2022-2023学年山东省青岛市青岛第五十八中学高一年级下册学期3月月考数学试题【含答案】

2022-2023学年山东省青岛市高一下学期3月月考数学试题一、单选题1．设是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】C【分析】根据不共线的两向量可作为平面的基底，判断每个选项中的两向量是否具有倍数关系，从而判断两向量是否共线，即可判断出答案.【详解】由于是平面内所有向量的一组基底，故不共线，对于A，和没有倍数关系，故二者不共线，可作为作为平面的一组基底；对于B，和没有倍数关系，故二者不共线，可作为作为平面的一组基底；对于C，因为，即和共线，不能作为基底；对于D，，故和没有倍数关系，故二者不共线，可作为平面的一组基底；故选：C2．在平面直角坐标系xOy中，点，，且P是线段的一个三等分点（靠近点），则向量（

）A． B．C．或 D．或【答案】A【分析】根据向量线性运算和坐标运算即可求解.【详解】因为P是线段的一个三等分点（靠近点），所以，又因为点，，所以，则，所以，故选：.3．将函数的图像上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标保持不变，得到函数的图像，则函数的一个减区间是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据三角函数图像的伸缩变换可得，利用整体代换法即可求解函数的单调减区间.【详解】函数图像上的点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得，令，得，当时，，即函数的一个单调减区间为.故选：D.4．已知，则下列描述中正确的是（

）A．函数周期是B．为锐角，函数最大值是C．直线不是函数的一条对称轴D．为钝角，函数没有最小值【答案】B【分析】利用两角和与差的正弦公式、正弦余弦的二倍角公式化简，再根据三角函数的性质逐项判断可得答案.【详解】，函数周期是，故A错误；当，所以，，所以函数最大值是，故B正确；当时，，此时函数取到最大值，故直线是函数的一条对称轴，故C错误；当，所以，，所以函数最小值是，故D错误.故选：B.5．的内角，，的对边分别为，，，则下列命题正确的个数是（

）（1）若，则（2）若，，．则有两解（3）已知的外接圆的圆心为，，，为上一点，且有，则．（4）若三角形为斜三角形，则A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】利用正弦定理可以判断（1）（2）是正确，利用向量数量积的定义可以判断（3）正确，利用两角和的正切公式可以判断（4）正确.【详解】对于（1），若则，由正弦定理得，整理得，故而（1）正确；对于（2），因为，，，由正弦定理得，即，又因为，所以B有两解，故而（2）正确；对于（3），因为O是的外心，所以==，同理可得，又因为===,所以，故而（3）正确；对于（4），由,得，且三角形为斜三角形，则=，所以，故而（4）正确；故选：D6．冬奧会会徽以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象、新梦想．某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如在弯折位置通常采用30°、45°、60°、90°、120°、150°等特殊角度下．为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求．该同学取端点绘制了，测得AB=5，BD=6，AC=4，AD=3，若点C恰好在边BD上，请帮忙计算的值（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根据三条边求出，利用平方关系得到，结合正弦定理可得，再根据平方关系可求.【详解】由题意，在中，由余弦定理，；因为，所以，在中，由正弦定理所以，解得由题意，因为为锐角，所以故选：D.7．已知是边长为的等边三角形，P为所在平面内一点，则的值不可能是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据已知条件建立平面直角坐标系，写出相关点的坐标，利用向量的线性运算的坐标表示及向量的数量积的坐标表示即可求解.【详解】建立如图所示的平面直角坐标系.设，又，，，则，，.所以，即所以，所以即.所以故选：D.8．已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】结合式子中角的特点以及范围，分别求，，再根据正切值缩小的范围，从而得到的范围，即可得到角的大小.【详解】因为，，而，，所以，，，，所以．故选：D．二、多选题9．已知函数，，则下列结论中正确的是（

）A．若，则将图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称B．若，且的最小值为，则C．若在上单调递增，则的取值范围为D．当时，在有且只有3个零点【答案】ABD【分析】由，逐项判断.【详解】解：函数，A.若，，将图象向左平移个单位长度后得到，其图象关于原点对称，故正确；B.若，且的最小值为，则，解得，故正确；C.当时，，若在上单调递增，则，解得，故错误；D.当时，，令，解得，因为，所以，所以在有且只有3个零点，故正确；故选：ABD10．如图，在海岸上有两个观测点C，D，C在D的正西方向，距离为2km，在某天10:00观察到某航船在A处，此时测得∠ADC=30°，5分钟后该船行驶至B处，此时测得∠ACB=60°，∠BCD=45°，∠ADB=60°，则（

