2022-2023学年江苏省镇江市扬中高一年级下册学期期中校际联考数学试题【含答案】

2022-2023学年江苏省镇江市扬中高一下学期期中校际联考数学试题一、单选题1．已知点，则与同向的单位向量为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出，然后直接除以模长即可.【详解】，，故与与同向的单位向量为：.故选：A2．已知，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分别对已知两个等式两边平方相加，化简后利用两角差的正弦公式可求得结果.【详解】因为，所以，所以，，所以，所以，所以，解得，故选：D3．在中，分别是内角所对的边，若，则边（

）A． B． C．或 D．或【答案】D【分析】先根据正弦定理算出，从而得到，继续用正弦定理求.【详解】依题意，由正弦定理：得,解得，故或，经检验均符合题意.当时，则，由正弦定理，得，解得；当时，则，此时为等腰三角形满足.综上，或.故选：D4．已知，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由二倍角的正弦、余弦公式化简可得，分子分母同时除以，代入即可得出答案.【详解】故选：C.5．已知，则与的夹角是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据已知求得，平方可得，继而求出，根据向量的夹角公式即可求得答案.【详解】由可得，则，即得，故，则，故，由于，故，故选：C.6．在中，分别是内角所对的边，且满足，则的形状是（

）A．等腰直角三角形 B．等腰钝角三角形C．等边三角形 D．以上结论均不正确【答案】C【分析】利用余弦定理化简已知条件，由此确定正确答案.【详解】由于，所以为锐角，由余弦定理得，则为锐角.由以及余弦定理得，，由于，所以，即，所以，所以三角形是等边三角形.故选：C7．函数的最大值与最小值的和为（

）A． B． C． D．3【答案】B【分析】化简，得，再利用正弦函数的性质可求得最大值和最小值，从而可解.【详解】因为，所以，所以，即，所以当，即时，，当，即时，，所以.故选：B8．如图，梯形顶点在以为直径的半圆上，米，若电热丝由三条线段这三部分组成，在上每米可辐射单位热量，在上每米可辐射2单位热量，当电热丝辐射的总热量最大时，的长度为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据圆的对称性和余弦定理以及倍角公式化简即可求解.【详解】取中点，连接，连接，根据圆的对称性知，设，，则有，，由余弦定理得同理所以同理电热丝辐射的总热量为，令，所以，即，令，则是关于的二次函数，当电热丝辐射的总热量最大时，，即，此时.故选：B.二、多选题9．下列等式成立的有（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】对于A，逆用倍角余弦公式即可判断；对于B，利用辅助角公式即可判断；对于C，利用辅助角公式即可判断；对于D，逆用倍角正切公式可得，再用和角正切公式即可判断.【详解】对于A，，A正确；对于B，，B错误；对于C，，C正确；对于D，，D错误.故选：AC10．设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是（

）A．若，则点是边的中点B．若，则点是边的三等分C．若，则点是边的重心D．若，且，则的面积是面积的【答案】AC【分析】对A，根据中点的性质即可判断；对B，根据向量的运算得到，即可判断；对C，根据重心的性质即可判断；对D，根据三点共线的性质即可求解.【详解】对于A，由，得，即，因此点M是边BC的中点，故A正确；对于B，，，则点在边的延长线上，所以B不正确；对于C，设中点，则,，由重心性质可知C正确；对于D，且’设，所以，可知三点共线，所以的面积是面积的，故D不正确.故选：AC.11．下列说法正确的有（

）A．，，使 B．，，有C．，，使 D．，，有【答案】ABC【分析】根据取特值法，易知A，C正确，D错误；根据两角和与差的正弦公式展开可知B正确．【详解】取，易知A正确D错误；取，，C正确；因为，故B正确，故选：ABC．【点睛】本题主要考查两角和与差的正弦公式，余弦公式的理解和应用，属于基础题．12．在中，，，，点在线段上，下列结论正确的是（

