2022-2023学年湖北省十堰市柳林中学高一年级下册学期期中数学试题【含答案】

2022-2023学年湖北省十堰市柳林中学高一下学期期中数学试题一、单选题1．在复平面内，复数对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】根据复数的乘法运算进行化简，根据复数的几何意义即可求解.【详解】解：因为，其在复平面内对应点的坐标为，故复数对应的点位于第二象限.故选：B.2．若非向量、满足，且，则向量、的夹角为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据向量垂直得到方程，求出，利用向量夹角余弦公式求出答案.【详解】因为，所以，即，设量、的夹角为，则，因为，所以.故选：B3．在中，角A、B、C对的边分别为a、b、c．若，，，则角C等于（

）A．90° B．120° C．60° D．45°【答案】B【分析】利用余弦定理求解即可.【详解】由题可知,因为,故.故选：B.4．已知则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据自变量应用分段函数,再由特殊角求解函数值即可.【详解】故选:C.5．已知向量＝（－1，2），＝（3，m），m∈R，则“m＝－6”是“∥”的（）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由平面向量线性运算及共线的的坐标表示运算可得解.【详解】由题意得＝（2，2＋m），由，得－1×（2＋m）＝2×2，所以m＝－6.当m＝－6时，＝（2，－4）＝－2（－1，2），可得，则“m＝－6”是“”的充要条件.故选：A.6．冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象、新梦想．某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如弯折位置通常采用30°、45°、60°、90°、120°、150°等特殊角度下．为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求．该同学取端点绘制了，测得，，，，若点C恰好在边BD上，请帮忙计算的值（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根据三条边求出，利用平方关系得到，结合正弦定理可得.【详解】由题意，在中，由余弦定理可得，，因为，所以，在中，由正弦定理，即，解得.故选：C.7．在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点C的三等分点，点F在BE上，若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据平面向量三点共线定理和平面向量基本定理，由对应系数相等列方程求解即可.【详解】由题可知，∵点F在BE上，∴，∴．∴，．∴．故选：C．8．如图，点是半径为的半圆弧上的动点，半圆的圆心为，，则

的最大值为（

）A． B．

C．3 D．4【答案】C【分析】建立直角坐标系，设为参数，用三角函数求解.【详解】如图，以OB所在直线为x轴，过O点且垂直于AB的直线为y轴，建立平面直角坐标系，设，则，，根据题意可知，，，当时，取得最大值3；故选：C.二、多选题9．给出下列命题正确的是（

）A．空间中所有的单位向量都相等B．长度相等且方向相反的两个向量是相反向量C．若满足，且同向，则D．对于任意向量，必有【答案】BD【分析】根据向量的基本概念即可求解.【详解】对于A：向量相等需要满足两个条件：长度相等且方向相同，缺一不可，故A错；对于B：根据相反向量的定义可知B正确；对于C：向量是矢量不能比较大小，故C错；对于D：根据三角形三边关系知正确；故选：BD.10．函数的部分图象如图所示，则（

）A．B．C．的图象关于点对称D．在区间上单调递增【答案】ACD【分析】根据三角函数的图象，先求得，然后求得，根据三角函数的对称性、单调性确定正确答案.【详解】，，由于，所以，所以A选项正确，B选项错误.，当时，得，所以关于对称，C选项正确，，当时，得在上递增，则在区间上单调递增，所以D选项正确.故选：ACD11．如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列说法中正确的是（