）A．当天10:00时，该船位于观测点C的北偏西15°方向B．当天10:00时，该船距离观测点CkmC．当船行驶至B处时，该船距观测点CkmD．该船在由A行驶至B的这5min内行驶了km【答案】ABD【分析】利用方位角的概念判断A，利用正弦定理、余弦定理求解后判断BCD．【详解】A选项中，∠ACD=∠ACB+∠BCD=60°+45°=105°，因为C在D的正西方向，所以A在C的北偏西15°方向，故A正确.B选项中，在△ACD中，∠ACD=105°，∠ADC=30°，则∠CAD=45°.由正弦定理，得AC=，故B正确.C选项中，在△BCD中，∠BCD=45°，∠CDB=∠ADC+∠ADB=30°+60°=90°，即∠CBD=45°，则BD=CD=2，于是BC=2，故C不正确.D选项中，在△ABC中，由余弦定理，得AB2=AC2+BC2－2AC·BCcos∠ACB=2+8－22=6，即AB=km，故D正确.故选：ABD．11．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知O是△ABC内一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为，，，且．设O是锐角△ABC内的一点，∠BAC，∠ABC，∠ACB分别是的△ABC三个内角，以下命题正确的有（

）A．若，则B．若，，，则C．若O为△ABC的内心，，则D．若O为△ABC的垂心，，则【答案】ACD【分析】对A，由奔驰定理即可判断；对B，由面积公式求出，结合奔驰定理即可求；对C，由奔驰定理，结合内心性质可得，即可得；对D，由垂心性质及向量数量积的垂直表示可得，结合奔驰定理结合三角形面积公式，可得，如图所示分别为垂足，可设，，即可由几何关系列式解出，最后由正切求出余弦值，则由可求【详解】对A，由奔驰定理可得，，又不共线，故，A对；对B，，由得，故，B错；对C，若O为△ABC的内心，，则，又（为内切圆半径），三边满足勾股定律，故，C对；对D，若O为△ABC的垂心，则，，又，同理，∴，∵，则，且如图，分别为垂足，设，，则，又，故，由，解得，由，故，D对故选：ACD12．“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．如图，已知圆O的半径为2，点P是圆O内的定点，且，弦AC，BD均过点P，则下列说法正确的是（

