高中数学-方程的根与函数的零点教学设计学情分析教材分析课后反思

教学设计教学结构设计：零点概念的建构零点概念的建构零点存在性定理的探究创设情境，感知概念辨析讨论，明确概念实例尝试，归纳定理辨析应用，熟悉定理例题变式，深化拓展应用与巩固小结反思，提高认识布置作业，独立探究结课约10分钟约15分钟约12分钟约3分钟教学过程设计：（一）创设情境，感知概念1、实例引入解方程：（1）（2）（3）意图：通过纯粹靠代数运算无法解决的方程，引起学生认知冲突，激起探求的热情．2、一元二次方程的根与二次函数图象之间的关系．填空：方程x2-2x-3=0x2-2x+1=0x2-2x+3=0根x1=-1，x2=3x1=x2=1无实数根函数y=x2-2x-3y=x2-2x+1y=x2-2x+3图象442-2-43-112Oxy442-2-43-112Oxy442-23-112Oxy图象与x轴的交点两个交点：(-1,0)，(3,0)一个交点：(1,0)没有交点问题1：从该表你可以得出什么结论？归纳：判别式ΔΔ＞0Δ＝0Δ＜0方程ax2+bx+c=0(a>0)的根两个不相等的实数根x1、x2有两个相等的实数根x1=x2没有实数根函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象OOxyx1x2OOyxx1OOxy函数的图象与x轴的交点两个交点：(x1,0)，(x2,0)一个交点：(x1,0)无交点问题2：一元二次方程的根与相应的二次函数的图象之间有怎样的关系？学生讨论，得出结论：一元二次方程的根就是函数图象与x轴交点的横坐标．意图：通过回顾二次函数图象与x轴的交点和相应方程的根的关系，为一般函数及相应方程关系作准备．3、一般函数的图象与方程根的关系．问题3：其他的函数与方程之间也有类似的关系吗？请举例！师生互动，在学生提议的基础上，老师加以改善，比较函数图象与x轴的交点和相应方程的根的关系，从而得出一般的结论：方程f(x)＝0有几个根，y＝f(x)的图象与x轴就有几个交点，且方程的根就是交点的横坐标．意图：通过各种函数，将结论推广到一般函数，为零点概念做好铺垫．（二）辨析讨论，深化概念．4、函数零点．概念：对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．说明：①函数零点不是一个点，而是具体的自变量的取值．②求函数零点就是求方程f(x)＝0的根．5、归纳函数的零点与方程的根的关系．问题4：函数的零点与方程的根有什么共同点和区别？（1）联系：①数值上相等：求函数的零点可以转化成求对应方程的根；②存在性一致：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．（2）区别：零点对于函数而言，根对于方程而言．以上关系说明：函数与方程有着密切的联系，函数问题有时可转化为方程问题，同样，有些方程问题可以转化为函数问题来求解，这正是函数与方程思想的基础．练习1.函数的零点是（D）A.B.C.D.和2.已知函数的图象如图所示，则函数的零点是.设计意图：1.及时矫正“零点是交点”这一误解．2.使学生熟悉零点的求法．（三）实例探究，归纳定理．6、零点存在性定理的探索．问题5：在怎样的条件下，函数y＝f(x)在区间[a，b]上一定有零点？探究：（1）观察二次函数f(x)＝x2－2x－3的图象：在区间[-2，1]上有零点______；f(-2)=_______，f(1)=_______，f(-2)·f(1)_____0（“＜”或“＞”）．abcxyOd在区间(2，4)上有零点______；abcxyOd（2）观察函数的图象：①在区间(a，b)上___(有/无)零点；f(a)·f(b)___0（“＜”或“＞”）．②在区间(b，c)上___(有/无)零点；f(b)·f(c)___0（“＜”或“＞”）．③在区间(c，d)上___(有/无)零点；f(c)·f(d)___0（“＜”或“＞”）．意图：通过归纳得出零点存在性定理．7、零点存在性定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点．即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．