）A．绳子的拉力不断增大 B．绳子的拉力不断变小C．船的浮力不断变小 D．船的浮力保持不变【答案】AC【分析】设水的阻力为，绳子的拉力为,与水平方向的夹角为，根据题意则有，然后逐一分析判断即可.【详解】解：设水的阻力为，绳子的拉力为,与水平方向的夹角为，则有，所以，因为增大，减小，所以增大，加上浮力等于船的重力，所以船的浮力减小.故选：AC.12．在锐角中，角、、所对的边分别为、、，已知，且，则（）．A．B．角的取值范围是C．的取值范围是D．的取值范围是【答案】ACD【分析】利用正弦定理以及二倍角的正弦公式可判断A选项的正误；利用三角形的内角和定理以及已知条件求出角的取值范围，可判断B选项的正误；利用余弦函数的基本性质可判断C选项的正误；利用二倍角的正弦公式可判断D选项的正误.【详解】因为，所以，，，则，所以或．因为，所以，所以，则，故A正确；因为，所以．因为是锐角三角形，所以，即，解得，所以，则，故B错误，D正确；因为，所以，所以，则C正确．故选：ACD.三、填空题13．已知，，且，则点M的坐标为______.【答案】【分析】设出点M的坐标，将各个点坐标代入中，计算结果.【详解】解：由题意得，所以.设，则，所以，解得，故点M的坐标为.故答案为：14．已知平面向量，，若与垂直，则实数______．【答案】【分析】根据向量垂直的坐标运算列方程即可得实数的值.【详解】已知平面向量，，则又与垂直，则，解得.故答案为：.15．__________．【答案】【分析】根据切化弦及两角差正弦公式的逆用即可得解.【详解】原式.故答案为：16．若函数在上有四个零点，则实数的取值范围是______．【答案】【分析】利用二倍角和辅助角公式化简得到，将问题转化为在上有且仅有四个不同实数解，根据的范围，结合方程解的个数可构造不等式组求得结果.【详解】；若在上有四个零点，则在上有且仅有四个不同实数解，当时，，，解得：，即实数的取值范围为.故答案为：.四、解答题17．已知，，且与夹角为，求：(1)；(2)与的夹角．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据数量积的运算律，求出的值，即可得出答案；（2）先根据数量积的运算律，求出的值，即可得出的值，进而根据数量积的运算得出的值.然后根据夹角公式，即可得出结果.【详解】（1）由已知可得，.所以有，所以.（2）因为，所以.又，所以，所以与的夹角为．18．已知函数．(1)求的单调递减区间；(2)当时，求不等式的解集．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用二倍角和辅助角公式化简得到，利用整体代换法可求得单调递减区间；（2）根据正弦型函数的值域可求得的解集，结合可求得结果.【详解】（1）；令，解得：，的单调递减区间为.（2）由得：，，解得：，分别取和得：和，则当时，的解集为.19．已知函数（其中）的图像如图所示．(1)求函数的解析式；(2)若将函数的图像上的所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍，得到函数的图像，求当时，函数的值域．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据图像得到A=1，，进而求得，再由点在图像上求解；（2）利用伸缩变换得到，再利用正弦函数的性质求解.【详解】（1）解：由图像知：A=1，，则，，所以，因为点在图像上，所以，所以，解得，因为，所以，所以；（2）解：由题意得，因为，则，所以，当，即时，有最大值；当，即时，有最小值所以，即的值域为.20．在中，，，，D是边BC上一点，，设，．(1)试用，表示；(2)求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意可得、，结合平面向量的线性运算即可求解；（2）根据平面向量数量积的定义求出，结合数量积的运算律计算即可求解.【详解】（1）∵D是边BC上一点，，∴，又∵，，得，∴．（2）∵，，，∴，．21．如图，某广场有一块不规则的绿地，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为、，经测量，，，．(1)求的长度；(2)若环境标志的底座每平方米造价为5000元，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造费用较低（请说明理由）？较低造价为多少？【答案】(1)(2)小李的设计符合要求，理由见解析；总造价为（元）【分析】（1）根据余弦定理求解即可.（2）根据正弦定理面积公式得到选择建筑环境标志费用较低，再计算其建造费用即可.【详解】（1）在中，由余弦定理，得．在中，由余弦定理得．由，得，所以，解得，所以长度为．（2）小李的设计符合要求．理由如下：因为，，因为，所以，故选择建筑环境标志费用较低．因为，所以是等边三角形，，所以，所以总造价为（元）．22．在中，角A、B、C对的边分别为a、b、c．且．(1)求角B的大小；(