理科数学高考模拟试题

理科数学试题

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的

1.复数匕4■的共规复数是（）A.卫B.--C.iD.-/

2-i55

2.已知集合A=＜九eA三*0,,8={xeR卜一2a）（九一/一若4口8=0,则实数。的取

值范围是（）A.（2,+0o）B.[2,+oo）C.{1}U[2,+oo）D.（l,+8）

3.某工厂生产A、B、。三种不同型号的产品，产品数量之比依次为女：5:3,现用分层抽样方法抽出一

个容量为120的样本，已知A种型号产品共抽取了24件，则。种型号产品抽取的件数为（）

A.24B.30C.36D.40

4.如图给出的是计算1+,+1+…的值的一个框图,

其中菱形判断框内应填入的条件是（）

24620

A.z>8?B.z>9?C.z>10?D.i>ll?

5.已知把函数/（x）=sinx+Gcosx的图像向右平移7个单位,

再把横坐标扩大到原来的2倍，得到函数g（x）,则函数

g（x）的一条对称轴为（）

4717〃八兀z5%

A.x=—B.x=—C.x=—D.x=—

66126

6.已知等比数列{%}的前〃项的和为S“=2"T+左，

则/一"2-2x+l的极大值为（）

75

A.2B.3C.—D.一

22/输出s/

7.已知身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝颜色

衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人

不能相邻，则不同的排法共有（）A.48种B.72种C.78种1）.84种

r2r2r2r2

8.已知椭圆一+土-=1的左、右焦点耳，E与双曲线二—一=1（。＞8＞0）的焦点重合.且直线

尤-y-1=0与双曲线右支相交于点P,则当双曲线离心率最小时的双曲线方程为（）

第1页共1页

2X2X222

A2厂1X-X

A.x---=lB.C.D.

8至一可亍一5c

9.一个长方体的四个顶点构成一个四面体EF”G,在这

个长方体中把四面体EFHG截出如图所示，则四面

体EFHG的侧视图是（）

10.已知函数/。）=丁+/+1的对称中心的横坐标为/（%>0）,且〃力有三个零点，则实数a的取

返

值范围是（）A.（-oo,0）B.一8,C.(0,+8)D.(―8,-1)

11.已知三棱锥尸一43。的四个顶点都在球。的球面上，若PA=AB=2,AC=1,ZBAC=120°,

且PAJ_平面ABC,则球。的表面积为（）A.翌工B.竺三C.12〃D.15兀

33

/、fAx+l,x<0,//、、_

12.已知函数/（x）={下列是关于函数y=/（〃x））+l的零点个数的四种判断：①当女>0

log2x,x>0,

时，有3个零点；②当上<0时•.有2个零点；③当女>0时，有4个零点；④当上<0时、有1个零点.则

正确的判断是（）A.③④B.②③C.①④D.①②

第n卷（非选择题共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分.）

13.已知抛物线9=2*（0>0）的焦点为尸，A4BC的顶点都在抛物线上，且满足而+而=-定，

则——十——+——=______.

^AB女8c幻人

14.设曲线y=x向（XEN）在点（1,1）处的切线与x轴的交点横坐标为天，则

l°g2O15尢I+l°g2015X2+l°g2015X3^°§2015X2014的值为------•

15.已知AABC中，角A、B、C的对边分别为。、b>c,已知cos2A+cos23=2cos2C,贝iJcosC

的最小值为.

16.若函数/（x）在定义域。内的某个区间/上是增函数，且E（X）="D在/上也是增函数，则称

X

第2页共2页

y=/（x）是/上的“完美函数”.已知g（x）=e'+x—lnx+l,若函数g（x）是区间+8）上的“完美

函数”，则整数机的最小值为.

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.（本小题满分12分）设数列｛2｝的前限项和为S“，且首项。产3,a,川=S“+3”（〃eN*）..

（1）求证：｛S“—3"｝是等比数列；（2）若｛%｝为递增数列，求q的取值范围.

