九年数学第十三章导学案

第十二章章轴对称与轴对称图形复习导学案（33课时）

学习目标：

1.理解轴对称与轴对称图形的概念，掌握轴对称的性质。

2.结合生活实例，欣赏生活中的轴对称现象和镜面对称现象，感受对称的美学价值，体验几

何图形与自然、社会、人类的生活，增强学习数学的兴趣。

3.掌握线段的垂直平分线、角的平分线的性质及应用。

4.理解等腰三角形的性质并能够简单应用。

5.能够按要求做出简单的平面图形的轴对称图形，初步体会从对称的角度欣赏和设计简单的

轴对称图案。

重点：掌握线段的垂直平分线、角的平分线的性质、等腰三角形的性质及应用。

难点：轴对称图形以及关于某条直线成轴对称的概念，等腰三角形的性质应用，镜面对称

下图形的变化。

导学过程：

课前预习与导学

欣赏示面几张美丽的图片，回顾本单元的知识结构

1.轴对称图形：

如果一个图形沿着一条直线,两侧的图形能够,这个图形就是轴对称图

形。折痕所在的这条直线叫做_____.图形上能够重合的点叫—.

分别在上面图形中画出它们的对称轴。

2.轴对称：欣赏下面几幅图片，并完成问题。

N

如果把一个图形沿着某一条直线折叠后，能够与另一个图形重合，那么这两个图形关

于这条直线成,这条直线叫做。两个图形中的对应点叫。如图，

写出一■对对称点是o

3.轴对称的性质

上图中点A和F的连线与直线MN有什么样的关系？同理，点C和D,点B和E的连

线也被直线MN,图中相等的线段有：

.相等的角有：。

可以概括为：如果两个图形关于某条直线成轴对称，那么对应点的连线被对称轴

，对应线段，对应角»

4.欣赏下面的图片，完成对镜面对称的回顾。

一辆汽车的车牌在水中的倒影如图所示，你能确定该车车牌的号码吗？

在照镜子时，镜子外的物体和镜子内的成像不变，

发生相反变化。

5.线段垂直平分线的性质

线段垂直平分线上的点到的距离相等。

6.角的平分线的性质

角的平分线的性质上的点到的距离相等。

7.等腰三角形的性质

等腰三角形是图形，它的对称轴是,

等腰三角形的两个底角,_______________互相重合。

等边三角形的各角都是，有条对称轴。

课上探究

激情导入卜送一句话给全体同学

对称是一种思想，通过它，人们毕生追求，并创造次序、美丽和完善…

------赫尔曼•外尔

一、独立完成发现问题（自主学习）

1.自主椅还

（-）轴对称和轴对称图形的联系和区别

区别：轴对称是两个图形能沿对称轴折叠后能重合，指的是一个图形的位置关系。

而轴对称图形是指一个图形的两部分沿对称轴折叠后能完全重合，舱忸是具有对称性

的.个图形。

联系：

如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么这个整体就是一个轴对称图形。

如果把一个轴对称图形位于对称轴两旁的部分看成两个图形，那么这两部分图形就成轴

对称。

（-）线段垂直平分线的性质应用：三角形三边垂直平分线的交点到_

_________________距离相等。

（三）角的平分线的性质应用：三角形三个内角平分线的交点到距离相等。

（四）等腰三角形的三线合一性是指：.

2.自我诊断：

（1）下列说法中，正确的个数是（）

①轴对称图形只有一条对称轴，②轴对称图形的对称轴是一条线段，③两个图形成轴对称，

这两个图形是全等图形，④全等的两个图形一定成轴对称，⑤轴对称图形是指一个图形，

而轴对称是指两个图形而言。

(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个

(2)轴对称图形的对称轴的条数()

(A)只有一条(B)2条(C)3条(D)至少一条

(3)下列图形中，不是轴对称图形的是()

(A)两条相交直线(B)线段

(C)有公共端点的两条相等线段(D)有公共端点的两条不相等线段

(4)下列图案是几种名车的标志，在这几个图案中是轴对称图形的共有()

