2022-2023学年河北省邢台市卓越联盟高一年级下册学期3月月考数学试题【含答案】

2022-2023学年河北省邢台市卓越联盟高一下学期3月月考数学试题一、单选题1．下列向量中不是单位向量的是A． B．C． D．（）【答案】C【详解】试题分析：C选项中的向量的模为，而A、B、D选项中向量的模均为．故选C．【解析】1、向量的模的求法；2、向量的坐标表示．2．下列条件中能得到的是（

）A． B．与的方向相同；C．，为任意向量 D．且【答案】D【分析】根据相等向量的概念，即可得到结果.【详解】由于，所以与的大小相等，方向相同，故D正确.故选：D.3．若，是平面内的一组基底，则下面的四组向量中不能作为一组基底的是（

）．A．和 B．和C．和 D．和【答案】B【分析】根据平面向量的基底的概念：平面内不共线的两个向量可以作为平面的一组基底，结合共线向量的判定方法，逐项判定，即可求解.【详解】因为向量，是平面内的一组基底，可得向量，为平面内不共线向量，对于A中，设，可得，此时方程组无解，所以向量和不共线，可以作为平面的一组基底；对于B中，设，可得，解得，所以向量和为共线向量，不能作为平面的一组基底；对于C中，设，可得，此时方程组无解，所以向量和不共线，可以作为平面的一组基底；对于D中，设，可得，此时方程组无解，所以向量和不共线，可以作为平面的一组基底.共线：B.4．已知向量，满足，，若与的夹角为，则（

）．A．1 B． C． D．【答案】D【分析】根据已知条件和算出答案即可.【详解】因为，，与的夹角为，所以，即故选：D5．在中，若，则（

）A． B． C．2 D．【答案】C【分析】利用正弦定理，将边用角表示，从而可得出答案.【详解】因为，所以，所以，则.故选：C.6．在中，已知，且是方程的两根，，则边的长为（

）A．7 B．13 C．17 D．49【答案】A【分析】解得方程的两根，从而得到，，结合余弦定理配方得到，即可求解.【详解】方程的两根是和，则，，由余弦定理得：，即，所以，则，故选：A.7．四边形中，，，则四边形的面积（

）A． B．5 C．10 D．20【答案】B【分析】根据条件得到，从而得到，结合向量模长的计算公式，即可求解.【详解】因为，，所以，则，又，，所以四边形的面积，故选：B.8．在中，角所对的边分别为，点分别为所在平面内一点，且有，，，，则点分别为的（

）A．垂心，重心，外心，内心 B．垂心，重心，内心，外心C．外心，重心，垂心，内心 D．外心，垂心，重心，内心【答案】A【分析】根据三角形垂心，重心，外心，内心的定义和性质结合平面向量的线性运算和共线定理，分别推导即可.【详解】由，得，即，则，所以，则，同理可得，，即是三边上高的交点，则为的垂心；由，得，设的中点为，则，即，，三点共线，所以在的中线上，同理可得在的其余两边的中线上，即是三边中线的交点，故为的重心；由，得，即，又是的中点，所以在的垂直平分线上，同理可得，在，的垂直平分线上，即是三边垂直平分线的交点，故是的外心；延长交于点，因为，，三点共线，则设（），且，，代入，得，即①，又因为与共线，与、不共线，则只能当且时，①成立，即，则,由正弦定理得：，又，则，即，又，所以，则是的角平分线，即点在的角平分线上，同理可得，在，的垂直平分线上，即是内角平分线的交点，故是的内心；故选：A.二、多选题9．在中，已知，则角（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】直接利用正弦定理计算即可.【详解】由，得，因为，所以，又，所以或.故选：BD.10．，中，，则（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】分，，三种情况讨论，结合向量垂直的坐标表示计算即可.【详解】由，得，若，则，故，解得，若，则，故，解得，若，则，故，解得，综上或或.故选：ACD.11．在中，已知，，的外接圆面积为，则（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】设的外接圆半径为，根据条件求得，再结合和正弦定理得到，即可求解.【详解】设的外接圆半径为，则，解得；在中，由正弦定理得：，又，则，再由正弦定理得：，因为，所以，则或，故选：AD.12．以下四个选项中，正确的有（