18.（本小题满分12分）有一批货物需要用汽车从生产商所在城市甲运至销售商所在城市乙，已知从城市

甲到城市乙只有两条公路，且通过这两条公路所用的时间互不影响.据调查统计，通过这两条公路从城市

甲到城市乙的200辆汽车所用时间的频率分布如下表：

所用的时间（天数）10111213

通过公路1的频数20402020

通过公路2的频数10404010

假设汽车A只能在约定日期（某月某日）的前11天出发，汽车3只能在约定日期的前12天出发（将频

率视为概率）.

（1）为了尽最大可能在各自允许的时间内将货物运往城市乙，估计汽车A和汽车B应如何选择各自的路

径；（2）若通过公路1、公路2的“一次性费用”分别为3.2万元、1.6万元（其他费用忽略不计），此

项费用由生产商承担.如果生产商恰能在约定日期当天将货物送到，则销售商一次性支付给生产商40万元,

若在约定II期前送到，每提前一天销售商将多支付给生产商2万元；若在约定II期后送到，每迟到•天。

生产商将支付给销售商2万元.如果汽车A,8按（1）中所选路径运输货物，试比较哪辆汽车为生产商获

得的毛利润更大.

19.（本小题满分12分）如图，平面PAC_L平面ABC,AC1BC,

△PAC为等边三角形，PEOBC,过3C作平面交AP、AE分别

AN

于点N、M.（1）求证：MN□PE；（2）设一=2,求力的值,

AP

使得平面ABC与平面MNC所成的锐二面角的大小为45°.

2

20.（本小题满分12分）如图，已知圆E:（x+GJ+y2=16,点/（6,0）,P是圆E上任意一点线段

PF的垂直平分线和半径PE相交于Q.

第3页共3页

（1）求动点。的轨迹「的方程；（2）设直线/与（1）中轨迹「相交下A,8两点，直线0A/08的斜率

分别为4,七,质（其中％>0）.A0A8的面积为S,以0A03为直径的圆的面积分别为5.若k\,k,k?

恰好构成等比数列，求卫邑的取值范围.

S

21.（本小题满分12分）已知函数/（x）=H_-lnx（aW0）.（1）求函数的单调区间；

ax

「11/i+x

（2）当。=1时，求“X）在「2上的最大值和最小值（0.69<1口2<0.70）；（3）求证：加一《——.

2xx

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请

写清题号.

22.（本小题满分10分）选修4T：几何证明选讲

已知直线AC与圆。相切于点8,A。交圆。于

F、D两点,CE交圆于E,F,BDDCE,AB=BC,

AD=2,BD=\.（1）求证：\BDF\FBC；（2）

求CE的长.

23.（本小题满分10分）选【修4-4：坐标系与参数方程】在极坐标系

中，圆C的方程为p=2acos6（aw0）,以极点为坐标原点，极轴为x

x=3f+1,

轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线/的参数方程为y=4f+3"

为参数）.（1）求圆C的标准方程和直线/的普通方程；（2）若直线/与圆C恒

有公共点，求实数a的取值范围.

24.（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】（1）设函数/（%）=x~~+|-V-«|,^€R,若关于X的

不等式/（X）2。在火上恒成立，求实数a的最大值;

321

(2)已知正数％,y,z满足x+2y+3z=l,求一+—+—

xyz

的最小值.

第4页共4页

参考答案

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的

1.复数上@的共规复数是()

2-i

*3i3z八.c.

A.—B.---C.iD.-i

55

【答案】D

【解析】

…皿八”l+2i(1+2z)z.「“…田

试题分析：由于-----=--------=I，因此应选D.

2-z(2-z)z

考点：复数的运算.

2.已知集合4==€/?三六0,,8=卜€/?卜一24)卜—/一1)＜()},若4口8=0,则实数

a的取值范围是()

A.(2,+8)B.[2,+oo)C.{l}U[2,+8)D.

【答案】C

【解析】

试题分析：因/=3-1＜乂勺4},5={工|2。＜》＜/+1},故当。=18寸，3=中成立；当2a24,即

a22时也成立.所以应选C.

考点：二次不等式的解法和集合的运算.