（四）正反例证，熟悉定理．8．定理辨析与灵活运用判断下列结论是否正确，若不正确，请使用函数图象举出反例：（1）已知函数y=f(x)在区间[a，b]上连续，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在区间(a，b)内有且仅有一个零点． （×）（2）已知函数y=f(x)在区间[a，b]上连续，且f(a)·f(b)≥0，则f(x)在区间(a，b)内没有零点． （×）（3）已知函数y=f(x)在区间[a，b]满足f(a)·f(b)<0，则f(x)在区间(a，b)内存在零点． （×）请一位学生板书反例，其他学生补充评析，例如：aabOxyabOxyabOxy归纳：定理不能确零点的个数；定理中的“连续不断”是必不可少的条件；不满足定理条件时依然可能有零点．意图：通过对定理中条件的改变，将几种容易产生的误解正面给出，在第一时间加以纠正，从而促进对定理本身的准确理解．

（五）综合应用，拓展思维．10、例题讲解例1：求函数f(x)＝lnx＋2x－6的零点的个数，并确定零点所在的区间[n，n+1](n∈Z)．解法1（借助计算工具）：用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表和图象．x123456789f(x)-4.0-1.31.13.45.67.89.912.114.2由表或图象可知，f(2)<0，f(3)>0,则f(2)f(3)<0，这说明函数f(x)在区间(2，3)内有零点．问题6：如何说明零点的唯一性？又由于函数f(x)在(0，+∞)内单调递增，所以它仅有一个零点．解法2（估算）：估计f(x)在各整数处的函数值的正负，可得如下表格：x1234f(x)－－＋＋结合函数的单调性，f(x)在区间(2，3)内有唯一的零点．解法3（函数交点法）：将方程lnx＋2x－6=0化为lnx=6-2x，分别画出g(x)=lnx与h(x)=6-2x的草图，从而确定零点个数为1．继而比较g(2)、h(2)、g(3)、h(3)等的大小，确定交点所在的区间，即零点的区间．66Oxy2134g(x)h(x)由图可知f(x)在区间(2，3)内有唯一的零点．意图：通过例题分析，能根据零点存在性定理，使用多种方法确定零点所在的区间，并且结合函数性质，判断零点个数．解法3作为选讲内容，视学生基础而定．（六）总结整理，提高认识．（1）一个关系：函数零点与方程根的关系：函数函数方程零点根数值存在性个数（2）两种思想：函数方程思想；数形结合思想．（3）三种题型：求函数零点、判断零点个数、求零点所在区间．（七）布置作业，独立探究．教材P92习题3．1（A组）第2题.课后思考：如何求函数的零点？设计意图：为下一节“用二分法求方程的近似解”的学习做准备．板书设计方程的根与函数的零点方程的根与函数的零点1、零点概念：例1：……………………2、方程的根与函数零点的关系……………………3、函数零点存在性定理的条件…………反例：xyOxyOxyO一．学生具备必要的知识与心理基础．通过前面的学习，学生已经了解一些基本初等函数的模型，具备一定的看图识图能力，这为本节课利用函数图象，判断方程根的存在性提供了一定的知识基础．方程是初中数学的重要内容，用所学的函数知识解决方程问题，扩充方程的种类，这是学生乐于接受的，故而学生具备心理与情感基础．二．学生缺乏函数与方程联系的观点．高一学生在函数的学习中，常表现出不适，主要是数形结合与抽象思维尚不能胜任．具体表现为将函数孤立起来，认识不到函数在高中数学中的核心地位．例如一元二次方程根的分布问题，学生自然会想到韦达定理，而不是看二次函数的图象．函数与方程相联系的观点的建立，函数应用的意识的初步树立，就成了本节课必须承载的任务．三．直观体验与准确理解定理的矛盾．从方程根的角度理解函数零点，学生并不会觉得困难．而用函数来确定方程根的个数和大致范围，则需要适应．换言之，零点存在性定理的获得与应用，必须让学生从一定量的具体案例中操作感知，通过更多的举例来验证．定理只为零点的存在提供充分非必要条件，所以定理的逆命题、否命题都不成立，在函数连续性、简单逻辑用语未学习的情况下，学生对定理的理解常常不够深入．