(典型题)高中数学必修三第一章《统计》测试(有答案解析)

一、选择题1．为了了解某同学的数学学习情况，对他的6次数学测试成绩进行统计，作出的茎叶图如图所示，则下列关于该同学数学成绩的说法正确的是()A．中位数为83 B．众数为85 C．平均数为85 D．方差为192．如图1为某省2019年1~4月快递业务量统计图，图2是该省2019年1~4月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误的是()A．2019年1~4月的业务量，3月最高，2月最低，差值接近2000万件B．2019年1~4月的业务量同比增长率超过50%，在3月最高C．从两图来看2019年1~4月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致D．从1~4月来看，该省在2019年快递业务收入同比增长率逐月增长3．为了解一片经济树林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：cm），根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示．那么在这100株树木中，底部周长小于110cm的株数n是（）A．30 B．60C．70 D．804．下表是某两个相关变量x，y的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程，那么表中t的值为（）x3456y2.5t44.5A．3 B．3.15 C．3.5 D．4.55．改革开放四十年以来，北京市居民生活发生了翻天覆地的变化.随着经济快速增长、居民收入稳步提升，消费结构逐步优化升级，生活品质显著增强，美好生活蓝图正在快速构建.北京市城镇居民人均消费支出从1998年的7500元增长到2017年的40000元.1998年与2017年北京市城镇居民消费结构对比如下图所示：1998年北京市城镇居民消费结构2017年北京市城镇居民消费结构则下列叙述中不正确的是（）A．2017年北京市城镇居民食品支出占比同1998年相比大幅度降低B．2017年北京市城镇居民人均教育文化娱乐类支出同1998年相比有所减少C．2017年北京市城镇居民医疗保健支出占比同1998年相比提高约60%D．2017年北京市城镇居民人均交通和通信类支出突破5000元，大约是1998年的14倍6．将1000名学生的编号如下：0001，0002，0003，…，1000，若从中抽取50个学生，用系统抽样的方法从第一部分0001，0002，…，0020中抽取的号码为0015时，抽取的第40个号码为（）A．0795 B．0780 C．0810 D．08157．①45化为二进制数为；②一个总体含有1000个个体（编号为0000，0001，…，0999），采用系统抽样从中抽取一个容量为50的样本，若第一个抽取的编号为0008，则第六个编号为0128；③已知，，为三个内角，，的对边，其中，,，则这样的三角形有两个解.以上说法正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．38．甲、乙两名同学在五次数学考试中的成绩统计如下面的茎叶图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别是，，观察茎叶图，下列结论正确的是（）A．，乙比甲成绩稳定 B．，乙比甲成绩稳定C．，甲比乙成绩稳定 D．，甲比乙成绩稳定9．一组数据中的每一个数据都乘，再减去，得到一组新数据，若求得新数据的平均数是，方差是，则原来数据的平均数和方差分别是A．， B．，C．， D．，10．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（）A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，811．若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是（）A．91.5和91.5 B．91.5和92 C．91和91.5 D．92和9212．已知x，y的取值如表：x-3-12678y8.06.55.0-0.5-2.0-3.0若x，y之间是线性相关，且线性回归直线方程为y∧=-x+a，则实数a的值是(A．-5.5 B．5.5 C．-3.5 D．3.5二、填空题13．