3.某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为公5:3,现用分层抽样方法

抽出一个容量为120的样本，已知A种型号产品共抽取了24件，则C种型号产品抽取的件数为()

A.24B.30C.36D.40

【答案】C

【解析】

k?43

试题分析：因一匚=士，故％=2,二*120=36,应选(：.

人+812010

考点：抽样方法及计算.

第5页共5页

4.如图给出的是计算…+-L的值的一个框图,

24620

其中菱形判断框内应填入的条件是()

A.z>8?B.z>9?C.z>10?D.i>ll?

【答案】C

【解析】

试题分析：从所给算法流程可以看出当i=10时仍在运算，

当i=11>10时运算就结束了，所以应选C.

考点：算法流程图的识读和理解.

5.已知把函数/(光)=5m彳+百(：05%的图像向右平移7个单位，再把横坐标扩大到原来的2倍,

得到函数g(x),则函数g(x)的一条对称轴为()

JiIJIJi5"

A.x=—B.x=--C.x=—D.x=—

66126

【答案】D

【解析】

试题分析：因/(x)=sinx+J5cosx=2sin(x+%)，向右平移(个单位后变为

/(x)=2sin(x+—--)=2sin(x+—),再将其横坐标扩大到原来的两倍后得到g(x)=2sin(-x+—),

34,12212

应选D.考点：三角函数的图象和性质.

6.已知等比数列｛4｝的前"项的和为S“=2"T+Z,则=d—丘2一2%+1的极大值为()

75

A.2B.3C.-D.-【答案】D考点：等比数列的前〃项和与函数的极值.

22

7.已知身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝颜色衣服的有•人，现将这五人排成一行，

要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法共有()

A.48种B.72种C.78种D.84种

【答案】A

【解析】

试题分析：先将穿红衣服的两人排定有否种排法；再将穿黄衣服的两人插空有A；种排法；最后将穿蓝衣

服的人插入有四种插法，由分布计数原理共有2x6x4=48种排法,应选A.

第6页共6页

考点：排列组合数公式及两个计数原理的运用.

V2r2r2

8.已知椭圆需+]=1的左、右焦点耳,巴与双曲线点■—》=1(。>/?>0)的焦点重合.且直线

x—y-1=0与双曲线右支相交于点P,则当双曲线离心率最小时的双曲线方程为()

【答案】D

【解析】

试题分析：因C=716-7=3,故月(3。,设交点尸(小-IX/>0),则PF2=J(♦3)2+Q-l)2

=-2?-8t+10,右准线方程为x=1,点尸到这条直线的距离为d=”9,所以巨=■-一,+10,

33aa2

t--

3

即(3r-a2)2=2a¥-8aV+10a2,也即(2/一9)/一2。。+10/-/=o,该方程有正根，所以

△=4/—4(2。？—9乂10/一。4)之0,解之得/45或/29,所以当/=5时，双曲线的离心率最小，

此时/=9-5=4,应选D.

考点：双曲线的几何性质.

【易错点晴】本题考查的是圆锥曲线的基本量的计算问题.解答这类问题的一般思路是依据题设条件想方设

【解析】

试题分析:因S1=%=1+左：$2=+。2=2+45=S?+%=4+左,即=1+忙%=L&3=2,故题

设2(1+幻=Lk=-g,所以/(X)=x3+：X2-2x+1,由于/(力=3/+X—2=(3x-2Xx+1),因此

当xe(Yo「l)时，f(x)>O,f(x)单调递增；当xe(-L或时,./(力<0,〃力单调递减，所以函数

1«,

/(x)在x=-1处取极大值/(-1)=-1+5+2+1=彳,应选D.

法建构含。，4C的方程,然后再通过解方程或方程组使问题获解.解答本题的难点是如何建立和求出关于离

心率的目标函数,再进一步探求该函数取得最小值时的条件,从而求出双曲线的标准方程中的。力的值.本题

中的函数是运用两点之间的距离公式建立的,求解时是解不等式而求出a,b的值.