这就要求教师引导学生体验各种成立与不成立的情况，从正面、反面、侧面等不同的角度审视定理的条件与适用范围．“授人以鱼，不如授人以渔”，因此我以培养学生探究精神为出发点，着眼于知识的形成和发展，注重学生的学习体验，采用“启发—探究—讨论”教学模式，注重由特殊到一般的直观归纳；重视对概念的准确理解；精心设置一个个问题链，并以此为主线，由浅入深、循序渐进，给不同层次的学生提供思考、创造、表现和成功的舞台。顺利完成本节教学任务，基本达成教学目标，并为下一节的学习做好铺垫。1.在新课引入时试图给学生讲授一点关于方程的解的数学史知识，但达不到应有的效果，这反映出本人对数学史知识的不熟练及课堂应变智慧的不足。2.想自在的调控课堂而不尽得。我所喜欢的课堂是既紧张又活泼，既自主又合作，既数学又生活的。我想把数学课堂生活化，寓教于乐，让课堂充满欢声笑语。这需要对数学与生活较透彻的理解，这需要语言表达的精确与幽默，这些都是我的不足。3.在课件制作及演示方面还是存在不足。4.在板书方面，板块意识是有了，但是字的书写还不够工整。函数与方程这一章属于新课标中新增的内容，是近年来高考关注的热点。给出函数零点概念的目的是把函数与方程联系起来，把所有的中学代数问题都统一到函数的思想指导之下。另外本节课内容是在学习了函数的概念和基本的初等函数的大背景下展开的，同时又是“用二分法求方程的近似解”的理论基础，可见，它起着承上启下的作用，与整章、整册综合成一个整体，学好本节非常重要。3.1.1方程的根与函数的零点一、选择题1．已知函数f(x)在区间[a，b]上单调，且f(a)·f(b)<0则方程f(x)＝0在区间[a，b]上()A．至少有一实根 B．至多有一实根C．没有实根 D．必有唯一的实根2．已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下的x、f(x)对应值表：x123456f(x)123.5621.45－7.8211.57－53.76－126.49函数f(x)在区间[1,6]上的零点至少有()A．2个 B．3个C．4个 D．5个3．(2013～2014淄博一中高一期中试题)对于函数f(x)＝x2＋mx＋n，若f(a)＞0，f(b)＞0，则f(x)在(a，b)上()A．一定有零点 B．可能有两个零点C．一定有没有零点 D．至少有一个零点4．下列函数中，在[1,2]上有零点的是()A．f(x)＝3x2－4x＋5 B．f(x)＝x3－5x－5C．f(x)＝lnx－3x＋6 D．f(x)＝ex＋3x－65．若函数f(x)＝x2－ax＋b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是()A．－1和eq\f(1,6) B．1和－eq\f(1,6)C．eq\f(1,2)和eq\f(1,3) D．－eq\f(1,2)和－eq\f(1,3)6．(2010·福建理，4)函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2x－3，x≤0,－2＋lnx，x>0))的零点个数为()A．0 B．1C．2 D．3二、填空题7．已知函数f(x)＝eq\r(x＋m)的零点是2，则2m＝________.8．函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x2－x－1，x≤0，,3x－4，x＞0))的零点的个数为________．9．对于方程x3＋x2－2x－1＝0，有下列判断：①在(－2，－1)内有实数根；②在(－1,0)内有实数根；③在(1,2)内有实数根；④在(－∞，＋∞)内没有实数根．其中正确的有________．(填序号)三、解答题10．已知函数f(x)＝2x－x2，问方程f(x)＝0在区间[－1,0]内是否有解，为什么？11．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．(1)f(x)＝－8x2＋7x＋1；(2)f(x)＝x2＋x＋2；(3)f(x)＝eq\f(x2＋4x－12,x－2)；(4)f(x)＝3x＋1－7；(5)f(x)＝log5(2x－3)．12．(2013～2014北京高一检测)已知二次函数y＝(m＋2