）A．若向量，则B．若非零向量满足，则表示的有向线段可以构成三角形C．若四边形满足，且，则四边形为矩形D．为四边形所在平面内一点，若，则四边形为平行四边形【答案】CD【分析】当时，无法确定的方向，即可判断A；当共线时，即可判断B；由，可得且，再根据结合平面向量的减法的三角形法则即可判断C；根据，可得，即可判断D.【详解】对于A，当时，无法确定的方向，故不能判断是否平行，故A错误；对于B，若非零向量满足，则，当共线时，则表示的有向线段不可以构成三角形，故B错误；对于C，若四边形满足，则且，则四边形为平行四边形，因为，即，所以平行四边形为矩形，故C正确；对于D，因为，所以，即，所以且，所以四边形为平行四边形，故D正确.故选：CD.三、填空题13．已知三点共线，则实数___________.【答案】6【分析】由题意可得，再根据平面向量共线的坐标公式计算即可.【详解】由，得，因为三点共线，所以，则，解得.故答案为：.14．在中，角所对的边分别为，已知，则角___________.【答案】##【分析】利用余弦定理求解即可.【详解】由，得，所以，则，又，所以.故答案为：.15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S为△ABC的面积，若向量满足，则角C=____________.【答案】【分析】由题意结合向量平行的充分必要条件得到面积的表达式，然后结合余弦定理解三角形即可求得∠C的大小.【详解】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：结合可得：.又∠C是三角形的内角，.【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．16．已知是边长为2的等边三角形,为平面内一点，则的最小值是______．【答案】【分析】建立直角坐标系,求出三角形各项点的坐标,设出的坐标,运用向量坐标表示的加法和数量积运算的公式,化简,配方最后求出最小值.【详解】建立如下图所示的直角坐标系,，,则有,当,取得最小值.故答案为：【点睛】本题考查了数量积的最小值问题,应用平面向量坐标运算、配方法是解题的关键.四、解答题17．（1）已知点，求证：；（2）已知向量不共线，且，求证：三点共线.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【分析】（1）利用平面向量共线的坐标公式证明即可得证；（2）利用平面向量共线定理证明即可得证.【详解】（1）点，，，，又直线不重合，故；（2），，即，有共同的起点，三点共线.18．已知，求k为何值时：(1)；(2)；(3)与的夹角为钝角．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据平面向量共线的坐标表示列出方程即可得解；（2）根据平面向量垂直的坐标表示列出方程即可得解；（3）由与的夹角为钝角，可得且不共线，列出不等式组，解之即可得解.【详解】（1）解：因为，所以，解得；（2）解：因为，所以，金额的；（3）解：因为与的夹角为钝角，所以且不共线，即，解得且，所以.19．南海诸岛自古以来就是中国领土，早在公元前2世纪的西汉时期，中国先民就发现了南海诸岛，并进行命名.三国时期吴国万震所著《南州异物志》将南海称为“涨海”，将南海中的岛礁称为“崎头”，南宋周去非在《岭外代答》中以“长砂（长沙）”“石塘”统称南海诸岛.明代中叶以后，中国官方和民间有许多对南海诸岛命名的记载，如《渡海方程》《桴海图经》《顺风相送》等.南海上A，B两个小岛相距，从A岛望C岛和B岛所成的视角为，从B岛望C岛和A岛所成的视角为，求C岛和B岛之间的距离.（结果精确到，参考数据：）【答案】【分析】由条件得，再利用正弦定理即可得解.【详解】解：由条件得，则，由正弦定理可得，岛和B岛之间的距离约为.20．在中，内角的对边分别为，已知.(1)若的面积等于，求；(2)若，求的面积；(3)若，求的面积.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）先根据余弦定理可得，再根据三角形的面积即可求得答案；（2）利用正弦定理化角为边，再结合已知求出即可得解；（3）根据，可得，求出的关系，再结合已知求出即可得解.【详解】（1），由余弦定理得，即，①，，②联立①②解得；（2），由正弦定理得，③联立①③解得，；（3），，即，④联立①④解得，.21．设向量.(1)求证：与互相垂直；(2)若，且对任意与大小相等，求；(3)若，求与的夹角.【答案】(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）根据条件得到和，从而得到结合同角三角函数关系和向量垂直关系，即可求解；（2）先分别求出和，结合条件得到，化简后根据余弦函数的图像与性质，可求解；（3）根据条件得到和，结合，求得、和，由向量的夹角公式即可求解.【详解】（1）证明：因为向量，则，所以，故与互相垂直.（2），因为，所以，整理得，，，又因为，所以.（3）由条件可得：，，又，则，所以，，又，所以，又因为，所以.22．在中，内角的对边分别为，已知为锐角，且.(1)若，求实数的值；(2)若，求面积的最大值；(3)若，点为的中点，且，求边的长.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据条件和余弦