9.一个长方体的四个顶点构成一个四面体E/77G,在这个长方体中把四面体EF”G截出如图所

示，则四面体E/HG的侧视图是()

第7页共7页

【答案】D

【解析】

试题分析：侧视图就是左视图,也就是从几何体的左侧向右看,几何体所投射到平面上所得到的图形，由于

EF被遮挡故应画虚线,所以应选D.

考点：三视图的识读和理解.

10.已知函数/（九）=/+办2+1的对称中心的横坐标为且/（X）有三个零点，则实

数a的取值范围是（）

逆、

A.(—oo,0)B.-8.C.(0,+°°)D.一8,

/

【答案】B

【解析】

试题分析：由于/（力=3/+2衣=3Mx+1a）因此函数〃x）=/+-+1有两个极值点0「暂，因

/1（0）=1>0,故/（一等）=<+1<0,即。<一半,应选民

考点：导数在研究函数的零点中的运用.

11.已知三楼锥P-ABC的四个顶点都在球。的球面上，若PA=AB=2,AC=1,ZBAC=120°,

且PAJ.平面ABC,则球。的表面积为（）

【答案】A

【解析】

试题分析：设球心为。，A48C外接圆的圆心为外接圆的半径为r,则0。J_平面ABC,由于24_1_平

面ABC,因此。。也=在A48c中，由余弦定理得BC=,1+4-2xlx2x（-g）=J7,所以

第8页共8页

一=2r,即r由此可得相=1+(］口尸="，所以球的面积是5=驷，应选A.

sin"120°0V3V333

考点：球的儿何性质与表面积的计算.

【易错点晴】本题考查的是多面体的外接球的表面积问题.解答本题的难点是如何求出该四棱锥.的外接球的

半径,如何确定球心的位置,这对学生的空间想象能力的要求非常高.解答时充分借助题设条件,先求出三角

形MBC的外接圆的半径r=R,再借助PA1平面ABC,球心。与\ABC的外接圆的圆心O,的连线也

垂直于A4BC所在的平面,从而确定球心。与P,A,。共面.求出了球的半径,找到解题的突破口.

12.已知函数/(x)=<肾::::下列是关于函数y=/(/(x))+l的零点个数的四种判断：①

当上>0时，有3个零点；②当％<0时.有2个零点；③当％>0时，有4个零点；④当％<0时，有1

个零点.则正确的判断是()

A.(3X4)B.②③C.①④D.①②

【答案】A

【解析】

试题分析：若x>0,/(幻=log2X.当log2X>0,即X>1时，/(/(尤))=log2(log2X)+1=0,解得

_2

x=V2；当log2尤<0,即0<xWl时，/(/(幻)=-1082幻+1+1=0,当&>0,解得彳=2工<1适合；

2

当&<0,解得x=2工>1不适合.若x〈0J(x)=H+l,若依+1<0,则/(/(尤))=攵。+攵+1+1=0,

氏+2

即％2九+々+2=0,当A>O,x=——厂合适，4<0时不合适；若依+1>0,贝I

k

/(/(%))=log,(依+1)+1=0,即依+1=」也即尤=——，当&>0时适合；当k<0不合适.因此当

22k

k>0时有四个根V2,2-*，一丝；当4<0只有一个根x=行，应选A.

k22k

考点：函数的零点和分类整合思想.

【易错点晴】本题考查的是函数零点的个数及求解问题.解答时借助题设条件,合理运用分类整合的数学思

想,通过对变量x的分类讨论,建立了关于函数/(%)的方程,再通过对参数k的分类讨论,求解出方程

/(/(%))+1=0的根,求解时分类务必要求合乎逻辑力争做到不重不漏,要有条理.解答本题的难点是如何

第9页共9页

转化方程/(/(%))+1=0,如何进行分类整合.

第n卷(非选择题共90分)

二、填空题(本大题共4小题，每题5分，满分20分.)

13.已知抛物线丁2=2。_4。＞0)的焦点为尸，A48C的顶点都在抛物线匕且满足

———111

FA+FB=-FC则一+—+—=______.

fkkk

KAB%BC凡CA

【答案】0

【解析】

试题分析：设A(X1,必),B(X2,%),C(x3,乂)，F(,,0)，由必+所=-FC可得必+必+%=。.因

勉=­=上，故现=旦，噎则J-+-L+-L=2L±A+3+3

马一%M+%%+%%+%kABkBCkCA2P2p2p

=0.