为了了解一片经济林的生长情况,随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位:),所得数据均在区间上,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的60株树木中,有_______株树木的底部周长大于110.14．下列说法正确的是__________（填序号）（1）已知相关变量满足回归方程，若变量增加一个单位，则平均增加个单位（2）若为两个命题，则“”为假命题是“”为假命题的充分不必要条件（3）若命题，，则，（4）已知随机变量，若，则15．对两个变量和进行回归分析，得到一组样本数据，，…，，则下列说法中正确的序号是______.①由样本数据得到的回归直线方程必过样本点的中心②残差平方和越小的模型，拟合的效果越好③用相关指数来刻画回归效果，越小说明拟合效果越好④若变量和之间的相关系数为，则变量和之间线性相关性强16．某校有高一学生名，其中男生数与女生数之比为，为了解学生的视力情况，现要求按分层抽样的方法抽取一个样本容量为的样本，若样本中男生比女生多人，则_______．17．已知一组数据的方差是2，并且，，则______.18．一个车间为了规定工作原理，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，收集数据如下：零件数（个）1520304050加工时间（分钟）6570758090由表中数据，求得线性回归方程，则估计加工70个零件时间为__________分钟（精确到0.1）．19．已知由样本数据集合，求得的回归直线方程为，且，若去掉两个数据点(4.1，5.7）和(3.9，4.3）后重新求得的回归直线方程的斜率估计值为1.2，则此回归直线的方程为_______.20．对具有线性相关关系的变量，，有一组观察数据，其回归直线方程是：，且，，则实数的值是__________．三、解答题21．某企业投资两个新型项目，投资新型项目的投资额（单位：十万元）与纯利润（单位：万元）的关系式为，投资新型项目的投资额（单位：十万元）与纯利润（单位：万元）的散点图如图所示.（1）求关于的线性回归方程；（2）根据（1）中的回归方程，若，两个项目都投资60万元，试预测哪个项目的收益更好.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.22．已知某校6个学生的数学和物理成绩如下表：学生的编号123456数学898779817890物理797577737274（1）若在本次考试中，规定数学在80分以上（包括80分）且物理在75分以上（包括75分）的学生为理科小能手.从这6个学生中抽出2个学生，设表示理科小能手的人数，求的分布列和数学期望；（2）通过大量事实证明发现，一个学生的数学成绩和物理成绩具有很强的线性相关关系，在上述表格是正确的前提下，用表示数学成绩，用表示物理成绩，求与的回归方程.参考数据和公式：，其中，.23．随着人民生活水平的日益提高，某小区拥有私家车的数量与日俱增，物业公司统计了近六年小区私家车的数量，数据如下：年份201420152016201720182019编号123456数量（辆）4196116190218275（1）若该小区私家车的数量与年份编号的关系可用线性回归模型来拟合，请求出关于的线性回归方程，并用相关指数分析其拟合效果（精确到0.01）；（2）由于该小区没有配套停车位，车辆无序停放易造成交通拥堵，因此物业公司预在小区内划定一定数量的停车位，若要求在2022年小区停车位数量仍可满足需要，则至少需要规划多少个停车位.参考数据：，，，.附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，，相关指数，残差.24．高二理科班有60名同学参加某次考试，从中随机抽选出5名同学，他们的数学成绩与物理成绩如下表：数学成绩140130120110100物理成绩110901008070数据表明与之间有较强的线性关系.（Ⅰ）求关于的线性回归方程，并估计该班某同学的数学成绩为90分时该同学的物理成绩；（Ⅱ）本次考试中，规定数学成绩达到125分为数学优秀，物理成绩达到100分为物理优秀.若该班数学优秀率与物理优秀率分别为50%和60%，且所有同学中数学优秀但物理不优秀的同学共有6人，请你在答卷页上填写下面列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为数学优秀与物理优秀有关？物理优秀物理不优秀合计数学优秀数学不优秀合计参考公式及数据：回归直线的系数，，，，.，.25．为响应党中央“扶贫攻坚”的号召，某单位指导一贫困村通过种植紫甘薯来提高经济收入.