天津理工大学大学物理机械振动

机械振动天津理工大学理学院物理系康志泰印1

物体或物体的一部分，在平衡位置附近来回地作周期性运动，叫做机械振动，简称振动。振动现象是多种多样的，它在自然界中是广泛存在的。机械振动摆的运动、心脏的跳动、气缸中活塞的运动等简谐振动最简单、最基本的振动一切复杂的振动都可以分解为若干个简谐振动2用激光时间平均法得到的小提琴全息振动模式图3纸锥扬声器的振动模式4mmmxo平衡位置设物体在位置零处时，没被拉长也未被压缩，这时物体在水平方向上不受力的作用，此位置就叫做平衡位置。ff弹簧振子一轻弹簧一端固定，另一端系一物体，放在光滑的水平桌面上。将物体稍微移动后，物体就在弹性力的作用下来回自由振动。平衡位置一弹簧振子的谐振动5以此为坐标原点，水平直线为x轴，并设向右为正。当物体相对于平衡位置有一位移x时，无论是在平衡位置的左方还是右方，物体都将受到一个弹性力的作用，此时弹簧被伸长或压缩。根据虎克定律，物体所受到的弹性力与位移成正比，且永远指向平衡位置，因此有负号表示力和位移的方向相反，即弹性力的方向永远指向坐标原点。弹簧的倔强系数6位移为零，受力为零，所以加速度为零，但此时速度最大。由于作谐振动的物体所受到的弹性力永远指向平衡位置，所以它的运动总是一种不断重复着的周期性运动。物体在左右两个端点位移最大，因此所受力的数值最大，加速度亦最大(f=ma)。但由于物体静止，其速度为零；物体在原点处7以弹簧振子为例，由于即知令则或二谐振动的运动方程与基本特征8对于其它形式的简谐振动，例如单摆，其方程形式与此相同，只不过是变量位移x为其它物理量而已。此方程的解用余弦函数来表示为式中A和是两个积分常数。此式和上式一样都可称为谐振动的运动方程。弹簧振子所作谐振动的微分方程式9物理意义设=0，上式可写成随着时间的推移，m的位移x在数值A到-A之间作往复周期性的变化，即振动。A-AxtpP’010A-AxTtpP’0还可看出，当t=0时当t=2/时（P点）（P’点）这正是作谐振动的物体往复运动了一次振动物体离开平衡位置的最大位移振幅A11A-AxTtpP’0物体往复运动一次所需的时间频率振动的圆频率周期12谐振动的基本特征并不是所有的振动都是简谐振动，只有满足于一定条件的振动才是简谐振动。谐振动的微分方程它是由下式得到的此方程的解

物体所受的力或物体的加速度与位移成正比而方向相反是谐振动的基本特征。任何一个物体的运动只要具有这个特征即满足于上述方程，则必遵循x=Acos(t+)这一运动方程而作简谐振动。13由三角学知令则有此时有此式与等效上述两式都是微分方程的解，也就都可以作为简谐振动的运动方程。为了初学的便利，一般采用余弦形式。14谐振动的速度和加速度已知简谐振动的位移则物体的运动速度加速度物体作简谐振动时，不但它的位移随时间作周期性变化，它的速度和加速度也随时间作周期性变化。15设有一长度等于A的矢量三参考圆（旋转矢量）谐振动的位相在图示平面内绕原点以角速度逆时针旋转（与圆频率等值）。矢径端点M在空间的轨迹是一圆。M在0x轴上的投影P点就在0x轴上作往复运动。M点t=0时刻在位置M0矢径A与0x轴的夹角是pM0Mxyox16在以后任一时刻t，M点的位置矢径与0x轴的夹角为（t+）。考察M点在0x轴上的投影点P的运动，易看出在任一时刻t，A在0x轴上的投影是：pM0Mxyox17此结果正说明P点在0x轴上作谐振动。反过来说，任何一个谐振动都可以想象为某一相应参考圆上M点的投影，M点就叫参考点。谐振动的运动方程18数值上等于它所对应的参考圆的半径当然振动中并不存在角速度问题，但联系参考圆来理解是很方便的。振幅矢量A谐振动的周期M点绕圆周运动一周所需的时间（即P点往复运动一次所需的时间）圆频率M点的角速度pM0Mxyox19现在已知运动方程速度加速度都包含有（t+）项，括号中的整体具有角度量纲（弧度）称为相位或周相。在振动过程中，相位（t+）随时间变化，当相位变化2时，作振动的质点就完成一次全振动。当振幅A为已知时，任一时刻的相位可完全决定这一时刻的位置和速度。初相t=0时的相位它决定开始计时时的位置和速度20pM0Mxyox相位与初先相位21当位移密为零时既，加速竟度也为吃零，但能速度的物数值最槐大；而飘当加速车度的数贵值最大环时，位主移的数督值也最艺大，但雾加速度嘱与位移舟的方向杀相反，颤此时速牧度等于姻零。Ttx、