考点：抛物线的几何性质.

14.设曲线y=x"i(xeN*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点横坐标为％,则

^°§2015%+^°§2015X2+l0g2015工3-I^°§2015”2014的值为------•

【答案】-1

【解析】

试题分析：因/(力=(〃+1)/,而/(1)=”+1,即切线的斜率左=〃+1,故切线方程为

123n1

卜-1=(〃+以》—1),令'=0得4=—n所以再吃一/=三彳=------=-；，而

«+1234〃++1

l°g2O15再+l°g”15a+l0g2O15X3^°g2015电。14=1°g2015(X1X2…X2014)=1°g2015~~=一】•

2014+1

考点：导数的几何意义.

15.已知AA3C中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知cos2A+cos23=2cos2C,

则cos。的最小值为_____.

【答案】-

2

【解析】

试题分析：由cos2A+cos2B=2cos2c得sin2A+sin2B=2sin2c,即/+/=2。2.因为

第io页共10页

「2〃2+〃2_,,211

a~+b2=2c222",即J21,所以cosC=-一-——=—WcosC的最小值为上.

ablablab22

考点：余弦定理和基本不等式的运用.

【易错点晴】本题考查的是以三角形中的三角变换为背景，其实是和解三角形有关的最小值问题.求解本题

的关键是如何将题设条件cos2A+COS2B=2cos2c与cosC的最小值进行联系,这也是解答好本题的突

破口.解答时先运用二倍角公式将其化为sin?A+sii？8=2sin2。，再运用正弦定理将其转化为三角形的

边的等式。2+/=2c?.然后再借助余弦定理和基本不等式进行联系,从而求出cosC的最小值.

16.若函数/(x)在定义域。内的某个区间/上是增函数，且/(耳=/区在/上也是增函数，

X

则称y=/(x)是/上的“完美函数”.已知g(x)=e'+x—lnx+1,若函数g(x)是区间£,一)上的

“完美函数”，则整数机的最小值为.

【答案】3

【解析】

试题分析：令G(x)=°、-则g,(x)=篦+1-LG(x)=”二.n:史二2，当桁=2时，

XXX

3-1

gQ)=e>0,G'(x)=-2<0,不合题设；当加=3时，g(弓)=/+鼻>0,G

符合题设,所以所求最小的正整数m=3.

考点：导函数的几何意义.

【易错点晴】本题以新定义的完美函数为背景,考查的是导函数的与函数的单调性之间的关系的应用问题.

解答本题的关键是如何建立满足不等式的实数机的值.求解时依据题设条件先对函数

g(x)=e*+x-Inx+1和F(x)=犯»求导,建立不等式组,求参数m的值时运用的是试验验证法,即根

x

据题设条件对适合条件的实数加的值进行逐一检验,最终获得答案.

三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

17.(本小题满分12分)

设数列｛q｝的前〃项和为Sn,且首项qH3,an+i=5,+3"(〃eTV*).

(1)求证：｛S“—3"｝是等比数列；

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（2）若｛4,｝为递增数列，求q的取值范围.

【答案】⑴证明见解析；（2）（—9,3）U（3,+8）.

试题分析：。）依据题设条件等比额列的定义推证；（2）借助题设条件运用递增数列建立不等式求解.

试题解析：

（1）因为4+i=S*i_S“，所以5川=2.+3。.................................1分

•Sz—3m121+3"—3>_2S“-2X3”_2.................................................................

nn

…Sn-3Sn-3

且q-3H0,

所以｛S”-3”｝是以q一3为首项，以2为公比的等比数列.................................6分

（2）由（1）得，S“—3"=（q—3）X2"T,所以S,=（%—3）X2"T+3".

当〃22时，

n2

an=S„-S,i=（q-3）x+3”—（q-3）x2-+2-3"-'

n2n,

=（al-3）x2~+2x3~.......8分

若｛6,｝为递增数列，则4+|>4对N*恒成立.