紫甘薯对环境温度要求较高，根据以往的经验，随着温度的升高，其死亡株数成增长的趋势.下表给出了2017年种植的一批试验紫甘薯在温度升高时6组死亡的株数：温度（单位：）212324272932死亡数（单位：株）61120275777经计算：，，，，，，，其中，分别为试验数据中的温度和死亡株数，.（1）若用线性回归模型，求关于的回归方程（结果精确到0.1）；（2）若用非线性回归模型求得关于的回归方程，且相关指数为.（i）试与（1）中的回归模型相比，用说明哪种模型的拟合效果更好；（ii）用拟合效果好的模型预测温度为时该紫甘薯死亡株数（结果取整数）.附：对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，；相关指数为：.26．近年来，国家对西部发展出台了很多优惠政策，为了更有效促进发展，需要对一种旧能源材料进行技术革新，为了了解此种材料年产量（吨）对价格（万元/吨）和年利润（万元）的影响，有关部门对近五年此种材料的年产量和价格统计如表，若.123458764（1）求表格中的值；（2）求关于的线性回归方程；（3）若每吨该产品的成本为2万元，假设该产品可全部卖出，预测当年产量为多少时，年利润取得最大值？参考公式：，.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【解析】试题分析：A选项，中位数是84；B选项，众数是出现最多的数，故是83；C选项，平均数是85，正确；D选项，方差是，错误．考点：茎叶图的识别‚相关量的定义2．D解析：D【分析】由题意结合所给的统计图确定选项中的说法是否正确即可.【详解】对于选项A：2018年1～4月的业务量，3月最高，2月最低，差值为，接近2000万件，所以A是正确的；对于选项B：2018年1～4月的业务量同比增长率分别为，均超过，在3月最高，所以B是正确的；对于选项C：2月份业务量同比增长率为53%，而收入的同比增长率为30%，所以C是正确的；对于选项D，1，2，3，4月收入的同比增长率分别为55%，30%，60%，42%，并不是逐月增长，D错误.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查统计图及其应用，新知识的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3．C解析：C【解析】解：由图可知：则底部周长小于110cm段的频率为（0.01+0.02+0.04）×10=0.7，则频数为100×0.7=70人．故选C．4．A解析：A【分析】计算得到，，代入回归方程计算得到答案.【详解】，，中心点过，即，解得.故选：.【点睛】本题考查了回归方程的相关问题，意在考查学生的计算能力.5．B解析：B【解析】【分析】2017年北京市城镇居民人均教育文化娱乐类支出：11%×40000＝4400元，1998年北京市城镇居民人均教育文化娱乐类支出：14%×7500＝1050元，故2017年北京市城镇居民人均教育文化娱乐类支出同1998年相比明显增加．【详解】由1998年与2017年北京市城镇居民消费结构对比图，知：在A中，2017年北京市城镇居民食品支出占比同1998年相比大幅度降低，故A正确；在B中，2017年北京市城镇居民人均教育文化娱乐类支出：11%×40000＝4400元，1998年北京市城镇居民人均教育文化娱乐类支出：14%×7500＝1050元，故2017年北京市城镇居民人均教育文化娱乐类支出同1998年相比明显增加，故B错误；在C中，2017年北京市城镇居民医疗保健支出占比同1998年相比提高约60%，故C正确；在D中，2017年北京市城镇居民人均交通和通信类支出突破5000元，大约是1998年的14倍，故D正确．故选：B．【点睛】本题考查扇形统计表的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．6．A解析：A【解析】分析：先确定间距，再根据等差数列通项公式求结果.详解：因为系统抽样的方法抽签，所以间距为所以抽取的第40个数为选A.点睛：本题考查系统抽样概念，考查基本求解能力.7．C解析：C【解析】分析：①根据进位制的互化可得结果；②根据系统抽样的性质可得结论；③由正弦定理可得结论.详解：①，，，，，，故，①正确;②因为个个题抽取个样本，每个样本编号间隔为，第六个编号为，即编号为，故②错误；③由正弦定理可得，可能是锐角，也可能是钝角，三角形有两个解，③正确,故选C.点睛：本题主要考查进位制、正弦定理的应用，分层抽样的应用，意在考查综合运用所学知识解决问题的能力，属于中档题.8．