）A．若是高，则 B．若是中线，则C．若是角平分线，则 D．若，则是线段的三等分点【答案】BC【分析】分别求CD为高线，中线，角平分线及等分线时CD的长.【详解】由题，，所以，若CD是高，，得，故A错误；若CD是中线，，所以，所以，故B正确；若CD是角平分线，则，即，得，故C正确；若D为线段AB的三等分点，或，，或，所以或，故D错误.故选：BC.【点睛】根据D在AB的位置，可用，表示，用向量方法解决平面几何问题是常用思路.三、填空题13．已知，，则_________.【答案】【分析】利用平面向量的坐标运算法则计算即可.【详解】解：已知，，则，，所以，故答案为：.14．设中，分别是内角所对的边，且，则_______.【答案】【分析】根据正弦定理，余弦定理和二倍角的正弦公式即可求解.【详解】由正弦定理得，又，所以，所以，结合得，由余弦定理以及得，所以，整理得，，所以.故答案为：.15．已知，在直角三角形中，，，则实数的值是________.【答案】或【分析】先求出.然后分为为直角，为直角，为直角，三种情况，分别根据向量垂直的坐标表示，列出方程，求出的值，舍去不满足的值，即可得出答案.【详解】由已知可得，.若为直角，则有，解得，舍去；若为直角，则有，解得；若为直角，则有，解得（舍去负值），所以.综上所述，或.故答案为：或.四、双空题16．已知，且是方程的两根，则的值是___________；的值是________.【答案】//【分析】根据韦达定理，两角和的正切公式、两角差的余弦公式化简求解即可.【详解】由题意，，，又，故，故，.由，，两式联立可得，，，所以.故答案为：；五、解答题17．已知都是锐角，.(1)求的值；(2)求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）先确定的取值范围，再利用同角三角函数的平方关系，求得和的值，然后根据，并结合两角和的余弦公式，得解；（2）由，结合二倍角的余弦公式，即可得出答案．【详解】（1）解：因为与都是锐角，所以，，又，所以，，所以，，所以；（2）因为，，，所以，解得：(负值舍去).18．从①；②这两个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答.在中，分别是内角所对的边且.(1)求角的大小；(2)若，且，求的值及的面积.【答案】(1)(2)【分析】(1)由已知条件结合正弦定理可得,再利用余弦定理可求出角；(2)若选①,则可求出角,再利用正弦定理求出的值,然后利用三角形的面积公式求出结果；若选②，则先根据正弦定理求出的值,然后利用三角形的面积公式求出结果.【详解】（1）因为,由正弦定理得,即,得,又,所以.（2）选择①时:,故,根据正弦定理,故,故.若选②:由及正弦定理,得,解得,所以.根据正弦定理,得,故.19．如图，在矩形中，点在边上，且是线段上一动点.(1)若是线段的中点，，求的值；(2)若，求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】(1)由已知,用表示,然后利用向量的基本定理可求,即可;(2)根据题意,由数量积的计算公式可得,变形可得,进而计算可得的值,进而由向量数量积的计算公式可得,结合基本不等式的性质分析可得答案.【详解】（1）若是线段的中点，则有，故.（2），又因为是矩形，所以，所以，又，，所以，解得，所以，进而得，因为,所以,故,因此,则.当且仅当为中点时取等号,即的最小值为6.20．已知向量，，.(1)求的值；(2)若，，且，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）先求出，求出，结合已知即可得出答案；（2）先求出，然后根据正余弦关系求得，，进而根据两角的正余弦公式，求得以及的值.最后根据两角差的正弦公式，展开代入计算，即可得出答案.【详解】（1）因为，所以.因为，所以，所以.（2）因为，，所以.因为，，所以，，所以，，所以.21．在中，分别是内角所对的边，若.(1)求；(2)若，且的面积，求的值；(3)若，且，求的周长.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由余弦定理统一为边，再由余弦定理求解即可；（2）由面积公式及余弦定理化简，解得，由数量积公式计算即可得解；（3）根据三角恒等变换求出，再由两角差的余弦公式求出，再由余弦定理求即可得解.【详解】（1），，.（2）由，可得，，，，，解得，，，.（3），，，，由知，,，即，由余弦定理，，解得，，即的周长为.22．如图，四边形中，，三角形为正三角形.(1)当时，设，求的值；(2)设，则当为多少时.①四边形的面积最大，最大值是多少？②线段的长最大，最大值是多少？【