当〃22时;（4—3）x2"T+2x3">（a,-3）x2"-2+2x3n+l,

则2"-212x（5）+q—3>0对〃N*恒成立，

则%>—9；......................................................................10分

又。2=q+3>q

所以6的取值范围为（一9,3）U（3,+8）

考点：等比数列及递增数列等有关知识的运用.

18.（本小题满分12分）

有一批货物需要用汽车从生产商所在城市甲运至销售商所在城市乙，己知从城市甲到城市乙只有两条公

路，且通过这两条公路所用的时间互不影响.据调查统计，通过这两条公路从城市甲到城市乙的200辆

汽车所用时间的频率分布如下表：

所用的时间（天数）10111213

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通过公路1的频数20402020

通过公路2的频数10404010

假设汽车A只能在约定H期（某月某II）的前11天出发，汽车3只能在约定II期的前12天出发（将频

率视为概率）.

（1）为了尽最大可能在各自允许的时间内将货物运往城市.乙，估计汽车A和汽车B应如何选择各自的路

径；

（2）若通过公路1、公路2的“一次性费用”分别为3.2万元、1.6万元（其他费用忽略不计），此项费

用由生产商承担.如果生产商恰能在约定日期当天将货物送到，则销售商一次性支付给生产商40万元，

若在约定日期前送到，每提前一天销售商将多支付给生产商2万元；若在约定日期后送到，每迟到一天,

生产商将支付给销售商2万元.如果汽车按（1）中所选路径运输货物，试比较哪辆汽车为生产商获

得的毛利润更大.

【答案】（1）汽车A选择公路1,汽车8选择公路2；（2）汽车8为生产商获得毛利润更大..

【解析】

试题分析：（1）依据题设条件计算概率,通过比较分析求解；（2）借助题设条件运用数学期望的大小分析推证.

试题解析：

（1）频率分布表，如下：

所用的时间（天数）10111213

通过公路1的频数0.20.40.20.2

通过公路2的频数0.10.40.40.1

设A，4分别表示汽车A在约定日期前11天出发选择公路1、2将货物运往城市乙；4、员分别表示汽车

B在约定日期前12天出发选择公路1、2将货物运往城市乙；

P（A）=0.2+0.4=0.6,

P（A）=0.1+0.4=0.5,

P（Bi）=0.2+0.4+0.2=0.8,

「闯=0.1+0.4+0.4=0.9,

所以汽车A选择公路1,汽车B选择公路2.

（II）设X表示汽车A选择公路1时，销售商付给生产商的费用，则X=42,40,38,36.

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X的分布列如卜:

X42403836

P0.20.40.20.2

E（X）=42x0.2+40x0.4+38x0.2+36x0.2=39.2.

.••表示汽车A选择公路1时的毛利润为39.2-3.2=36.0（万元）.

设Y表示汽车B选择公路2时的毛利润，Y=42.4,40.4,38.4,36.4.

则Y的分布列如下：

X42.440.438.436.4

P0.10.40.40.1

E（Y）=42.4x0.1+40.4x0.4+38.4x0.4+36.4x0.1=39.4.

36.0<39.4，，汽车8为生产商获得毛利润更大.

考点：概率和随机变量的分布列与数学期望等有关知识的运用.

19.（本小题满分12分）

如图，平面PAC_L平面ABC,ACA.BC,APAC为等边三角形，PE0BC,过BC作平面交AP、

AE分别于点N、M.

(1)求证：MN□PE；

（2）设——=%,求力的值，使得平面ABC与平面MNC所成的锐二面角的大小为45。.

AP

【解析】

试题分析：（1）依据题设条件建立空间直角坐标系推证；（2）借助题设条件运用向量的数量积公式建立方程

求解.