丰田三菱皆佛至蚕铁龙

(A)1个(B)2个(C)3个(D)4

(5)Z\ABC中，AB=AC,点D在AC边上，且BD=BC=AD,则NA的度数为()

(A)30°(B)36°(C)45°(D)70°

(6)等腰三角形两腰分别为3和7,那么它的周长为()

(A)10(B)13(C)17(D)13或17

(7)到三角形三个顶点距离相等的是()

(A)三边高线的交点(B)三条中线的交点

(C)三条垂直平分线的交点(D)三条内角平分线的交点

(8)等腰4ABC中NA=80°,若NA是顶角，则NB=_____°；若NB是顶角，则N

B=°；若NC是顶角，则NB=°

(9)小强站在镜前，从镜中看到镜子对面墙上挂着的电子表，pn：5

其读数如图所示，则电子表的实际时刻是«

(10)若&BC与de七/关于直线MN对称，4=50",尔=70°,则4/=。

自我总结：

你对以上问题感到还有疑惑的是：，

是哪个知识点没有掌握好呢？。

二、合作探究解决问题

小组合作解决以下问题：

(1)画出△A8C关于直线/的轴对称图形△A'8'C

(2)如图，A、B是安达公路边两个新建的居民小区，某镇需在公路边增加一个公共汽车

站，这个公共汽车站建在什么位置，才能使两个小区到车站的路程一样，找出汽车站的位

置并说明理由。

(3)数的运算中会有一些有趣的对称形式，如12X231=132X21,仿照这一形式，写出下

列等式，并演算：12X462=,18X891=

自我反思

在以上问题中，你对那个问题巩固的最扎实？那个问题你是接受了同学的帮助？你有哪些

新的收获？_______________________________________________

三、精讲点拨完善问题

(1)在矩形ABCD中，将AABC绕AC对折至aAEl

位置，CE与AD交于点F,如图.试说明EF=DF.

(2)如图，己知AB=AC,DE垂直平分AB交AC、AB

于D、E两点，若AB=12cm,BC=10cm,ZA=49°,

求aBCE的周长和NEBC的度数.

我的收获：说明两条线段相等可以运用的方法主要是：

1.2..

四、一有效诃练1聃提升

(1)在aABC中，AB=AC,BC=5cm,作AB的中垂线交另一腰AC于D,

连结BD,如果ABCD的周长是17cm,则腰长为()

(A)12cm(B)6cm(C)7cm(D)5cm

(2)已知NAOB=40°,OM平分NAOB,MA_LOA于A,MBJ_OB于B,则NMAB的度

数为()(A)50°(B)40°(C)30°(D)20°

(3)AABC中，BC=10,边BC的垂直平分线分别交AB、AC于点E、F,BE=7,△

BCE的周长为»

(4)已知AABC中NBAC=140°,AB、AC的垂直平分线分别交BC于E、F,你能求出

ZEAF的度数吗？

(5)在课外活动中，小明发明了一个在直角三角形中画锐角的平分线的方法，他的方法是:

如图所示，在斜边AB上取一点E,使BE=BC,过点E作EDJ_AB,交AC于D,那么BD

就是NABC的平分线，你认为对吗？为什么？

课末反思

本节课我的收获主要有：______________________________________

我还在=方面存在不足，我打算弥补。

课末检测

1.下列轴对称图形中，对称轴最多的是（）

（A）等腰直角三角形（B）线段（C）正方形（D）圆

2.下列图形中不是轴对称图形的有（）

◎IQy肴嘛

⑴(2)⑶(4)(5)(6)

（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个

3.以下汽车标志中，和其他三个不同的是（）

<A>

(A)(B)(C)(D)

4.画出下图中4ABC关于直线MN的轴对称图形。

6.在RtZkABC中，ZC=90",BD平分/ABC交AC于点D,DE垂直平分线段AB,

①试找出图中相等的线段，并说明理由。②若DE=km,BD=2cm,求AC的长。

课外拓展：

用两不圆：O、O,两个三角形：△、△和两条线段：I、I,拼出至少两个对称图形（画

在下列方框内），并加上一句贴切诙谐解说词。

解说词：解说词：

13.1平方根（34课时）

学习目标:

1、理解数的算术平方根的概念，并会用符号表示。

2、理解平方与开平方是互为逆运算。

3、会求一些非负数的算术平方根。

自学指导：

认真学习课本68—71页的内容，完成下列要求：

1、行中被开方数a的范围怎样。0的算术平方根的意义。

2、完成例1,注意例1的书写格式。

3、学习例3的内容，注意而与7是怎样比较的。

4、自学后完成展示内容，20分钟后进行展示。

展示内容：

1、・・・22=J4的算术平方根是—即—

Q

7二的算术平方根是—即

一16

2、•.•正数a的算术平方根是。，

，2的算术平方根是

•；4的算术平方根是2,

-\/4=

3、求下列各数的算术平方根：

(1)0.0025(2)121(3)32⑷(-3)2(5)7

4、求下列各式的值：

(1)V1(2)⑶7172)

5、计算下列各式:

(1)J--V49(2)Jl——V144+781

V4V16

6、求下列各等式中的正数x

(1)x2=169(2)4x2—121=0

7、比较下列各组数的大小。

(1)与12(2)与0.5

"2-1

13.3平方根(35课时)

一、学习目标

1、理解平方根的概念

2、了解开平方的定义

3、掌握平方根的性质

二、自学指导

认真阅读72—74页内容，完成下列要求：

1、说明：一个正数a的算术平方根有一个，平方根有一个，并且互为

0的平方根是。

2、负数有没有平方根，为什么？

3、注意根号前的符号

4、自学20分钟后，进行展示活动

三、展示内容

2、计算下列各式的值:

⑴屈⑵-屈旃a/(-3)

3、平方根起源于正方形的面积，若一个正方形的面积为A,那么这个正方形的边长为

多少？

4、判断下列说法是否正确

（1）5是25的算术平方根（）

（2）士5是三25的一个平方根（）

636

(3)(—4)的平方根是一4()

(4)0的平方根与算术平方根都是0()

5、下列各式是否有意义，为什么？

(1)-V3(2)

6、求下列各式的x的值:

(1)X2=25(2)X2-81=0

(3)25X2=36(4)2x2-18=0

13.2立方根(36课时)

学习目标:

1、理解并掌握立方根的概念，会用符号表示一个数的立方根。

2、会求一个数的立方根。

自学指导：

自学课本77—78页内容，完成下列要求：

1、理解立方根的概念，理解立方与开立方是互为逆运算。

2、独立完成77页探究内容，组内合作交流，归纳出正数、负数、0的立方根

的特点。

3、理解亚工与一W的相等关系。

4、自学后完成展示内容，20分钟后进行展示。

展示内容：

1、如果一个数的立方根等于,那么这个数叫做的或O

2、求一个数的的运算，叫做o与

互为逆运算。

3、正数的立方根是数，负数的立方根是一数，0的立方根是。

4、符号划£中，3是,我中的不能省略。

5、yJ-a—\[a

6、课本79页练习1、3、4题.

7、求下列各数的立方根:

(1)—8(2)一(3)+125(4)81x9

64

8、求下列各式的值。

(1)—^2—(2)—2——(3)V-0.064

V27V64

⑷V-81X1Q'2

13.3实数（37课时）

学习目标:

1、了解实数的意义，能对实数按要求进行分类。

2、了解实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义。

3、了解数轴上的点与实数一一对应，能用数轴上的点来表示无理数。

学习重点：理解实数的概念。

学习难点：正确理解实数的概念。

一、学前准备

有理数＜

有理数

二、探究新知

1、归纳：任何一个有理数都可以写成小数或小数的形式。反过来，任何

小数或小数也都是有理数

观察通过前面的探讨和学习，我们知道，很多数的根和根都是

小数，小数又叫无理数，乃=3.14159265…也是无理数

结论：和统称为实数

你能举出一些无理数吗？

2、试一试把实数分类

---1j或

实数V

\--->------

像有理数一样，无理数也有正负之分。例如J5,我，乃是一无理数，-亚，-唐，-万

是一无理数。由于非o有理数和无理数都有正负之分，所以实数也可以这样分类：

实数

3、我们知道，每个有理数都可以用数轴上的点来表示。无理数是否也可以用数轴上的点来

表示呢？

(1)如图所示，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点

到达点0',点0'的坐标是多少？

从图中可以看出00'的长时这个圆的周长,点0'的坐标是

这样，无理数兀可以用数轴上的点表示出来

(2)

又如,以单位长度为边K画一个正方形(图

10.3-2),以原点为圆心,正方形对角线为半径画弧.