）A．为定值B．的取值范围是C．当时，为定值D．时，的最大值为12【答案】ACD【分析】根据所给定义可判断A，利用数量积的运算律和向量的加法运算可判断B，利用数量积的运算律和所给定义可判断C，利用基本不等式可判断D.【详解】如图，设直线PO与圆O于E，F．则，故A正确．取AC的中点为M，连接OM，则，而故的取值范围是故B错误；当时，，故C正确．当时，圆O半径取AC中点为，中点为，则，最后等号成立是因为，不等式等号成立当且仅当，故D正确．故选:ACD.三、填空题13．已知，，则在方向上的投影向量的坐标为__________．【答案】【分析】根据投影向量的定义求解.【详解】因为，，所以向量在方向的投影向量为.故答案为：14．，若与不成锐角，则t的取值范围为__________．【答案】【分析】不成锐角则可能夹角为0或者为直角、钝角和平角，再分别列式求解即可【详解】由题意，，因为与不成锐角，故夹角为0或者为直角、钝角和平角.当夹角为0时，与同向，故，故，解得；当夹角为直角、钝角或平角时，，即，解得；故t的取值范围为故答案为：15．______．【答案】【分析】利用诱导公式和三角恒等变换化简求值即可．【详解】解：．故答案为：16．对于三角形形状的判断，以下说法正确的有：__________①若，则为等腰三角形；②若，则为等边三角形．③，则为直角三角形．④若平面内有一点满足：，且，则为等边三角形⑤若，则为钝角三角形．【答案】②④⑤【分析】根据正弦定理边化角，可推得或，判断①；根据向量数量积的运算律可判断②；举反例可判断③；根据向量数量积的运算律结合向量的模可判断④；利用正弦定理角化边结合余弦定理可判断⑤.【详解】对于①，，则,即，由于，则，则或，即或，故为等腰三角形或直角三角形，①错误；对于②，由可得，即，故，同理由可得,故为等边三角形，②正确．对于③，不妨取,满足，但不是直角三角形．③错误；对于④，因为，故，即，又，所以，故，由于，故，同理可得，结合，故≌≌,可得，故为等边三角形，④正确；对于⑤，由得，即，即，由于，故为钝角，故为钝角三角形，⑤正确，故答案为：②④⑤【点睛】方法点睛：判断三角形形状问题可以利用正余弦定理，根据角的范围进行判断，注意正余弦定理边角互化的应用，也可以利用向量的线性运算或者数量积的运算进行判断.四、解答题17．如图，在平行四边形ABCD中，，，H，M分别是AD，DC的中点，F为BC上一点，且．(1)以，为基底表示向量与；(2)若，，，求与的夹角．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根据图形和平面向量的线性运算即可求解；（2）由（1）得，进而，结合平面数量积的定义计算即可求解.【详解】（1）由已知得，．由，易知，．．（2），．．．，．18．已知，设函数．(1)当时，分别求函数取得最大值和最小值时的值；(2)设的内角的对应边分别是且，，求的值．【答案】(1)时最大值0；时最小值；(2)或．【分析】（1）应用向量数量积的坐标运算，二倍角、辅助角公式化简得，由正弦型函数的性质求的最值；（2）由已知及三角形内角性质得，法一：应用余弦定理列关于的方程求解即可；法二：应用正弦定理求得或，分别求出对应的值即可.【详解】（1）由题知：，，则，故，∴当，即，得时取得最大值0，当，即，得时取得最小值．（2）由，即，又，则．法一：由余弦定理A得：，解得：或．法二：由正弦定理有，则或，当时，，由勾股定理有；当时，，则；综上所解：或．19．在①，②，③的面积为，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且______．(1)求角A；(2)若，的内切圆半径为，求的面积．【答案】(1)(2)【分析】（1）选①，根据已知条件及正弦定理的边角化，再利用三角形的内角和定理及两角和的正弦公式，结合三角函数的特殊值对应特殊角注意角的范围即可求解；选②，根据已知条件及三角形的内角和定理，再利用两角和的正切公式及三角函数的特殊值对应特殊角注意角的范围即可求解；选③，根据已知条件及三角形的面积公式，再利用余弦定理的推论及三角函数的特殊值对应特殊角注意角的范围即可求解；（2）根据（1）的结论及三角形的面积公式，结合余弦定理即可求解.【详解】（1）若选①，由及正弦定理，得，即，即，所以，因为,所以，所以，又,所以．若选②，由，得，∴，因为,所以，当时，不存在，所以，又,所以．若选③，因为的面积为，所以，即，所以，又,所以．（2）由（1）知，，∵内切圆半径为，∴，即，由余弦定理，得，即，所以，联立，得，解得，所以．20．如图，正方形的边长为6，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点．(1)求的余弦值；(2)设，求的值及点的坐标；(3)若点自A点逆时针沿正方形的边再运动到A点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)，.(3)存在符合题意的点，或.【分析】（1）建立平面直角坐标系，利用向量的夹角公式即可求得答案；（2）利用三点共线结合向量共线的坐标表示，即可求得答案；（3）假设存在满足条件的点P，分类讨论其所处的位置，根据数量积等于0，求得参数，即可判断出结论.【详解】（1）如图所示，建立以点A为原点的平面直角坐标系，则，∴，，由于就是，的夹角，，∴的余弦值为.（2）因为，则，则,又三点共线，则设，即，则，解得，故.（3）由题意得，假设存在点，使得，①当点P在上时，设，∴，则，则，故，；②当点P在上时，设，∴，则（舍去）；③当点P在上时，设，∴，则，则（舍去）；④当点P在上时，设，则，则则，故，综上，存在符合题意的点，或.【点睛】方法点睛：第三问的解答要注意假设符合题意的点存在，要讨论分类讨论，即讨论该点落在正方形的哪条边上，分类解答.21．已知函数，称向量为的特征向量，为的特征函数.(1)设，求的特征向量；(2)设向量的特征函数为，求当且时，的值；(3)设向量的特征函数为，记，若在区间上至少有40个零点，求的最小值.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据诱导公式化简，再根据函数的特征向量的定义即可得解；（2）根据向量的特征函数求出函数解析式，化简可得，再根据结合两角差的正弦公式即可得解；（3）根据三角恒等变换求出函数的解析式，不妨设为其中的一个零点，再根据三角函数的性质即可得出答案.【详解】（1）解：因为，所以函数的特征向量；（2）解：因为向量的特征函数为，所以，由，得，因为，所以，所以，所以；（3）解：因为向量的特征函