试题解析：

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(D如图以点C为原点建立空间直角坐标系C—4z,不妨设C4=l,C5=z(?>0),PE=flCB,

则C(OQO),/(L0,0),3(0/0),PipO,

AM_AN得一月"

由—=A,“：11；1尢「而=(0「九阳0)

~AEAP2

%=(0,0,1)是平面月BC的一个法向量，且％.而？=0,故如-面？,

又'：MN0平面.4BC,即知A£V二平面月BC,

又♦.♦瓦C"M,N四点共面，.•.AIV二3C二尸E；

(2)丽=(0,—M0),两=(1—/,4卬岑2

设平面OWN的法向量q=(X1,y,zJ,贝ij〃「丽=0,〃/两=0,可取阳=1,0,

又•••%=(0,0,1)是平面ABC的一个法向量,

由"*J,

即242+44—4=0,解得4=6—1(负值舍去)，故4=6—1.

考点：空间直线与平面的位置关系及空间向量等有关知识的运用.

【易错点晴】空间向量是理科高考的必考的重要内容之一，也是高考的难点之一.解答这类问题的关键是运

算求解能力不过关和灵活运用数学知识和思想方法不到位.解答本题的两个问题时,都是通过建立空间直角

坐标系,充分借助题设条件和空间向量的有关知识进行推证和求解.第•问中的求证是借助向量共线定理进

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行推证的;第二问中充分运用向量的数量积公式建立方程的,通过解方程从而求出A=V3-1.如何通过计算

建立方程是解答好本题的难点和关键之所在.

20.（本小题满分12分）

如图，已知圆E:（x+6J+y2=16,点川6,0）,P是圆EI二任意一点线段P尸的垂直平分线和半

径PE相交于Q.

（1）求动点。的轨迹「的方程;

（2）设直线/与（1）中轨迹r相交下A,B两点，直线OAJQB的斜率分别为K次,修（其中上＞o）.AOAB

的面积为S,以0A08为直径的圆的面积分别为£,52.若匕,女欢2恰好构成等比数列，求卫士的取

S

值范围.

⑵*8.

【解析】

试题分析：（1）依据题设条件运用椭圆的定义建立方程求解；（2）借助题设条件运用直线与椭圆的位置关系

建立函数求解.

试题解析：

（1）连结。尸,根据题意，|。尸|=|。耳,

则\QE\+\QF\=\QE\+\QP\=4>\EF1=20,

故动点。的轨迹「是以E,尸为焦点，长轴长为4的椭圆.2分

X2X7，/

设其方程为L记=1(">Z?>0),可知。=2,c=y/a2—b1=V3,则b=1,3分

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2

所以点。的轨迹「的方程为为?+产=1.4分

（2）设直线/的方程为y=+A（x，y）,8（工2，%）

y=kx+m

2

由＜元22.可得（1+4攵+Skmx+4（-1）=0,

—+V-=1

[4­

由韦达定理有:

8km

玉+%"由

且A=16（l+4公-加）＞06分

4（/-1）

中2=、^

・・・k、,k,k,构成等比数列，,k2=k、h=囱+孙5+w

中2

2

即：切Mx+x2）+m=0

,11

由韦达定理代入化简得：k2^-.Vk＞Q,：.k=-.....................................8分

42

此时八=16（2—〃/）＞0,即机e（—又由A、0、5三点不共线得awO

从而me（-夜,0）U（0,3）.

故S=；14M.d=gjl+k21%1-x|-

2jL：

=—J（X]+工2）2—4二工2'\m\=-|m|]0分

又今+3=今+只=1

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贝!]S|+$2=：(九；+y；+x2++；+2

=^[(X|+/『一2X/2+5=弓为定值.12分

S1+S,_5")STT

二一^二7•齐--2—当且仅当"2=±1时等号成立.

m2-|zn|4

综上：N±±e|'2

,+°°.14分

S4

考点：直线与椭圆的位置关系等有关知识的运用.

21.(本小题满分12分)

已知函数/(x)=-~--lnx(<z^0).

ax

(1)求函数/(x)的单调区间；

(2)当。=1时，求"X)在1,2上的最大值和最小值(0.69<In2<0.70)；

/]+X

(3)求证：In—

xx

【答案】(1)若a<0,函数/(x)的单调减区间为(0,+8),若。>(),/(X)的单调增区间为(0,!),单

调减区间为(工,