A解析：A【解析】【分析】根据茎叶图中的数据，即可计算出两人平均分，再根据茎叶图的分布情况可知乙成绩稳定.【详解】由茎叶图知，甲的平均数是，乙的平均数是所以，从茎叶图上可以看出乙的数据比甲的数据集中，乙比甲成绩稳定故选：A．【点睛】本题考查茎叶图中两组数据的平均数和稳定程度，平均数要进行计算，稳定程度可通过计算方差或通过数据排布形状作出比较．9．B解析：B【分析】先设出原来的数据，然后设出现在的数据，找到两组数据的联系，即可．【详解】设原来的数据为，每一个数据都乘以2，再减去80，得到新数据为已知，则方差为：，故选B．【点睛】本道题目考查的是平均数和方差之间的关系，列出等式，探寻两组数据的联系，即可．10．C解析：C【解析】试题分析：由题意得，，选C.考点：茎叶图11．A解析：A【解析】8个班参加合唱比赛的得分从小到大排列分别是87，89,90,91,92,93,94,96，中位数是91,92,的平均数91.5，平均数是=91.512．B解析：B【解析】【分析】根据所给的两组数据，做出横标和纵标的平均数，写出这组数据的样本中心点，根据线性回归方程一定过样本中心点，得到线性回归直线一定过的点的坐标．【详解】根据题意可得∵xy=由线性回归方程一定过样本中心点，∴14故选：B．【点睛】本题考查线性回归方程的意义，线性回归方程一定过样本中心点，本题解题的关键是正确求出样本中心点，题目的运算量比较小，是一个基础题．二、填空题13．18【分析】根据频率小矩形的面积小矩形的高组距底部求出周长大于110的频率再根据频数样本容量频率求出对应的频数【详解】由频率分布直方图知：底部周长大于110的频率为所以底部周长大于110的频数为（株解析：18【分析】根据频率小矩形的面积小矩形的高组距底部，求出周长大于110的频率，再根据频数样本容量频率求出对应的频数.【详解】由频率分布直方图知：底部周长大于110的频率为，所以底部周长大于110的频数为（株），故答案是：18.【点睛】该题考查的是有关频率分布直方图的应用，在解题的过程中，注意小矩形的面积表示的是对应范围内的频率，属于简单题目.14．【分析】（1）由回归方程知相关变量与成负相关（2）为假命题则同时为假命题为假命题则中至少有一假命题（3）全称命题与特称命题转换条件不变结论变相反（4）由正态曲线的对称性可解【详解】（1）由回归方程知解析：【分析】（1）由回归方程知相关变量与成负相关，（2）“”为假命题则同时为假命题，“”为假命题则中至少有一假命题（3）全称命题与特称命题转换条件不变，结论变相反（4）由正态曲线的对称性可解.【详解】（1）由回归方程知相关变量与成负相关，若变量增加一个单位，则平均增加个单位，故（1）错误（2）“”为假命题则同时为假命题，“”为假命题则中至少有一假命题，所以“”为假命题是“”为假命题的充分不必要条件是正确的.故（2）正确（3）全称命题与特称命题转换条件不变，结论变相反，故（3）错误（4）由正态曲线的对称性知，随机变量，若，对称轴是，则，故（4）错误.故答案为;【点睛】利用正态曲线的对称性求概率是常见的正态分布应用问题．解题的关键是利用对称轴确定所求概率对应的随机变量的区间与已知概率对应的随机变量的区间的关系，必要时可借助图形判断．对于正态分布，由是正态曲线的对称轴知：(1)对任意的，有；(2);(3)．15．①②④【分析】根据两个变量线性相关的概念及性质逐项判定即可求解【详解】由题意根据回归直线方程的特征可得线性回归直线方程一定过样本中心所以①正确；根据残差的概念可得残差平方和越小的模型拟合效果越好所以解析：①②④【分析】根据两个变量线性相关的概念及性质，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，根据回归直线方程的特征，可得线性回归直线方程一定过样本中心，所以①正确；根据残差的概念，可得残差平方和越小的模型，拟合效果越好，所以②正确；根据相关指数的概念，可得越大说明拟合效果越好，所以③不正确；若变量和之间的相关系数为，则变量和之间负相关，且线性相关性强，所以④正确；故答案为：①②④.【点睛】本题主要考查了两个变量的线性相关性的概念与判定，其中解答中熟记线性相关的基本概念和结论是解答的关键，属于基础题.16．【分析】依题意可得解之即得解【详解】依题意可得解得故答案为1320【点睛】本题主要考查分层抽样意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力解析：【分析】依题意可得，解之即得解.【详解】依题意可得，解得.故答案为1320【点睛】本题主要考查分层抽样，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.17．