、axa2AAAo-A-A-2A谐振动的x、v、a与t的关系图三者的承周期相编同，但烘在同一想时刻三乎者的相营位不同汉。22前面曾录令周期频率T与称为固你有周期和输固有频率珠。其它振套动系统题例如单腊摆，振前动周期命与频率差也是由怀振动系炼统本身弃力学性巷质决定增，与振芦幅及初渣相无关庄。振子的遥周期（显频率）登是由振碌动系统蜜本身力推学性质洒决定，姐而与振营幅及初贱相位无俩关。四候弹簧振净子的周计期、振驶幅及初晋位相的小确定xA023振幅及灿初相的窝确定已知A和可由振领动初始条历件来确定将两式座平方，早有相加得到若t=0扑，x=x0，v=v0，则24将两式平养方，有相加得估到即及上述结果墙表明，如级果已知初笋位移x0和初速朋度v0，就能碎由上式醒求出谐站振动的侦振幅和违初位相守。25①起始时，输小球在振余动正方向倡的端点，创即t=0时，x=A，则述cos=1亏=0肚。小球从正厨的最大位挪移开始运侄动时，初芳相=0梯，运动锻方程的努形式为利用旋尤转矢量嫁法，据欠起始条你件可立破即看出后矢径A难在0A绝位置，套即矢径牧与X轴声之间的际夹角为蹲零，所误以初位蝴相为零仓。初相位旷也可用稍参考圆航法确定假定弹礼簧下挂零一小球涂作谐振翅动，其徒方程为xA00A=026用旋转矢于量图画简斗谐运动的图27②起始时扇，小球攻在振动坚负方向戚的端点当t=0时勉，x=－那A，此鹅时v=00Ax0x=-A28③起始时在盆平衡位置利向负方向各运动当t=0时替，x=0，隶此时小球沿x轴负方向仙运动，所怒以v<0点，则取方程x00x29用旋转妙矢量图番画简谐豆运动的图30④起始时粘在平衡作位置向纪正方向喊运动当t=0帽时，x=0旁，此时小球沿x轴正方合向运动胳，所以v>0基，则取或x00xA31⑤起始时过x=A/苍2向x正方向运陶动当t=0采时，x=A滔/2，罗此时小球沿x轴正方烛向运动串，所以v>0借，则取或方程x0A/20xAA/232振动曲眨线①起始时像小球在誉振动正步方向的眠端点tx0AA/20A=033tx0AA/2①起始时小狱球在振动悲正方向的的端点②起始筹时小球只在振动览负方向移的端点振动曲座线0x=A34tx0AA/2①起始时小吃球在振动争正方向的插端点②起始时赠小球在振亚动负方向示的端点③起始洽时在平谣衡位置意向负方泰向运动振动曲线0x35tx0AA/2①起始时小毁球在振动及正方向的善端点②起始传时小球淘在振动群负方向责的端点③起始时饲在平衡位时置向负方谨向运动④起始熄时在平狱衡位置触向正方脾向运动振动曲线0xA36tx0AA/2①起始时小命球在振动偶正方向的晌端点②起始趴时小球闯在振动穗负方向店的端点③起始香时在平艘衡位置抽向负方腹向运动④起始毯时在平猾衡位置煌向正方腹向运动⑤起始肥时过x=A/2渗向x正方向运毒动（红虚线）振动曲线0xAA/237tx0AA/2①起始时幼小球在男振动正杨方向的旷端点②起始时沟小球在振浸动负方向把的端点③起始咽时在平睛衡位置龟向负方吨向运动④起始时回在平衡位印置向正方席向运动⑤起始时待过x=A/2摧向x正方向运削动（红虚线）(6)起凑始时过x=A/酷2向x负方向拌运动（授黑虚线剂）振动曲线38k为弹簧弦的倔强始系数，鞋负号表蛙示力和果位移的挡方向相光反，即瓶弹性力峡的方向鸣永远指勒向原点图。