由线面垂直的性质有，根据线面、面面垂直的判定可证面面.（2）构建为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系，求面、面的法向量，根据空间向量夹角的坐标表示求二面角余弦值，进而求其大小.【详解】（1）证明：∵平面，∴，即，∴为的中点，由，得，又是矩形，则，同理：，∴，则，∵面，面，∴，而，∴面，由面，∴面面.（2）依题意，建立空间直角坐标系如下图所示，不妨设，又平面，∴即为与平面所成角的平面角，故，∴，则，，，，，由（1）知：面的一个法向量，设是平面的一个法向量，而，，∴，令，故，∴，则锐二面角的大小为.19．已知数列{an}中，a1=3，，n∈N*.（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{an}的前n项和Sn.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由递推关系可得，再根据等差数列的定义得，即可知{a}的通项公式；（2）由（1）得，应用错位相减法求{a}的前n项和S.【详解】（1）由得：，∴，即数列是首项为，公差为的等差数列，∴，故.（2）由（1）得：，∴①，②，①②得：∴.20．已知函数.（Ⅰ）求的单调递减区间；（Ⅱ）若当时，恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（Ⅰ）单调递减区间为；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）求函数的导函数，求的区间即为所求减区间；（Ⅱ）化简不等式，变形为，即求，令，求的导函数判断的单调性求出最小值，可求出的范围.【详解】（Ⅰ）由题可知.令，得，从而，∴的单调递减区间为.（Ⅱ）由可得，即当时，恒成立.设，则.令，则当时，.∴当时，单调递增，，则当时，，单调递减；当时，，单调递增.∴，∴.【点睛】思路点睛：在函数中，恒成立问题，可选择参变分离的方法，分离出参数转化为或，转化为求函数的最值求出的范围.21．已知椭圆C：的右焦点为F，且F与椭圆C上点的距离的取值范围为（1）求a，b；（2）若点P在圆M∶上，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求△PAB面积的最小值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由已知，结合两点距离公式及椭圆的有界性可得，再应用椭圆参数关系即可求a，b；（2）由（1）知为，设、、，易得A，B处的切线方程，进而可得的方程：，联立椭圆并应用韦达定理、弦长公式、点线距离公式及三角形面积公式可得△PAB面积关于的函数式，进而利用单调性求其最小值即可.【详解】（1）设椭圆上任意一点，，其中，则，又，则，∴，故，由题意：，解得，则；（2）由（1）得：椭圆为，设，，，由，则在直线：上，将直线与椭圆联立得：，即，，故直线与相切，故在处的切线方程为：，同理在处的切线方程为：，∵直线与直线相交于点，故有且，∴直线的方程为：，将直线与椭圆联立得：，则，故当时，，故，易验证当时，该式也成立，∵点到直线的距离，∴△的面积，令，则在上单调递增，∴当，即，或时，△面积取得最小值.【点睛】关键点点睛：第二问，应用方程思想求A，B处的切线方程，进而写出的方程，将其与椭圆方程联立，综合应用韦达定理、弦长公式、点线距离公式和三角形面积公式得到△PAB面积关于参数的函数，最后利用单调性求最值.22．经过点M（-2，-4）且斜率为1的直线l与抛物线C：y2=2px（p>0）分别交于A，B两点.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求直线l的参数方程和抛物线C的极坐标方程；（2）若成等差数列，求p的值.【答案】（1）（其中为参数），；（2）.【分析】（1）根据直线所过的点及斜率即可求出直线的参数方程，利用极坐标公式可求出抛物线的极坐标方程；（2）直线的参数方程代入抛物线方程，化简可得关于的一元二次方程，由根与系数的关系及成等差数列即可求解.【详解】（1）直线的参数方程为（其中为参