与正半轴的交点就表示:与负半轴的交点就表示

(为什么？)

图10.3-2

总结①事实上，每一个无理数都可以用数轴上的表示出来，这就是说，数轴上

的点有些表示,有些表示

当从有理数扩充到实数以后，实数与数轴上的点就是的，即每一个实数都可以用

数轴上的来表示；反过来，数轴上的都是表示一个实数

②与有理数一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的

实数__

4、讨论当数从有理数扩充到实数以后，有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数

吗？

J2的相反数是,

一“的相反数是，

0的相反数是;

I72|=____,|—HI=____,I0|=____.

总结数a的相反数是,这里。表示任意。一个正实数的绝对值是

；一个负实数的绝对值是它的；0的绝对值是

三、学以致用

例1、把下列各数分别填入相应的集合里：

V8,V3,-3.141,,--,-^2,0.1010010001---,1.414,-0.020202---,-77

378

正有理数{}

负有理数{}

正无理数｛)

负无理数｛)

2、下列实数中是无理数的为（）A.OB.-3.5C.V2D.J5

3,的相反数是,绝对值.

4、绝对值等于的々仁数是的平

方是________

5、

比较大小73L71.4_42冗___3.14

6、求绝对值|)耳|=||=

|符~1・7『|1,I-V2.|=|^-3.14|=

练习：

一、判断下列说法是否正确：

1.实数不是有理数就是无理数。（）

2.无限小数都是无理数。（）

3.无理数都是无限小数。（）

4.带根号的数都是无理数。（）

5.两个无理数之和一定是无理数。（）

6.所有的有理数都可以在数轴上表示，反过来，数轴上所有的点都表示有理数。（）

二、填空1、已知一个数的绝对值是总•求这个数是

2、匕而的绝对值

3、比较大小一7-473

4、1-^3的绝对值是|Vio-Vi3|=

四、总结反思这节课你有什么新发现？知道了哪些新知识？

无理数的特征：

1.圆周率兀及一些含有兀的数

2.开不尽方的数

3.有一定的规律，但循环的无限小数

注意:带根号的数不一定是无理数

五、自我测试

1、把下列各数填入相应的集合内：

卜闸V57640.6~~f930.13

有理数集合｛｝无理数集合｛｝

整数集合｛｝分数集合｛｝

实数集合｛｝

2、下列各数中，是无理数的是（）A.-1.732B.1.414C.6D.3.14

3、已知四个命题，正确的有（）

⑴有理数与无理数之和是无理数⑵有理数与无理数之积是无理数

⑶无理数与无理数之积是无理数⑷无理数无理数之积是无理数

A.1个B.2个C.3个D.4个

4、若实数。满足U=—I,

A.tz>0B.a<0D.a<0

5、下列说法正确的有（）

⑴不存在绝对值最小的无理数⑵不存在绝对值最小的实数

⑶不存在与本身的算术平方根相等的数（4）比正实数小的数都是负实数

⑸非负实数中最小的数是0

A.2个B.3个C.4个D.5个

6、⑴6-2的相反数是,绝对值是

|々-周=_______（2）⑶若/=（一百『，贝|jx=

3|3—乃|+J（4_»）2=7、j2x-4+j4-2x是实数,则犬=

13.3实数（38课时）

1、了解实数的运算法则及运算律，会进行实数的运算

2、明确有理数与实数的对比

一、自学指导

自学课本84—96页内容

1、回顾复习有理数的绝对值

2、小组交流课本84戊思考题，归纳实数的相反数和绝对值的结果

3、明白有理数的运算法则及运算性质在进行实数的运算中，同样适用

二、展示内容

1、写出下列各数的相反数：

(1)-V6(2)1-一3.14(3)—V-64

2、|V-64|=；若|a|=V3,贝!]a=.