物体在左壳右两个端瓶点位移最放大，因此梦所受力的垒数值最大度，加速度报亦最大。汽但由于物虹体静止，妈其速度为隙零；但在掀其原点处检，位移为泽零，受力闭为零，所半以加速度芽为零，但槐此时速度饺最大。虎克定律mmmxo平衡位置ff39运动方程mmmxo平衡位置ff40设=0图像如崇下A-AxTtpP’0此图像壮表明，洽随着时也间的推舍移，m的位移x在数值胖A到-鲜A之间异作往复封周期性鼻的变化犬，即振榨动。A振幅：振动物体叹离开平衡灯位置的最应大位移周期：辞作谐振笨动的物属体往复唱运动一鄙次所需乒的时间T41A-AxTtpP’0频率圆频率42谐振动此的速度塌和加速林度已知简谐坛振动的位均移则物体的助运动速度加速度Ttx、

、axa2AAAo-A-A-2A43pM0Mxyox在任一泳时刻t，A在0x轴上的址投影是参考圆乎（旋转种矢量）锤谐振动骑的位相谐振动楼的运动堂方程44上述结遍果表明槐，如果眨已知初塘位移x0和初速影度v0，就能厚由上式炭求出谐腥振动的悦振幅和摸初位相黑。弹簧振子讯的周期、弯振幅及初壮位相的确挨定则弹簧紧振子的不周期频率初位相付也可以李用参考死圆法来安确定452.如圾图所示衰，以向颂右为正县方向，养用向左委的力压乡丰缩一弹冶簧，然升后松手服任其振且动。若售从松手俗时开始旗计时，贩则该弹凡簧振子旋的初相滋应为mF0[测]D0x=A起始时物灭体在X轴拌负方向的灶端点465敬一个捧质点作潜简谐振页动，已秒知质点软由平衡亡位置运浓动到二酸分之一饶最大位行移处所闸需要的兄最短时喝间为t0，则该叉质点的部振动周牙期T应赔为（A）或4t0（B）1受2t0（C）6机t0（D）欲8t0A/2x平衡位置刮开始，=抄-/习2，二分之一妄最大位移瘦处取[柜]B方程为477.一培简谐振盲动的旋蜂转矢量壮图如图军所示，名设图中沸圆的半勇径为R繁，则该环简谐振只动的振配动方程伟为0xt/4t=tt=0[从]A488.已旗知某简桂谐振动奴的振动舌曲线如骨图所示蜜，位移找的单位曲为米，浓时间单融位为秒近，则此侦简谐振妇动的振暴动方程冲为x(m)t(s)010–54[选]C-A/2-2/3x493.已知简谐许振动x=驴Acos今(t+弯0)的周高期为T聋，在t云=T/假2时质炸点的速剖度为_次___塌___男___法__;第加速度临为__练___瓜___抚___题_。505.一扰简谐振傻动的振蒙动曲线障如图所液示，则们由图可迫得其振德幅为_余___隐___笔___赢，其初飞相位_隆___辩___勉__，穗其周期友为__晚___包___脚，其振龄动方程黑为__骡___峰___留___毙___丑.x(cm)t(s)0–5–10102-A/22/3v>0姨，取=-山/2或旧=3傍/251由于五简机谐振动的吓能量以弹簧振荡子为例，淘当物体处的于位移为x的某点慢时，其伟速度为v，具有动能弹性势能m0xx52弹簧振子辆作简谐振夸动时的总发机械能为振动过程橡中，振幅应A是一恒教量，所以粮谐振动的膝机械能为亩一恒量，喝即机械能汁守恒。530EEkEpt能量变化真与时间的规关系曲线尽管作世谐振动核的物体怒的动能渔和势能篮分别随观时间作疯周期性债变化，粱但谐振权动的总吗能量保检持恒定挡不随时榆间变化企。在运蔬动过程判中，动顺能和势恋能相互责转化，烧而总和避保持不滴变，即肆符合机亦械能守狮恒与转并化定律贯。对于作讨谐振动疾的一定枣的振动半系统，酸振动的扔总能量掠与振幅愿的平方金成正比闸，这个珠规律具魔有普遍甲意义。垂对其它烤形式的或振动及劝波动也宪适用。54考虑两课简谐振藏动，其袭频率相徐同，但江相位不供同。其堪振动方衫程为显然在闻同一时灾刻t，它们的坐相位不同啄，因此它截们在同一其时刻的运作动状态亦买不同，即润一个比一禾个超前或培落后一些怎。这种差厕异就可以夸用它们之激间的相位孙差来描述领。即在同延频率的爬条件下少，它们传的相位蛾差等于呢它们的招初相差素。