2【解析】【分析】由题意结合方差的定义整理计算即可求得最终结果【详解】由题意结合方差的定义有：①而②①-②有：③注意到将其代入③式整理可得：又故故答案为2【点睛】本题主要考查方差的计算公式整体的数学解析：2【解析】【分析】由题意结合方差的定义整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意结合方差的定义有：①，而，②，①-②有：，③，注意到，将其代入③式整理可得：，又，故.故答案为2．【点睛】本题主要考查方差的计算公式，整体的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18．7【解析】【分析】结合题意先求出线性回归方程然后再计算出结果【详解】由题意可得则线性回归方程为当时【点睛】本题考查了求线性回归方程然后求出估计结果需要掌握解题方法较为基础解析：7【解析】【分析】结合题意先求出线性回归方程，然后再计算出结果【详解】由题意可得,，，则线性回归方程为当时，【点睛】本题考查了求线性回归方程，然后求出估计结果，需要掌握解题方法，较为基础19．【解析】【分析】由题意求出样本中心点然后求解新的样本中心利用回归直线的斜率估计值为求解即可得到答案【详解】有样本数据点集合求得的回归直线方程为且去掉两个数据点和重新求得的回归直线的斜率估计值为回归直解析：.【解析】【分析】由题意求出样本中心点，然后求解新的样本中心，利用回归直线的斜率估计值为，求解即可得到答案【详解】有样本数据点集合，求得的回归直线方程为，且，，去掉两个数据点和，，，重新求得的回归直线的斜率估计值为，回归直线方程设为，代入，解得回归直线的方程为故答案为【点睛】本题主要考查的是数据的回归直线方程，利用回归直线方程恒过样本中心点是关键。20．0【解析】分析：根据回归直线方程过样本中心点计算平均数代入方程求出的值详解：根据回归直线方程过样本中心点即答案为0点睛：本题考查了线性回归方程过样本中心点的应用问题是基础题解析：0【解析】分析：根据回归直线方程过样本中心点计算平均数代入方程求出的值．详解：根据回归直线方程过样本中心点即答案为0.点睛：本题考查了线性回归方程过样本中心点的应用问题，是基础题．三、解答题21．（1）；（2）项目的收益更好.【分析】（1）先利用平均数公式求出样本中心点的坐标，再利用所给公式求出的值，最后将样本中心点的坐标代入回归方程求得的值即可；（2）分别利用所给关系式以及所求回归方程，求出，两个项目投资60万元，该企业所得纯利润的估计值，便可预测哪个项目的收益更好.【详解】（1）由散点图可知，取时，的值分别为，所以，，，则，故关于的线性回归方程为.（2）因为投资新型项目的投资额（单位：十万元）与纯利润（单位：万元）的关系式为，所以若项目投资60万元，则该企业所得纯利润的估计值为万元；因为关于的线性回归方程为，所以若项目投资60万元，则该企业所得纯利润的估计值为万元.因为，所以可预测项目的收益更好.【点睛】方法点睛：求回归直线方程的步骤：①依据样本数据确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为；回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.22．（1）见解析；（2）【分析】（1）由题意得1号学生、2号学生为理科小能手,从而得到X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望；（2）利用最小二乘法分别求出，，由此能求出y与x的回归直线方程．【详解】（1）由题意得1号学生、2号学生为理科小能手.的可能取值为：0,1,2P（X＝0），P（X＝1），P（X＝2），的分布列为012（2），xiyi＝37828，xi2＝42476，∴（6）÷（），75﹣×84＝，回归方程为【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查回归直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意最小二乘法的合理运用．23．（1）；拟合效果较好；（2）至少需要规划409个停车位【分析】（1）由已知数据求得与的值，则线性回归方程可求，再求出残差平方和，代入相关指数公式求得，根据与1的接近程度分析拟合效果；（2）在（1）中求得的线性回归方程中，取求得值即可．【详解】解：（1），．，．关于的线性回归方程为．时，，时，，时，，时，，时，，时，．．，相关指