3、计算下列各式的值：

(1)(V5+V3)-V3

(2)3«5+2V吊

(3)(V5-V3)-2(V2--V3)

2

4、课本86页1、2、3、4

课题：实数复习（39课时）

一、知识结构

用J平方根

互为逆运算有理数

乘方《♦开方jT实数

工"立方根无理数

二、知识回顾

算术平方根的定义：_______________________________________________________________

平方根的定义：__________________________________________________________________

平方根的性质：____________________________________________________________________

立方根的定义：_

立方根的性质：____________________________________________________________________

练习：1、-8是____的平方根；64的平方根是；V64=；

—64的立方根是；柄=；、何的平方根是。

2、大于万而小于JTT的所有整数为

几个基本公式：(注意字母。的取值范围)

(4a)2=___；=__；(V«)3=；V-a=

练习：1、若a<0,求+的值；2、若"z<〃，求J(m-ri)?+#(〃-〃。^的值

无理数的定义：___________________

实数的定义•

实数与.上的点是一一对应的

练习：1、判断下列说法是否正确：实数■

1.实数不是有理数就是无理数。(

2.无限小数都是无理数。()

3.无理数都是无限小数。()

4.带根号的数都是无理数。()

5.两个无理数之和一定是无理数。()

6.所有的有理数都可以在数轴上表示，反过来，数轴上所有的点都表示有理数。()

7.平面直角坐标系中的点与有序实数对之间是一一对应的。()

2、把下列各数中，有理数为；无理数为

20、《、、一底—我、0.3737737773…(相邻两个3之间的逐渐加1

V2->7V\—、07

2

个)

三、知识巩固1、X取何值时，下列各式有意义

V2x+1

(1)J4-X：；(2)必4+x：;(3)-------:

x—2

2、9(3-y)2=427(x+3)3+125=0|-\/3-2-\/2|+—|V2—Vsj

四、知识提高

1、已知1.732,病25.477,(1)V300«；(2)7(X3«

(3)0.03的平方根约为；(4)若石。54.77,则％=

练习：已知我21.442,胸=3.107,V300«6.694,求(1)V03«____

,(2)3000的立方根约为；(3)l/x«31.07,贝ijx=

2、若飞(x-2丫=2—x,则x的取值范围是

3、己知〃、b、c位置如图所示,

ab()c

试化简：⑴-卜-。|+|c-(〃-4(2)卜+b_c|+M_2c|+-a)?

4、已知5+4T的小数部分为加，5-JTF的小数部分为〃，则加+〃=

五、当堂反馈

1、下列说法正确的是（）

A、丽的平方根是±4B、-而表示6的算术平方根的相反数

C、任何数都有平方根D、-/一定没有平方根

2、若-y[m=V5,贝ijm-______

3、若x+|x|=O,则x的取值范围是；河彳=4-x,则x的取值范围是

4、已知y=l+j2x—l+jl—2x,求2x+3y的平方根

5、已知等腰三角形的两边长“/满足|2a—36+5|+（2a+3/?—13）2=0,求三角形的周长

6、如果一个数的平方根是。+1和2a—7,求这个数

（选作）1、若。,匕为实数，则下列命题正确的是（）

A、若a>b,则a?〉/B、若a〉网，则/〉户

C、若网>/?,则a?〉"2D、若a〉0且a>6,则小〉/

2、已知|3-a|+Ja-4=a,求a的值。

第十三章实数复习（40课时）

一.典例分析

【例1】把下列各数填入相应的集合中（只填序号）:

①3.14②—工③—J?@VTOO⑤0⑥1.212212221…⑦6⑧0.15

2V17

有理数集合：｛,•,｝正数集合｛…｝

无理数集合：｛…｝负数集合｛-｝

分数集合