七相位差550PQN(2)M(1)12x假定两振请动的振幅桑相同，我惭们用OM苏和ON分神别代表这斧两个振动熄的旋转矢佛量，它们丑的长度相乖等，初角烈位置分别哥是1和2，并设2>1。由于频井率相同悦即旋转镜角速度练相同，肺所以O贤N矢量蛛的运动损始终比福OM矢庄量的运竭动超前床一个角镜度2－1，相应狠地端点梳N在x轴上的悲投影点毛Q及端湿点M在x轴上的削投影点闪P，在口同一直吓线上作秧简谐振臭动，它连们的振关幅和频喉率相同斤，但在妖步调上枪有先后掠之分。利用参剑考圆法梯可进一齿步理解鸽相位差56用两相位旗来加以比飞较知，Q悠点比P点爱的振动超超前一恒定吓的相位差2－1，在振栽动的步执调上Q味点要比检P点超干前一段眠时间△tA-A1(P)2(Q)xt此两振动睡的位移与延时间关系摘曲线如下液图。如果板把红线向砍左方沿t轴移动t，两曲线闷重迭。这不表明振动咸2（Q点怕）取某一x值的时汇刻比振居动1（窗P点）尾取同一x值的时肺刻提前货t，也就是致Q点的振蠢动在时间删上比P点用超前t，在相捧位上就坊是超前守t·=2－1（当然也属可以说振瓶动1比振抖动2落后天相位）。571122xxxxttM(1)M(1)N(2)N(2)两振动辆相位相械差半周贯期，反向。相位差2－1可正可负天，相应地葡常说振动挂2比振动密1超前或薯落后。2=1两个振动同相2－1=58实际问灿题中，第常遇到库一质点耽同时参裁与两个波或几个决振动的婶情况，吉例如两饱列声波毅传到某股处，该铺处的空险气质点疾就同时鱼参与这霉两个振鸟动，这层就需要喘讨论振滨动的合牺成问题乔。设有物体闷同时参与牧两个频率纳相等，沿电着同一方离向例如X扁轴的谐振庭动，它们笛的振动方欠程分别是下面求合叠振动的方出程八浊两同方贡向同频奔率简谐巾振动的罪合成59xx2x1p1pp1AA2A1210用参考芳圆法。概振幅矢愧量A1和A2以同样的普角速度绕原超点0转饺动，在x轴上的厘投影x1和x2分别是P1和P2点沿x轴作谐信振动的顶位移。咱因角速喊度相同命，A1和A2在转动过茶程中始终龟保持一定缠的夹角2－1，且它凉们的矢垮量和A始终保深持一定责的大小罚，又以抄同样的后角速度享绕原益点转动估。这表凉明合成裳矢量A的端点道在x轴上的投急影点P也沿x轴作谐妥振动，A的投影x就是P点作谐振被动的位移惕，即可知，两许同方向同喇频率谐振红动的合成拼运动也是腾一谐振动夺，其振动否方程为60xx2x1p1pp1AA2A1210如果用腥三角函热数的方筒法进行崭运算同催样可以挣得到上拨述结果迅。式中的初删相及合成谨振幅A可途从图上直胶接得出611、应用皮解析法令620AA2A1xt从上式励中可以熔看出，迷合振幅轮A除了意与分振认幅A1、A2有关外粗，还决暮定于两耕个振动镜的位相雾差。讨设论两种逐特殊情赢况。①即两分振优动的位相华差为2的整数椒倍。这种仙情况叫同位相，此时上式表袖明，此描时合振览幅为最爪大，两钉个分振剧动的合丢成效果满使振动摆加强。63（1）相位差64②0AA2A1xt即两分振录动的位相块差等于的奇读数倍时身，位相膜相反。这表明讯此种情你况下合钥振幅最星小，两钢分振动蛮的合成狱效果使暑振动减含弱。65（2）相位差66AA2A1xt特别地，夜若A1=A2，则A=0，端即物体处晌于静止状扰态。一般地，盆若=2－1为上述两敌种特殊情掘况外的任朽意值时，叮合振幅A歪在A1+A2和|A1－A2|之间。67合振幅最训大，两分升振动的合微成效果使疫振动加强喘。合振幅最筑小，两分诞振动的合捞成效果使凝振动减弱凤。请记住池上述结横果位相相同位相相反68例茄一质点作缘瑞简谐振动司，周期为束T。当它蓝由平衡位姓置向X轴敢正方向运别动时，由亦二分之一谈最大位移料处到最大径位移处这疗段路程所嘴需要的时黄间为（A）圈T/12剥（B）T健/8播（伟C）T/后6滨（剃D）T它